1、双变量不等式的证明双变量不等式的证明 典例 已知函数 f(x)ln x1 2ax 2x,aR. (1)当 a0 时,求函数 f(x)的图象在(1,f(1)处的切线方程; (2)若 a2,正实数 x1,x2满足 f(x1)f(x2)x1x20,求证:x1x2 51 2 . 解 (1)当 a0 时, f(x)ln xx, 则 f(1)1, 所以切点为(1,1), 又因为 f (x) 1 x1,所以切线斜率 kf(1) 2, 故切线方程为 y12(x1),即 2xy10. (2)证明:当 a2 时,f(x)ln xx2x(x0) 由 f(x1)f(x2)x1x20, 即 ln x1x21x1ln x
2、2x22x2x1x20, 从而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2), 令 tx1x2,设 (t)tln t(t0), 则 (t)11 t t1 t , 易知 (t)在区间(0,1)上单调递减, 在区间(1, )上单调递增, 所以 (t)(1) 1, 所以(x1x2)2(x1x2)1, 因为 x10,x20,所以 x1x2 51 2 成立 解题技法 破解含双参不等式的证明的关键 一是转化,即由已知条件入手,寻找双参所满足的关系式,并把含双参的不 等式转化为含单参的不等式; 二是巧构造函数,再借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值; 三是回归双参的不等式的证明,把所求的最值应用到双
3、参不等式,即可证得 结果 题组训练 已知函数 f(x)ln xa x. (1)求 f(x)的最小值; (2)若方程 f(x)a 有两个根 x1,x2(x1x2),求证:x1x22a. 解:(1)因为 f(x)1 x a x2 xa x2 (x0), 所以当 a0 时,f(x)在(0,)上单调递增,函数无最小值 当 a0 时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,)上单调递增 函数 f(x)在 xa 处取最小值 f(a)ln a1. (2)证明:若函数 yf(x)的两个零点为 x1,x2(x1x2), 由(1)可得 0 x1ax2. 令 g(x)f(x)f(2ax)(0 xa), 则 g(x)(xa) 1 x2 1 ax 2 4axa 2 x2ax 20, 所以 g(x)在(0,a)上单调递减,g(x)g(a)0, 即 f(x)f(2ax) 令 xx1a,则 f(x1)f(2ax1),所以 f(x2)f(x1)f(2ax1), 由(1)可得 f(x)在(a,)上单调递增,所以 x22ax1, 故 x1x22a.