1、 数学（理科）试卷 一、选择题（本大题共有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知全集为R， 集合032| 2 xxxA， 集合41|xNxB， 则BACR （ D ） A. 2, 1 B. 2, 1, 0 C. 3, 2, 1 D.3, 2, 1, 0 2. 函数 x exxf ln)(的零点所在区间为（ B ） A. ) 1, 0( B. )2, 1 ( C. )3, 2( D.)4, 3( 3.下列各组为同一函数的是（ C ） A. 2 )(xxf 与 xxg)( B. | 1|)( xxf 与 11 1, 1 )( xx xx xg C. xx x xf |2| 1 )(
2、 2 与 2 1 )( 2 t tg D.xxf)( 与 x exg ln )( 4. 已知命题:p“关于x方程01 22 xxa有两个不相等的实数根” ， 命题:q“存在实数 0 x， 使得当 0 xx 时，11 2 xex恒成立” ，则下列命题为真命题的是（ B ） A. qp B. qp )( C. )( qp D.)()(qp 5. 函数 32 1 x y的值域为（ A ） A. ) 3 1 , 0( B. 3 1 , 0( C. ) 3 1 ,( D.), 3 1 6. 已知甲为：0)( 2 abm，乙为：ab，则甲是乙的什么条件（ B ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C.
3、 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 7. 已知函数)(xf的定义域为3 , 1，则函数1) 12()(xxfxg的定义域为（ C ） A. 5, 3 B. 2, 0 C. 2, 1 D.5, 1 8. 函数4 sin )( 2 xx ee xf xx 在区间),(上的图像最可能是（ A ） A B C D 9. 已知 3 11 2 1 3,2ceba e （其中e为自然对数的底数） ，则cba,的大小关系正确的 是（ C ） A. cba B. abc C. bca D.acb 10. 已知函数1)( 2 xaxxf在)2, 2(上恰有一个零点，则a的取值范围是（ A ） A. ) 4
4、 1 , 4 3 B. ) 4 1 , 4 3 ( C. 4 1 , 4 3 D.) 4 1 , 0()0 , 4 3 11.定义域为R的已知奇函数)(xf满足)1 () 1(xfxf对任意x恒成立，且当10 x 时，1)( 2 xxf，则函数| ) 2 sin(|)()(xxfxg 在5 , 1上的零点个数为（ D ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 已知定义域为), 0()0,(的奇函数)(xf满足x x xf xf )( )(在), 0( 上恒成 立，且 2 1 )2(f，则不等式0 1 )( x xf的解集为（ A ） A. )2, 0()2,( B. ), 2()2,
5、( C. )2, 0()0, 2( D.), 2()0, 2( 二、填空题（本大题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 函数2ln)(xxf在)1 (, 1 (f处的切线方程为 1 xy 14.函数)34lg()( 2 xxxf的单调递减区间为 ) 1 ,( 15. 函数 1,2ln 1,2 )( xax xa xf x 是单调函数，则a的取值范围是 ), 2 16. 函 数xaxaxexf x ) 1(ln)( 1 有 两 个 极 值 点 ， 则 实 数a的 取 值 范 围 是 ), 1 () 1 , 0( 三、解答题 17. 已知命题:p“存在实数x使得不等式012 2
6、xax成立” ，命题:q“集合 :A121|axax是集合:B51 | xx的子集” 。 （1）若命题p为真命题，求a的取值范围； （2）若命题qp 为假命题，同时qp为真命题，求a的取值范围。 解答： （1）p为真命题等价于0a或 044 0 a a ，解得1a。 分6.（一种情况 得 2 分） （2）当A时，2a，BA；当A时，由BA得 512 11 2 a a a ，解得3a。 故3a时q为真命题。 分7. 依题意可知p，q一真一假。 分9. 当p真q假时， 3 1 a a ，解得3a 当p假q真时， 3 1 a a ，解得1a 分11. 综上a的取值范围是), 3( 1,( 分1 2.
7、 . . . . . 18.已知函数)(xg的定义域为R，对任意x都有) 1( 2 1 )(xgxg，当)2 , 1 x时， 23)( 2 xxxg. （1）求)(xg在)3 , 0上的函数解析式； （2）当)3 , 0(x时，求)(xg的取值范围。 解答： （1） 当)3 , 2x时，)2 , 1 1x， 3 2 5 2 1 2) 1(3) 1( 2 1 ) 1( 2 1 )( 22 xxxxxgxg；2 分 当) 1 , 0 x时，)2 , 1 1x，由) 1( 2 1 )(xgxg得 ) 1(2)(xgxg， 3 分 故 xxxxxg222) 1( 3) 1(2)( 22 5 分 所以
8、32,3 2 5 2 1 21,23 10,22 )( 2 2 2 xxx xxx xxx xg 6 分 （2）由（1）知当) 1 , 0(x时， 2 1 ) 2 1 (222)( 22 xxxxg，0)( 2 1 xg；8 分 当)2 , 1 x时，23)( 2 xxxg，0)( 4 1 xg； 当)3 , 2x时，3 2 5 2 1 )( 2 xxxg，0)( 8 1 xg； 10 分 故当)3 , 0(x时，求)(xg的取值范围是0, 2 1 12 分 19. 已知函数 x e axx xf 1 )( 2 在2x处取得极值。 （1）求a的值，并求)(xf的单调区间； （2）求)(xf在3
9、, 2上的最值。 解答： （1） x e axax xf ) 1()2( )( 2 ，由0 ) 1()2(24 )2( 2 e aa f得1a；2 分 此时 x e xx xf 1 )( 2 ， xx e xx e xx xf ) 1)(2(2 )( 2 ， 当1x时，0)( x f；当21x时，0)( x f；当2x时，0)( x f； 4 分 2x为极大值点符合题 意。 5 分 综上1a；)(xf的单调递增区间为)2, 1(， 单调递减区间为), 2(),1,(。 6 分 （2） 由 （1） 知)(xf在) 1, 2上单调递减， 在)2, 1(上单调递增， 在3, 2(上单调递减， 8 分
10、 2 )2(ef，ef ) 1(， 2 5 )2( e f， 3 11 )3( e f ， 且)2()2(ff， ) 1()3( ff 10 分 所以)(xf的最大值为 2 )2(ef，最小值为 ef ) 1(。 12 分 20. 已知某木桌的桌脚为如图（1）所示的长方体 22221111 DCBADCBA，由于受到撞击在与 底面平行的平面ABCD附近不慎被折断，FE,分别在线段 22,CC AA上。木工师傅在修复时 为尽可能保持桌脚的原样，将断裂处整理成如图（2）所示的几何体EFABCD。经测量知 ABCD是边长为 2 的正方形，22 FCAE。 （1）求证BDFBDE平面平面； （2）求直
11、线BE与平面DEF所成角。 图（1） 图（2） （1）证明：连接AC交BD于点O，连接FOEOEF,，去AE中点M，连接FM。 由长方体可知ABCDFCABCDAE面面,，由正方形ABCD可知O为BD中点。 由 平 面 几 何 及 长 度 可 知CBFCDFABEADE,， 故6 DEBE， 3 DFBF。 所 以BDFOBDEO,， 故E O F为 二 面 角FBDE的 平 面 角 ， 3 22 FMEMEF， 因 此 222 FOEOEF， 即 2 E O F， 所 以 B D FB D E平面平面。 （2）如图建立平面直角坐标系，则) 1 , 2 , 2(),0 , 2 , 0(),2
12、, 0 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 0 , 0(FDEBA， ) 1, 2 , 2(),2, 2 , 0(),2 , 0 , 2( EFEDBE。设平面DEF的法向量),(zyxm ， 由 0 0 FDm EDm 得 022 022 zyx zy ，可设)2 , 2 , 1( m， 2 2 | ,cos BEm BEm BEm， 所以 直线BE与平面DEF所成角的正弦值为 2 2 ，故直线BE与平面DEF所成角为 4 21.已知函数 ax exf )(，1ln)(xxg。 (1) 当0a时，求证1)()(xgxf； (2) 设)()() 1ln()(xxgxfxxxF，若0)(
13、xF在定义域内恒成立，求a的取值范围。 解答： （1）法 1：令) 1()(xexh x ，则1)( x exh，故当0 x时0)( x h，当0 x 时0)( x h， 因此0)0()( hxh，故) 1( xex。令) 1(ln)(xxx，则 x x x x 1 1 1 )(，故 当10 x时0)( x ，当1x时0)( x ，因此0) 1 ()(x，故1ln xx。所以 2ln1xxex且两个等号不同时成立，11ln)()(xexgxf x 。 法2 ： 令2ln1)()()(xexgxfxh x ， 则 x xe x exh x x 11 )( ， 因 为 1)( x xex在), 0
14、单调递增且01) 1 (, 01)0(e，故)(x在), 0(上 存在唯一零点 0 x， 且) 1, 0( 0 x， 当 0 0 xx 时0)(x， 即0)( x h， 当 0 xx 时0)(x， 即0)( x h， 所以2ln)()( 00 0 xexhxh x （*） 。 由01)( 0 00 x exx得 0 0 x ex 代 入（*） 得0222ln)( 0000 00 xxxx eexexexh，当且仅当0 0 x时取等号， 又因0 0 x，故等号不成立，即1)()(xgxf。 （2）由0)(xF在定义域内恒成立得01) 1 ( 1 a eF，故1a。下证a的取值范围是 1a。 当
15、e x 1 时， 当1a时， 由 （1） 的证明知xxxexln1, 1， 故1ln 1 xxex且当1x 时两个等号同时成立。因为1a，故1ln 1 xee xax 。令1ln)(xxxxh，则 xxhln)(，)(xh在) 1, 0(上单调递减，), 1 (上单调递增。0) 1 ()( hxh，故 01lnxxx。由知) 1(ln) 1ln( xxexx ax ，即0)(xF。 当 e x 1 0时，) 1(ln0) 1ln( xxexx ax ，综上1a 。 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分. 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答. 如果多做
16、，则按所做的第如果多做，则按所做的第 一题记分一题记分. 22.（10 分）选修44：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为)( 1 2 为参数t ty tx ，以坐标原点O为极 点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos4，直线l与曲线C 相交于BA,两点。 （1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）求线段AB的长度。 解答：（1） 由)( 1 2 为参数t ty tx 消t得，l的普通方程为1 xy 2 分 由cos4得cos4 2 ，结合 sin cos y x 得xyx4 22 ， 故曲线C的直角坐标方程为 4)2( 22
17、yx 5 分 （2） 曲线C的圆心到直线l的距离 2 2 d，2r，142| 22 drAB 10 分 23.（10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数| 1|2)(xxxf。 （1）解关于x的不等式|3)(xxf； （2）若存在x使得33)( 2 aaxf，求a的取值范围。 解答： （1）原不等式等价于3| 1| xx，等价于 312 1 x x 或 31 01x 或 312 0 x x ，解得12x，故解集为 1, 2。 （2） 0,13 01,1 1,13 | 1|2)( xx xx xx xxxf，)(xf在) 1,(上单调递减，在 0, 1上单调递减，在在), 0上单调递增，故)(xf的最小值为1)0(f。依题意可知 331 2 aa，解得1a或2a。
