1、双变量不等式的证明双变量不等式的证明 典例 已知函数 f(x)ln x1 2ax 2x，aR. (1)当 a0 时，求函数 f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程； (2)若 a2，正实数 x1，x2满足 f(x1)f(x2)x1x20，求证：x1x2 51 2 . 解 (1)当 a0 时， f(x)ln xx， 则 f(1)1， 所以切点为(1,1)， 又因为 f (x) 1 x1，所以切线斜率 kf(1) 2， 故切线方程为 y12(x1)，即 2xy10. (2)证明：当 a2 时，f(x)ln xx2x(x0) 由 f(x1)f(x2)x1x20， 即 ln x1x21x1ln x
2、2x22x2x1x20， 从而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)， 令 tx1x2，设 (t)tln t(t0)， 则 (t)11 t t1 t ， 易知 (t)在区间(0,1)上单调递减， 在区间(1， )上单调递增， 所以 (t)(1) 1， 所以(x1x2)2(x1x2)1， 因为 x10，x20，所以 x1x2 51 2 成立 解题技法 破解含双参不等式的证明的关键 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不 等式转化为含单参的不等式； 二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双
3、参不等式，即可证得 结果 题组训练 已知函数 f(x)ln xa x. (1)求 f(x)的最小值； (2)若方程 f(x)a 有两个根 x1，x2(x1x2)，求证：x1x22a. 解：(1)因为 f(x)1 x a x2 xa x2 (x0)， 所以当 a0 时，f(x)在(0，)上单调递增，函数无最小值 当 a0 时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增 函数 f(x)在 xa 处取最小值 f(a)ln a1. (2)证明：若函数 yf(x)的两个零点为 x1，x2(x1x2)， 由(1)可得 0 x1ax2. 令 g(x)f(x)f(2ax)(0 xa)， 则 g(x)(xa) 1 x2 1 ax 2 4axa 2 x2ax 20， 所以 g(x)在(0，a)上单调递减，g(x)g(a)0， 即 f(x)f(2ax) 令 xx1a，则 f(x1)f(2ax1)，所以 f(x2)f(x1)f(2ax1)， 由(1)可得 f(x)在(a，)上单调递增，所以 x22ax1， 故 x1x22a.
