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江西省南昌市新建县第一中学2021届高三10月第一次模拟考试数学(理)试卷(含答案).doc

1、 数学(理科)试卷 一、选择题(本大题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集为R, 集合032| 2 xxxA, 集合41|xNxB, 则BACR ( D ) A. 2, 1 B. 2, 1, 0 C. 3, 2, 1 D.3, 2, 1, 0 2. 函数 x exxf ln)(的零点所在区间为( B ) A. ) 1, 0( B. )2, 1 ( C. )3, 2( D.)4, 3( 3.下列各组为同一函数的是( C ) A. 2 )(xxf 与 xxg)( B. | 1|)( xxf 与 11 1, 1 )( xx xx xg C. xx x xf |2| 1 )(

2、 2 与 2 1 )( 2 t tg D.xxf)( 与 x exg ln )( 4. 已知命题:p“关于x方程01 22 xxa有两个不相等的实数根” , 命题:q“存在实数 0 x, 使得当 0 xx 时,11 2 xex恒成立” ,则下列命题为真命题的是( B ) A. qp B. qp )( C. )( qp D.)()(qp 5. 函数 32 1 x y的值域为( A ) A. ) 3 1 , 0( B. 3 1 , 0( C. ) 3 1 ,( D.), 3 1 6. 已知甲为:0)( 2 abm,乙为:ab,则甲是乙的什么条件( B ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C.

3、 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 7. 已知函数)(xf的定义域为3 , 1,则函数1) 12()(xxfxg的定义域为( C ) A. 5, 3 B. 2, 0 C. 2, 1 D.5, 1 8. 函数4 sin )( 2 xx ee xf xx 在区间),(上的图像最可能是( A ) A B C D 9. 已知 3 11 2 1 3,2ceba e (其中e为自然对数的底数) ,则cba,的大小关系正确的 是( C ) A. cba B. abc C. bca D.acb 10. 已知函数1)( 2 xaxxf在)2, 2(上恰有一个零点,则a的取值范围是( A ) A. ) 4

4、 1 , 4 3 B. ) 4 1 , 4 3 ( C. 4 1 , 4 3 D.) 4 1 , 0()0 , 4 3 11.定义域为R的已知奇函数)(xf满足)1 () 1(xfxf对任意x恒成立,且当10 x 时,1)( 2 xxf,则函数| ) 2 sin(|)()(xxfxg 在5 , 1上的零点个数为( D ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 已知定义域为), 0()0,(的奇函数)(xf满足x x xf xf )( )(在), 0( 上恒成 立,且 2 1 )2(f,则不等式0 1 )( x xf的解集为( A ) A. )2, 0()2,( B. ), 2()2,

5、( C. )2, 0()0, 2( D.), 2()0, 2( 二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 函数2ln)(xxf在)1 (, 1 (f处的切线方程为 1 xy 14.函数)34lg()( 2 xxxf的单调递减区间为 ) 1 ,( 15. 函数 1,2ln 1,2 )( xax xa xf x 是单调函数,则a的取值范围是 ), 2 16. 函 数xaxaxexf x ) 1(ln)( 1 有 两 个 极 值 点 , 则 实 数a的 取 值 范 围 是 ), 1 () 1 , 0( 三、解答题 17. 已知命题:p“存在实数x使得不等式012 2

6、xax成立” ,命题:q“集合 :A121|axax是集合:B51 | xx的子集” 。 (1)若命题p为真命题,求a的取值范围; (2)若命题qp 为假命题,同时qp为真命题,求a的取值范围。 解答: (1)p为真命题等价于0a或 044 0 a a ,解得1a。 分6.(一种情况 得 2 分) (2)当A时,2a,BA;当A时,由BA得 512 11 2 a a a ,解得3a。 故3a时q为真命题。 分7. 依题意可知p,q一真一假。 分9. 当p真q假时, 3 1 a a ,解得3a 当p假q真时, 3 1 a a ,解得1a 分11. 综上a的取值范围是), 3( 1,( 分1 2.

7、 . . . . . 18.已知函数)(xg的定义域为R,对任意x都有) 1( 2 1 )(xgxg,当)2 , 1 x时, 23)( 2 xxxg. (1)求)(xg在)3 , 0上的函数解析式; (2)当)3 , 0(x时,求)(xg的取值范围。 解答: (1) 当)3 , 2x时,)2 , 1 1x, 3 2 5 2 1 2) 1(3) 1( 2 1 ) 1( 2 1 )( 22 xxxxxgxg;2 分 当) 1 , 0 x时,)2 , 1 1x,由) 1( 2 1 )(xgxg得 ) 1(2)(xgxg, 3 分 故 xxxxxg222) 1( 3) 1(2)( 22 5 分 所以

8、32,3 2 5 2 1 21,23 10,22 )( 2 2 2 xxx xxx xxx xg 6 分 (2)由(1)知当) 1 , 0(x时, 2 1 ) 2 1 (222)( 22 xxxxg,0)( 2 1 xg;8 分 当)2 , 1 x时,23)( 2 xxxg,0)( 4 1 xg; 当)3 , 2x时,3 2 5 2 1 )( 2 xxxg,0)( 8 1 xg; 10 分 故当)3 , 0(x时,求)(xg的取值范围是0, 2 1 12 分 19. 已知函数 x e axx xf 1 )( 2 在2x处取得极值。 (1)求a的值,并求)(xf的单调区间; (2)求)(xf在3

9、, 2上的最值。 解答: (1) x e axax xf ) 1()2( )( 2 ,由0 ) 1()2(24 )2( 2 e aa f得1a;2 分 此时 x e xx xf 1 )( 2 , xx e xx e xx xf ) 1)(2(2 )( 2 , 当1x时,0)( x f;当21x时,0)( x f;当2x时,0)( x f; 4 分 2x为极大值点符合题 意。 5 分 综上1a;)(xf的单调递增区间为)2, 1(, 单调递减区间为), 2(),1,(。 6 分 (2) 由 (1) 知)(xf在) 1, 2上单调递减, 在)2, 1(上单调递增, 在3, 2(上单调递减, 8 分

10、 2 )2(ef,ef ) 1(, 2 5 )2( e f, 3 11 )3( e f , 且)2()2(ff, ) 1()3( ff 10 分 所以)(xf的最大值为 2 )2(ef,最小值为 ef ) 1(。 12 分 20. 已知某木桌的桌脚为如图(1)所示的长方体 22221111 DCBADCBA,由于受到撞击在与 底面平行的平面ABCD附近不慎被折断,FE,分别在线段 22,CC AA上。木工师傅在修复时 为尽可能保持桌脚的原样,将断裂处整理成如图(2)所示的几何体EFABCD。经测量知 ABCD是边长为 2 的正方形,22 FCAE。 (1)求证BDFBDE平面平面; (2)求直

11、线BE与平面DEF所成角。 图(1) 图(2) (1)证明:连接AC交BD于点O,连接FOEOEF,,去AE中点M,连接FM。 由长方体可知ABCDFCABCDAE面面,,由正方形ABCD可知O为BD中点。 由 平 面 几 何 及 长 度 可 知CBFCDFABEADE,, 故6 DEBE, 3 DFBF。 所 以BDFOBDEO,, 故E O F为 二 面 角FBDE的 平 面 角 , 3 22 FMEMEF, 因 此 222 FOEOEF, 即 2 E O F, 所 以 B D FB D E平面平面。 (2)如图建立平面直角坐标系,则) 1 , 2 , 2(),0 , 2 , 0(),2

12、, 0 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 0 , 0(FDEBA, ) 1, 2 , 2(),2, 2 , 0(),2 , 0 , 2( EFEDBE。设平面DEF的法向量),(zyxm , 由 0 0 FDm EDm 得 022 022 zyx zy ,可设)2 , 2 , 1( m, 2 2 | ,cos BEm BEm BEm, 所以 直线BE与平面DEF所成角的正弦值为 2 2 ,故直线BE与平面DEF所成角为 4 21.已知函数 ax exf )(,1ln)(xxg。 (1) 当0a时,求证1)()(xgxf; (2) 设)()() 1ln()(xxgxfxxxF,若0)(

13、xF在定义域内恒成立,求a的取值范围。 解答: (1)法 1:令) 1()(xexh x ,则1)( x exh,故当0 x时0)( x h,当0 x 时0)( x h, 因此0)0()( hxh,故) 1( xex。令) 1(ln)(xxx,则 x x x x 1 1 1 )(,故 当10 x时0)( x ,当1x时0)( x ,因此0) 1 ()(x,故1ln xx。所以 2ln1xxex且两个等号不同时成立,11ln)()(xexgxf x 。 法2 : 令2ln1)()()(xexgxfxh x , 则 x xe x exh x x 11 )( , 因 为 1)( x xex在), 0

14、单调递增且01) 1 (, 01)0(e,故)(x在), 0(上 存在唯一零点 0 x, 且) 1, 0( 0 x, 当 0 0 xx 时0)(x, 即0)( x h, 当 0 xx 时0)(x, 即0)( x h, 所以2ln)()( 00 0 xexhxh x (*) 。 由01)( 0 00 x exx得 0 0 x ex 代 入(*) 得0222ln)( 0000 00 xxxx eexexexh,当且仅当0 0 x时取等号, 又因0 0 x,故等号不成立,即1)()(xgxf。 (2)由0)(xF在定义域内恒成立得01) 1 ( 1 a eF,故1a。下证a的取值范围是 1a。 当

15、e x 1 时, 当1a时, 由 (1) 的证明知xxxexln1, 1, 故1ln 1 xxex且当1x 时两个等号同时成立。因为1a,故1ln 1 xee xax 。令1ln)(xxxxh,则 xxhln)(,)(xh在) 1, 0(上单调递减,), 1 (上单调递增。0) 1 ()( hxh,故 01lnxxx。由知) 1(ln) 1ln( xxexx ax ,即0)(xF。 当 e x 1 0时,) 1(ln0) 1ln( xxexx ax ,综上1a 。 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分. 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答. 如果多做

16、,则按所做的第如果多做,则按所做的第 一题记分一题记分. 22.(10 分)选修44:坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为)( 1 2 为参数t ty tx ,以坐标原点O为极 点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos4,直线l与曲线C 相交于BA,两点。 (1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程; (2)求线段AB的长度。 解答:(1) 由)( 1 2 为参数t ty tx 消t得,l的普通方程为1 xy 2 分 由cos4得cos4 2 ,结合 sin cos y x 得xyx4 22 , 故曲线C的直角坐标方程为 4)2( 22

17、yx 5 分 (2) 曲线C的圆心到直线l的距离 2 2 d,2r,142| 22 drAB 10 分 23.(10 分)选修 45:不等式选讲 已知函数| 1|2)(xxxf。 (1)解关于x的不等式|3)(xxf; (2)若存在x使得33)( 2 aaxf,求a的取值范围。 解答: (1)原不等式等价于3| 1| xx,等价于 312 1 x x 或 31 01x 或 312 0 x x ,解得12x,故解集为 1, 2。 (2) 0,13 01,1 1,13 | 1|2)( xx xx xx xxxf,)(xf在) 1,(上单调递减,在 0, 1上单调递减,在在), 0上单调递增,故)(xf的最小值为1)0(f。依题意可知 331 2 aa,解得1a或2a。

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