1、2024甘肃中考数学二轮专题训练 几何综合探究旋转问题 典例精讲例3已知,四边形ABCD是正方形,点E、F分别在边AB、BC上,且BEBF,连接EF.如图,将BEF绕点B逆时针旋转,连接AE,CF. (1)求证:AECF;【思维教练】要证AECF,可先证ABECBF,已知ABCB,BEBF,由旋转的性质可知EBAFBC,即可得证; 例3题图(2)如图,若BFCF,求证:AEBF;【思维教练】要证平行,只需证AEBEBF180即可,由题目可知BFC90,结合题干与(1)中三角形全等即可得证; 例3题图(3)如图,延长CF交AE于点H,交AB于点G,求证:CHAE;【思维教练】要证CHAE,即证A
2、HG90,由(1)中三角形全等可知BAEBCG,结合对顶角相等即可证得垂直; 例3题图(4)如图,当点F恰好落在AC上时,EF交AB于点P,求证:PE2PF22BP2;【思维教练】要证线段长平方的数量关系,可通过构造直角三角形证得如图,在BC上找一点Q,使得BPBQ,连接PQ、FQ,通过证明三角形全等,利用勾股定理即可得证;例3题图(5)如图,过点B作BMCE,延长BM交AF于点N,EF交AB于点P,若AB6,BE2,当ABEF时,求FN的长;【思维教练】过点F作AB的平行线与BN的延长线相交,再与A点连接,求证得到的四边形是平行四边形,得到AN与FN的数量关系,根据垂直可得到AP和FP的长,
3、结合勾股定理即可求解; 例3题图(6)如图,当点E恰好落在BC上时,延长AE交CF于点H,连接AC,若AB,BE2.求证:AH是线段CF的垂直平分线;【思维教练】先证明ABECBF,得到角相等,进而证得AHCF,结合已知条件得到AF与AC的长,根据等腰三角形的“三线合一”即可得证; 例3题图(7)如图,已知点M是AD的中点,连接AM交AC于点O,当BEF的BE边与BM重合时,若AB4,OE,求BN的长【思维教练】根据已知条件可证得AMOCBO,EBNCBO,根据相似三角形比例关系即可求出BN的长 例3题图针对训练1. 如图,在RtABC中,ACB90,A60,点D为AB的中点,连接CD,将线段
4、CD绕点D顺时针旋转(60120)得到线段ED,且ED交线段BC于点G,CDE 的平分线DM交BC于点H.(1)如图,若90,则线段ED与BD的数量关系是_,_;(2)如图,在(1)的条件下,过点C作CFDE交DM于点F,连接EF,BE.试判断四边形CDEF的形状,并说明理由;求证: ;(3)如图,若AC2,tan(60)m,过点C作CFDE交DM于点F,连接EF,BE,请直接写出的值(用含m的式子表示)第1题图2. 【问题解决】(1)如图,在正方形ABCD中,将线段AB顺时针旋转90得到线段AB,分别连接BB,AC,证明:四边形ACBB是平行四边形;【问题探索】(2)如图,在正方形ABCD中
5、,点E是线段BC上的一点,连接AE,并将线段AE绕点A顺时针旋转90得到线段AF,连接FC,设线段FC与直线AB相交于点G,证明:CE2BG;【拓展应用】(3)如图,将图中的正方形ABCD变为矩形,其中AB1,BC2,当CE时,求BG的长第2题图3. 已知等边三角形ABC,过A点作AC的垂线l,点P为l上一动点(不与点A重合),连接CP,把线段CP绕点C逆时针方向旋转60得到CQ,连QB.(1)如图,直接写出线段AP与BQ的数量关系;(2)如图,当点P、B在AC同侧且APAC时,求证:直线PB垂直平分线段CQ;(3)如图,若等边三角形ABC的边长为4,点P、B分别位于直线AC异侧,且APQ的面
6、积等于, 求线段AP的长度第3题图4. 如图,在RtABC中,ACB90,ACBC, 在RtBDE中,BDE90,BDDE,连接AE,取AE边的中点P,连接DP、CP.(1)观察猜想填空:DP与CP的数量关系是_;DP与CP的位置关系是_;(2)类比探究把图中的BDE绕点B逆时针旋转45至如图的位置,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请就图的情形给出证明;若不成立,请说明理由;(3)问题解决若BC3BD3,将图中BDE绕点B在平面内自由旋转,当BEAB时,直接写出线段CP的长第4题图备用图参考答案典例精讲例3(1)证明:ABCEBF90,ABECBF,又四边形ABCD是正方形,ABCB,在A
7、BE和CBF中,ABECBF(SAS),AECF;(2)证明:BFCF,由(1)可知ABECBF,AEBCFB90,由旋转的性质可知EBF90,EBFAEB180,即AEBF;(3)证明:由(1)可知ABECBF,BAEBCG,又BCGBGC90,BGCHGA,AHGBAEHGA90,即CHAE;(4)证明:如解图,在BC上截取一点Q,使得BQBP,连接PQ、FQ,EBFPBQ90,EBPFBQ,BEBF,BPBQ,EBPFBQ(SAS),EPFQ,BFQBEP45,PFQBFEBFQ90,PQ2PF2FQ2PF2EP2,PBQ是等腰直角三角形,PQ22BP2,PE2PF22BP2;例3题解图
8、(5)解:如解图,过点F作AB的平行线交BN的延长线于点G,连接AG,ABFG,ABGFGB,BFG180ABF,ABGGBC90,GBCBCE90,ABGBCEFGB.EBFABC90,EBCEBFABCABF180ABF,EBCBFG,在EBC和BFG中,EBCBFG(AAS),BCFG,BCAB,ABFG,四边形ABFG是平行四边形,ANFN,ABEF,ABBC,BPPFBE2,APABBP4,在RtAPF中,AF2,FNAF;例3题解图(6)证明:在ABE和CBF中,ABECBF(SAS),BCFBAE,又HECBEA,EHCABE90,即AHCF.BFBE2,BCAB,ACAB2,A
9、FABBF2,AFAC,由等腰三角形的性质得FHCH,AH是线段CF的垂直平分线;(7)解:点M是AD的中点,AM2,AMBC,AMOCBO,在RtABM中,BM2,BOBM,又OE,BEBOOE.BEFBCO45,EBNCBO,EBNCBO,BN.针对训练1. (1)解:EDBD;【解法提示】点D为RtABC中斜边AB的中点,CDADBD,线段CD绕点D顺时针旋转(60120)得到线段ED,CDED,EDBD,在RtABC中,ACB90,A60,B30,CDBD,BDCG30,在RtDCG中,tanDCGtan30.(2) 解:四边形CDEF为正方形,理由如下:90,DM平分CDE,CDE9
10、0,CDFEDF,CDED,DFDF,CDFEDF(SAS),DCFDEF,CFDE,FCDCDE180,FCD90,DCFDEFCDE90,四边形CDEF为矩形,又CDED,四边形CDEF为正方形;证明: 在正方形CDEF中,GDHCFH,又CDCF,由(1)得:A60,CDAD,则ACD为等边三角形,ADC60,CDE90,GDB30,GDBGBD,GDGB,又DEDB,DBEDEB(180GDB)75,GBE753045,GDH45,GBEGDH.在GBE与GDH中,GBEGDH(ASA),BEDH,;(3).【解法提示】由(2)中知CDFEDF,CDFEDF,CFDEFD,CFDE,C
11、FDEDF,CFDCDF,EDFEFD,CFCD,EDEF,四边形CDEF为菱形,ACD为等边三角形,ACCDADBD2,菱形的边长也为2,由题意,HDG,DEBDBEADE30,DBG30,EBG,即HDGEBG,EBGHDG,在菱形CDEF中,HFCHDG,EBGHFC,如解图,作DKCG,DCK30,CDK60,KDG60,CD2,DK1,CK,在RtKDG中,tanKDGtan(60)m,GKm,CGm,在RtABC中,BCAC2,BGBCCG2mm,CFCD2,.第1题解图2. (1)证明:四边形ABCD是正方形,B90,ABBC.由旋转的性质可得ABAB,BAB90.ABABBC.
12、BABB90,ABBC.四边形ACBB是平行四边形;(2)证明:如解图,过点F作FMAB,垂足为M,第2题解图AMF90,1390.四边形ABCD是正方形,ABBC,B90.FAE90,1290.23,AMFB.又AFAE,AFMEAB(AAS)FMAB,AMBE.FMGB90,FGMCGB,FMABBC,FMGCBG(AAS),FGCG,GMGB,ABBC,AMBE,MBCE.GMGBMB,GBCE,即CE2BG;(3)解:如解图,过点F作FNAB,垂足为N,第2题解图AB1,BC2,CE,同(2)可得AFNEAB,BEAN,FNAB1.BN1.FNGGBC,FGNCGB,FNGCBG,.设
13、BGx,则NGx,解得x.BG.3. (1)解:APBQ;【解法提示】线段CP绕点C逆时针方向旋转60得到CQ,CPCQ,PCQ60,在等边三角形ABC中,ACB60,ACBC,ACPBCQ,ACPBCQ,APBQ;(2)证明:APAC,CAl,ACP是等腰直角三角形,由(1)得ACPBCQ,BCQ是等腰直角三角形,CBQ90,在等边三角形ABC中,ACAB,BACABC60,ABAP,BAP906030,ABPAPB(18030)275,CBD180756045,QBD45,PD平分CBQ,又CBQ为等腰直角三角形,直线PB垂直平分线段CQ;(3)解:(i)当点Q在直线l上方时,如解图,延长
14、BQ交l于点E,过点Q作QFl于点F,由(1)知ACPBCQ,APBQ,CBQCAP90,CABABC60,BAEABE30,又ABAC4,AEBE,BEF60,设APt,则BQt,EQt,在RtEFQ中,QFEQ(t),SAPQAPQF,即t(t),解得t或t,AP的长为或;第3题解图(ii)当点Q在直线l下方时,如解图,过点B作BEl于点E,过点Q作QFl于点F,设BQ交l于点M,由(1)可知,ACPBCQ,APBQ,CAPCBQ90,ACB60,CAM90,在四边形AMBC中,AMB360609090120,即BMEQMF60,BAE906030,AB4,BEAB2,BM,设APx,则B
15、Qx,MQx,QF MQsin60(x),APQ的面积等于,APQF,即x( x),解得x或x(不合题意,舍去),AP的长为.第3题解图综上所述,AP的长为或或.4. 解:(1)DPCP;DPCP;【解法提示】ACB90,点P为AE的中点,PC为RtAEC斜边AE的中线,CPAE,同理可证,DPAE,DPCP;DPE2DAE,CPE2CAE,ACBC,BAC45,DPC2BAC90,DPCP;(2)(1)中的结论仍然成立;证明:如解图,过点P作MNAC于点N,交BD的延长线于点M,易得四边形BCNM为矩形,CNBM.等腰RtBDE绕点B逆时针旋转45,MBA45,MPBM,MPCN,EDB90,PMB90,DEMN,点P为AE的中点,APEPPNMD,MDPN,DMPPNC90,PMDCNP,DPCP,DPMPCN,PCNCPN90,DPMCPN90,DPC90,DPCP;第4题解图(3)CP的长为4或2.【解法提示】分两种情况讨论:如解图,由(2)可知DPCP,DPCP,PCD为等腰直角三角形,BC3BD3,CDBDBC4,CP4;如解图,由(2)可知DPCP,DPCP,PCD为等腰直角三角形,BC3BD3,CDBCBD2,CP2.综上所述,CP的长为4或2.图图第4题解图
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