1、2024甘肃中考数学二轮专题训练 几何综合探究旋转问题 典例精讲例3已知，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在边AB、BC上，且BEBF，连接EF.如图，将BEF绕点B逆时针旋转，连接AE，CF. (1)求证：AECF；【思维教练】要证AECF，可先证ABECBF，已知ABCB，BEBF，由旋转的性质可知EBAFBC，即可得证； 例3题图(2)如图，若BFCF，求证：AEBF；【思维教练】要证平行，只需证AEBEBF180即可，由题目可知BFC90，结合题干与(1)中三角形全等即可得证； 例3题图(3)如图，延长CF交AE于点H，交AB于点G，求证：CHAE；【思维教练】要证CHAE，即证A
2、HG90，由(1)中三角形全等可知BAEBCG，结合对顶角相等即可证得垂直； 例3题图(4)如图，当点F恰好落在AC上时，EF交AB于点P，求证：PE2PF22BP2；【思维教练】要证线段长平方的数量关系，可通过构造直角三角形证得如图，在BC上找一点Q，使得BPBQ，连接PQ、FQ，通过证明三角形全等，利用勾股定理即可得证；例3题图(5)如图，过点B作BMCE，延长BM交AF于点N，EF交AB于点P，若AB6，BE2，当ABEF时，求FN的长；【思维教练】过点F作AB的平行线与BN的延长线相交，再与A点连接，求证得到的四边形是平行四边形，得到AN与FN的数量关系，根据垂直可得到AP和FP的长，
3、结合勾股定理即可求解； 例3题图(6)如图，当点E恰好落在BC上时，延长AE交CF于点H，连接AC，若AB，BE2.求证：AH是线段CF的垂直平分线；【思维教练】先证明ABECBF，得到角相等，进而证得AHCF，结合已知条件得到AF与AC的长，根据等腰三角形的“三线合一”即可得证； 例3题图(7)如图，已知点M是AD的中点，连接AM交AC于点O，当BEF的BE边与BM重合时，若AB4，OE，求BN的长【思维教练】根据已知条件可证得AMOCBO，EBNCBO，根据相似三角形比例关系即可求出BN的长 例3题图针对训练1. 如图，在RtABC中，ACB90，A60，点D为AB的中点，连接CD，将线段
4、CD绕点D顺时针旋转(60120)得到线段ED，且ED交线段BC于点G，CDE 的平分线DM交BC于点H.(1)如图，若90，则线段ED与BD的数量关系是_，_；(2)如图，在(1)的条件下，过点C作CFDE交DM于点F，连接EF，BE.试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；求证： ；(3)如图，若AC2，tan(60)m，过点C作CFDE交DM于点F，连接EF，BE，请直接写出的值(用含m的式子表示)第1题图2. 【问题解决】(1)如图，在正方形ABCD中，将线段AB顺时针旋转90得到线段AB，分别连接BB，AC，证明：四边形ACBB是平行四边形；【问题探索】(2)如图，在正方形ABCD中
5、，点E是线段BC上的一点，连接AE，并将线段AE绕点A顺时针旋转90得到线段AF，连接FC，设线段FC与直线AB相交于点G，证明：CE2BG；【拓展应用】(3)如图，将图中的正方形ABCD变为矩形，其中AB1，BC2，当CE时，求BG的长第2题图3. 已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点(不与点A重合)，连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60得到CQ，连QB.(1)如图，直接写出线段AP与BQ的数量关系；(2)如图，当点P、B在AC同侧且APAC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；(3)如图，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且APQ的面
6、积等于， 求线段AP的长度第3题图4. 如图，在RtABC中，ACB90，ACBC, 在RtBDE中，BDE90，BDDE，连接AE，取AE边的中点P，连接DP、CP.(1)观察猜想填空：DP与CP的数量关系是_；DP与CP的位置关系是_；(2)类比探究把图中的BDE绕点B逆时针旋转45至如图的位置，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请就图的情形给出证明；若不成立，请说明理由；(3)问题解决若BC3BD3，将图中BDE绕点B在平面内自由旋转，当BEAB时，直接写出线段CP的长第4题图备用图参考答案典例精讲例3(1)证明：ABCEBF90，ABECBF，又四边形ABCD是正方形，ABCB，在A
7、BE和CBF中，ABECBF(SAS)，AECF；(2)证明：BFCF，由(1)可知ABECBF，AEBCFB90，由旋转的性质可知EBF90，EBFAEB180，即AEBF；(3)证明：由(1)可知ABECBF，BAEBCG，又BCGBGC90，BGCHGA，AHGBAEHGA90，即CHAE；(4)证明：如解图，在BC上截取一点Q，使得BQBP，连接PQ、FQ，EBFPBQ90，EBPFBQ，BEBF，BPBQ，EBPFBQ(SAS)，EPFQ，BFQBEP45，PFQBFEBFQ90，PQ2PF2FQ2PF2EP2，PBQ是等腰直角三角形，PQ22BP2，PE2PF22BP2；例3题解图
8、(5)解：如解图，过点F作AB的平行线交BN的延长线于点G，连接AG，ABFG，ABGFGB，BFG180ABF，ABGGBC90，GBCBCE90，ABGBCEFGB.EBFABC90，EBCEBFABCABF180ABF，EBCBFG，在EBC和BFG中，EBCBFG(AAS)，BCFG，BCAB，ABFG，四边形ABFG是平行四边形，ANFN，ABEF，ABBC，BPPFBE2，APABBP4，在RtAPF中，AF2，FNAF；例3题解图(6)证明：在ABE和CBF中，ABECBF(SAS)，BCFBAE，又HECBEA，EHCABE90，即AHCF.BFBE2，BCAB，ACAB2，A
9、FABBF2，AFAC，由等腰三角形的性质得FHCH，AH是线段CF的垂直平分线；(7)解：点M是AD的中点，AM2，AMBC，AMOCBO，在RtABM中，BM2，BOBM，又OE，BEBOOE.BEFBCO45，EBNCBO，EBNCBO，BN.针对训练1. (1)解：EDBD；【解法提示】点D为RtABC中斜边AB的中点，CDADBD，线段CD绕点D顺时针旋转(60120)得到线段ED，CDED，EDBD，在RtABC中，ACB90，A60，B30，CDBD，BDCG30，在RtDCG中，tanDCGtan30.(2) 解：四边形CDEF为正方形，理由如下：90，DM平分CDE，CDE9
10、0，CDFEDF，CDED，DFDF，CDFEDF(SAS)，DCFDEF，CFDE，FCDCDE180，FCD90，DCFDEFCDE90，四边形CDEF为矩形，又CDED，四边形CDEF为正方形；证明： 在正方形CDEF中，GDHCFH，又CDCF，由(1)得：A60，CDAD，则ACD为等边三角形，ADC60，CDE90，GDB30，GDBGBD，GDGB，又DEDB，DBEDEB(180GDB)75，GBE753045，GDH45，GBEGDH.在GBE与GDH中，GBEGDH(ASA)，BEDH，；(3).【解法提示】由(2)中知CDFEDF，CDFEDF，CFDEFD，CFDE，C
11、FDEDF，CFDCDF，EDFEFD，CFCD，EDEF，四边形CDEF为菱形，ACD为等边三角形，ACCDADBD2，菱形的边长也为2，由题意，HDG，DEBDBEADE30，DBG30，EBG，即HDGEBG，EBGHDG，在菱形CDEF中，HFCHDG，EBGHFC，如解图，作DKCG，DCK30，CDK60，KDG60，CD2，DK1，CK，在RtKDG中，tanKDGtan(60)m，GKm，CGm，在RtABC中，BCAC2，BGBCCG2mm，CFCD2，.第1题解图2. (1)证明：四边形ABCD是正方形，B90，ABBC.由旋转的性质可得ABAB，BAB90.ABABBC.
12、BABB90，ABBC.四边形ACBB是平行四边形；(2)证明：如解图，过点F作FMAB，垂足为M，第2题解图AMF90，1390.四边形ABCD是正方形，ABBC，B90.FAE90，1290.23，AMFB.又AFAE，AFMEAB(AAS)FMAB，AMBE.FMGB90，FGMCGB，FMABBC，FMGCBG(AAS)，FGCG，GMGB，ABBC，AMBE，MBCE.GMGBMB，GBCE，即CE2BG；(3)解：如解图，过点F作FNAB，垂足为N，第2题解图AB1，BC2，CE，同(2)可得AFNEAB，BEAN，FNAB1.BN1.FNGGBC，FGNCGB，FNGCBG，.设
13、BGx，则NGx，解得x.BG.3. (1)解：APBQ；【解法提示】线段CP绕点C逆时针方向旋转60得到CQ，CPCQ，PCQ60，在等边三角形ABC中，ACB60，ACBC，ACPBCQ，ACPBCQ，APBQ；(2)证明：APAC，CAl，ACP是等腰直角三角形，由(1)得ACPBCQ，BCQ是等腰直角三角形，CBQ90，在等边三角形ABC中，ACAB，BACABC60，ABAP，BAP906030，ABPAPB(18030)275，CBD180756045，QBD45，PD平分CBQ，又CBQ为等腰直角三角形，直线PB垂直平分线段CQ；(3)解：(i)当点Q在直线l上方时，如解图，延长
14、BQ交l于点E，过点Q作QFl于点F，由(1)知ACPBCQ，APBQ，CBQCAP90，CABABC60，BAEABE30，又ABAC4，AEBE，BEF60，设APt，则BQt，EQt，在RtEFQ中，QFEQ(t)，SAPQAPQF，即t(t)，解得t或t，AP的长为或；第3题解图(ii)当点Q在直线l下方时，如解图，过点B作BEl于点E，过点Q作QFl于点F，设BQ交l于点M，由(1)可知，ACPBCQ，APBQ，CAPCBQ90，ACB60，CAM90，在四边形AMBC中，AMB360609090120，即BMEQMF60，BAE906030，AB4，BEAB2，BM，设APx，则B
15、Qx，MQx，QF MQsin60(x)，APQ的面积等于，APQF，即x( x)，解得x或x(不合题意，舍去)，AP的长为.第3题解图综上所述，AP的长为或或.4. 解：(1)DPCP；DPCP；【解法提示】ACB90，点P为AE的中点，PC为RtAEC斜边AE的中线，CPAE，同理可证，DPAE，DPCP；DPE2DAE，CPE2CAE，ACBC，BAC45，DPC2BAC90，DPCP；(2)(1)中的结论仍然成立；证明：如解图，过点P作MNAC于点N，交BD的延长线于点M，易得四边形BCNM为矩形，CNBM.等腰RtBDE绕点B逆时针旋转45，MBA45，MPBM，MPCN，EDB90，PMB90，DEMN，点P为AE的中点，APEPPNMD，MDPN，DMPPNC90，PMDCNP，DPCP，DPMPCN，PCNCPN90，DPMCPN90，DPC90，DPCP；第4题解图(3)CP的长为4或2.【解法提示】分两种情况讨论：如解图，由(2)可知DPCP，DPCP，PCD为等腰直角三角形，BC3BD3，CDBDBC4，CP4；如解图，由(2)可知DPCP，DPCP，PCD为等腰直角三角形，BC3BD3，CDBCBD2，CP2.综上所述，CP的长为4或2.图图第4题解图
