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高三数学培优专题练习19:圆锥曲线综合.doc

1、 培优点十九培优点十九 圆锥曲线综合圆锥曲线综合 1直线过定点 例 1:已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 2 2 ,过左焦点F且垂直于x轴 的直线交椭圆C于P,Q两点,且2 2PQ (1)求C的方程; (2)若直线l是圆 22 8xy上的点2,2处的切线,点M是直线l上任一点,过点M作椭 圆C的切线MA,MB,切点分别为A,B,设切线的斜率都存在求证:直线AB过定点, 并求出该定点的坐标 【答案】 (1) 22 1 84 xy ; (2)证明见解析,2,1 【解析】 (1)由已知,设椭圆C的方程为 22 22 10 xy ab ab , 因为2 2PQ ,不妨设点 ,2Pc,代入

2、椭圆方程得 2 22 2 1 c ab , 又因为 2 2 c e a ,所以 2 12 1 2b ,bc,所以 2 4b , 22 28ab, 所以C的方程为 22 1 84 xy (2)依题设,得直线l的方程为22yx,即40 xy, 设 00 ,M x y, 11 ,A x y, 22 ,B x y, 由切线MA的斜率存在,设其方程为 11 yyk xx, 联立 11 22 1 84 yyk xx xy 得, 2 22 1111 214280kxk ykx xykx, 由相切得 22 22 1111 168 2140kykxkykx , 化简得 2 2 11 84ykxk,即 222 1

3、111 8240 xkx y ky, 因为方程只有一解,所以 11111 22 111 822 x yx yx k xyy ,所以切线MA的方程为 1 11 1 2 x yyxx y , 即 11 28x xy y,同理,切线MB的方程为 22 28x xy y, 又因为两切线都经过点 00 ,M x y,所以 1010 2020 28 28 x xy y x xy y ,所以直线AB的方程为 00 28x xy y, 又 00 4xy,所以直线AB的方程可化为 00 2 48x xxy, 即 0 2880 xxyy ,令 20 880 xy y ,得 2 1 x y , 所以直线AB恒过定点

4、2,1 2面积问题 例 2: 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F, 焦距为 4, 直线 1: b lyx c 与椭圆相交于A、B两点, 2 F关于直线 1 l的对称点E在椭圆上斜率为1的直线 2 l与线段 AB相交于点P,与椭圆相交于C、D两点 (1)求椭圆的标准方程; (2)求四边形ACBD面积的取值范围 【答案】 (1) 22 1 84 xy ; (2) 32 32 , 93 【解析】 (1)由椭圆焦距为 4,设 1 2,0F , 2 2,0F,连结 1 EF,设 12 EFF, 则tan b c ,又 222 abc,得sin b a ,

5、cos c a , 12 12 2sin901 2|sinsin 90 FF cac e bc aEFEFbca aa , 解得 22 2abccbc, 2 8a ,所以椭圆方程为 22 1 84 xy (2)设直线 2 l方程:+yx m, 11 ,C x y、 22 ,D xy, 由 22 1 84 xy yxm ,得 22 34280 xmxm,所以 12 2 12 4 3 28 3 xxm m x x , 由(1)知直线 1 l:yx,代入椭圆得 22 6,6 33 A , 22 6,6 33 B ,得 8 3 3 AB , 由直线 2 l与线段AB相交于点P,得 44 6,6 33

6、m , 2 2 2 2 121212 4 28 164 2282+12 933 m m CDxxxxx xm , 而 2 1 l k 与 1 1 l k ,知 21 ll, 2 116 3 +12 29 ACBD SABCDm, 由 44 6,6 33 m ,得 2 32 ,0 3 m ,所以 2 16 332 32 +12, 993 m , 四边形ACBD面积的取值范围 32 32 , 93 3参数的值与范围 例 3:已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点1,0F,点1,2A在抛物线C上,过焦点F的 直线l交抛物线C于M,N两点 (1)求抛物线C的方程以及AF的值; (2)记抛物线C的准

7、线与x轴交于点B,若MFFN, 22 40BMBN,求的值 【答案】 (1) 2 4yx,2AF ; (2)23 【解析】 (1)抛物线 2 :20C ypx p的焦点1,0F, 1 2 p ,则24p ,抛物线方程为 2 4yx; 点1,2A在抛物线C上,12 2 p AF (2)依题意,1,0F,设:1l xmy,设 11 ,M x y、 22 ,N x y, 联立方程 2 4 1 yx xmy ,消去x,得 2 440ymy 所以 12 12 4 4 yym y y ,且 11 22 1 1 xmy xmy , 又MFFN,则 1122 1,1,xyxy,即 12 yy , 代入得 2

8、2 2 4 14 y ym ,消去 2 y得 2 1 42m , 1,0B ,则 11 1,BMxy, 22 1,BNxy, 则 22 22 2222 1122 |11BMBNBMBNxyxy 2222 121212 22xxxxyy 2222 121212 (1)(1)222mymymymyyy 222 1212 148myym yy 2242 1 168448164016mmmmmm, 当 42 16401640mm,解得 2 1 2 m ,故23 4弦长类问题 例 4: 已知椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 的左右顶点是双曲线 2 2 2: 1 3 x Cy的顶点, 且椭

9、圆 1 C的上顶点到双曲线 2 C的渐近线的距离为 3 2 (1)求椭圆 1 C的方程; (2)若直线l与 1 C相交于 1 M, 2 M两点,与 2 C相交于 1 Q, 2 Q两点,且 12 5OQ OQ ,求 12 M M的取值范围 【答案】 (1) 2 2 1 3 x y; (2)0, 10 【解析】 (1)由题意可知: 2 3a ,又椭圆 1 C的上顶点为0,b, 双曲线 2 C的渐近线为: 3 30 3 yxxy , 由点到直线的距离公式有: 3 3 1 22 b b ,椭圆方程 2 2 1 3 x y (2)易知直线 的斜率存在,设直线 的方程为ykxm,代入 2 2 1 3 x

10、y,消去y并整理 得: 222 1 36330kxkmxm, 要与 2 C相交于两点,则应有: 2 2 2222 22 130 130 364 1333013 k k kmkmmk , 设 111 ,Q x y, 222 ,Qx y, 则有: 12 2 6 13 km xx k , 2 12 2 33 13 m xx k 又 22 121 2121 2121 212 1OQ OQx xy yx xkxmkxmkx xkm xxm 又: 12 5OQ OQ ,所以有: 222222 2 1 1336135 13 kmk mmk k , 22 1 9mk , 将ykxm,代入 2 2 1 3 x

11、y,消去y并整理得: 222 1 36330kxkmxm, 要有两交点,则 222222 364 1 333031k mkmkm 由有 2 1 0 9 k 设 133 ,Mx y、 244 ,Mxy有 34 2 6 13 km xx k , 2 34 2 33 13 m xx k , 2222 2 12 2 2 364 33 13 1 13 k mmk M Mk k 22 2 2 2 4 339 1 13 mk k k 将 22 1 9mk 代入有 2 22 1212 22 2 12 144 11 13 13 k k M MkM Mk k k 22 12 2 2 1 12 13 kk M M

12、k ,令 2 tk, 1 0, 9 t , 令 23 11 1313 ttt f tft tt , 1 0, 9 t 所以 0ft 在 1 0, 9 t 内恒成立,故函数 f t在 1 0, 9 t 内单调递增, 故 12 5 0,0, 10 72 f tM M 5存在性问题 例 5: 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 1,0F , 2 1,0F, 点 2 1, 2 A 在椭圆C上 (1)求椭圆C的标准方程; (2)是否存在斜率为 2 的直线l,使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M,N时,能在 直线 5 3 y 上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足

13、PMNQ?若存在,求出直线l的 方程;若不存在,说明理由 【答案】 (1) 2 2 1 2 x y; (2)不存在,见解析 【解析】 (1)设椭圆C的焦距为2c,则1c , 2 1, 2 A 在椭圆C上, 2 2 12 22 21 12 2 22 aAFAF , 2a , 222 1bac,故椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y (2)假设这样的直线存在,设直线l的方程为2yxt, 设 11 ,M x y, 22 ,N x y, 3 5 3 ,P x , 44 ,Q xy,MN的中点为 00 ,D x y, 由 22 2 22 yxt xy ,消去x,得 22 9280ytyt , 12 2

14、 9 t yy,且 22 43680tt,故 12 0 29 yyt y 且33t , 由PMNQ,知四边形PMQN为平行四边形, 而D为线段MN的中点,因此D为线段PQ的中点, 4 0 5 3 29 y t y ,得 4 215 9 t y , 又33t ,可得 4 7 1 3 y ,点Q不在椭圆上, 故不存在满足题意的直线l 一、解答题 1已知动圆P过点 2 2,0F并且与圆 2 2 1: 24Fxy相外切,动圆圆心P的轨迹为C (1)求曲线C的轨迹方程; (2)过点 2 2,0F的直线 1 l与轨迹C交于A、B两点,设直线 1 : 2 l x ,设点1,0D ,直线 AD交l于M,求证:

15、直线BM经过定点 【答案】 (1) 2 2 10 3 y xx; (2)见解析 【解析】 (1)由已知 12 | | 2PFPF, 12 | | 2PFPF, P轨迹C为双曲线的右支,22a ,1a , 12 | 24FFc,2c 曲线C标准方程 2 2 10 3 y xx (2)由对称性可知,直线BM必过x轴的定点, 当直线 1 l的斜率不存在时,2,3A,2, 3B, 1 3 , 2 2 M ,知直线BM经过点1,0P, 当直线 1 l的斜率存在时,不妨设直线 1: 2lyk x, 11 ,A x y, 22 ,B x y, 对点增分集训对点增分集训 直线 1 1 :1 1 y AD yx

16、 x ,当 1 2 x 时, 1 1 3 21 M y y x , 1 1 31 , 2 21 y M x , 22 2 33 yk x xy 得 2222 34430kxk xk, 2 12 2 4 3 k xx k , 2 12 2 43 3 k x x k , 下面证明直线BM经过点1,0P,即证 PMPB kk,即 12 12 3 11 yy xx , 即 121122 33y xyx yy,由 11 2ykxk, 22 2ykxk, 整理得, 1 212 4540 x xxx,即 2 22 222 43 434 450 333 k kk kkk 即证BM经过点1,0P,直线BM过定点

17、1,0 2已知点 3 1, 2 在椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 上,设A,B分别为椭圆的左顶点、下顶点, 原点O到直线AB的距离为 2 21 7 (1)求椭圆E的方程; (2)设P为椭圆E在第一象限内一点,直线PA,PB分别交y轴、x轴于D,C两点,求 四边形ABCD的面积 【答案】 (1) 22 1 43 xy ; (2)2 3 【解析】 (1)因为椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 经过点 3 1, 2 ,有 22 9 1 4 1 ab , 由等面积法,可得原点O到直线AB的距离为 22 2 21 7 ab ab , 联立两方程解得2a ,3b ,所以椭圆E的方程

18、为 22 :1 43 xy E (2)设点 0000 0,0P x yxy,则 22 00 1 43 xy ,即 22 00 3412xy 直线 0 0 :2 2 y PA yx x ,令0 x ,得 0 0 2 2 D y y x 从而有 000 00 2322 3 3 22 yxy BD xx ,同理,可得 00 0 322 3 3 xy AC y 所以四边形的面积为 0000 0 0 322 3322 311 2223 xyxy ACBD xy 22 0000000000 00000000 34124 3128 312124 3128 311 22322 3322 3 xyx yxyx

19、yxy x yxyx yxy 0000 0000 122 364 3 2 3 322 3 x yxy x yxy 所以四边形ABCD的面积为2 3 3已知点C为圆 2 2 18xy的圆心,P是圆上的动点,点Q在圆的半径CP上,且有点 1,0A和AP上的点M,满足0MQ AP,2APAM (1)当点P在圆上运动时,判断Q点的轨迹是什么?并求出其方程; (2) 若斜率为k的直线l与圆 22 1xy相切, 与 (1) 中所求点Q的轨迹交于不同的两点F, H,且 34 45 OF OF(其中O是坐标原点) ,求k的取值范围 【答案】 (1)是以点C,A为焦点,焦距为 2,长轴长为2 2的椭圆, 2 2

20、 1 2 x y; (2) 2332 , 2332 【解析】 (1)由题意MQ是线段AP的垂直平分线, 所以2 22CPQCQPQCQACA, 所以点Q的轨迹是以点C,A为焦点,焦距为 2,长轴长为2 2的椭圆, 2a ,1c , 22 1bac, 故点Q的轨迹方程是 2 2 1 2 x y (2)设直线l:ykxb, 11 ,F x y, 22 ,H x y, 直线l与圆 22 1xy相切,得 2 1 1 b k ,即 22 1bk, 联立 2 2 1 2 x y ykxb ,消去y得: 222 124220kxkbxb, 2222222 164 12218 2180k bkbkbk,得0k

21、 , 12 2 4 12 kb xx k , 2 12 2 22 12 b x x k , 22 222 12121212 22 122 4 1 1212 kb kb OF OHx xy ykx xkb xxbkbb kk 2222 2 2 222 1241 1 1 121212 kkkk k k kkk , 所以 2 2 314 4125 k k ,得 2 11 32 k, 32 32 k,解得 23 23 k 或 32 32 k, 故所求范围为 2332 , 2332 4已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的焦距为2c,离心率为 1 2 ,圆 222 :O xyc, 1 A,

22、 2 A 是椭圆的左右顶点,AB是圆O的任意一条直径, 1 A AB面积的最大值为 2 (1)求椭圆C及圆O的方程; (2)若l为圆O的任意一条切线,l与椭圆E交于两点P,Q,求PQ的取值范围 【答案】 (1) 22 1 43 xy , 22 1xy; (2) 4 6 3, 3 【解析】(1) 设B点到x轴距离为h, 则 11 1 1 22 2 A ABAOB SSAO ha h , 易知当线段AB 在y轴时, max hBOc, 1 2 A AB Sa c , 1 2 c e a ,2ac,2a,1c ,3b , 所以椭圆方程为 22 1 43 xy ,圆的方程为 22 1xy (2)当直线

23、L的斜率不存在时,直线L的方程为1x ,此时 2 2 3 b PQ a ; 设直线L方程为:ykxm,直线为圆的切线, 2 1 1 m d k , 22 1mk, 直线与椭圆联立, 22 1 43 ykxm xy ,得 222 4384120kxkmxm, 判别式 2 48 320k,由韦达定理得: 12 2 2 12 2 8 43 412 43 km xx k m xx k , 所以弦长 22 2 12 2 4 3132 1 43 kk PQkxx k ,令 2 433tk, 所以 2 124 6 333, 3 PQ tt ; 综上, 4 6 3, 3 PQ , 5如图,己知 1 F、 2

24、F是椭圆 22 22 :10 xy Gab ab 的左、右焦点,直线:1l yk x经 过左焦点 1 F,且与椭圆G交A,B两点, 2 ABF的周长为4 3 (1)求椭圆G的标准方程; (2)是否存在直线I,使得 2 ABF为等腰直角三角形?若存在,求出直线l的方程;若不 存在,请说明理由 【答案】 (1) 22 1 32 xy ; (2)不存在,见解析 【解析】 (1)设椭圆G的半焦距为c,因为直线l与x轴的交点为1,0,故1c 又 2 ABF的周长为4 3,即 22 44 3ABAFBFa,故3a ,所以, 222 3 12bac 因此,椭圆G的标准方程为 22 1 32 xy (2)不存

25、在理由如下: 先用反证法证明AB不可能为底边,即 22 AFBF 由题意知 2 1,0F,设 11 ,A x y, 22 ,B x y,假设 22 AFBF,则 22 22 1122 11xyxy, 又 22 11 1 32 xy , 22 22 1 32 xy ,代入上式,消去 2 1 y, 2 2 y得: 1212 60 xxxx 因为直线l斜率存在,所以直线l不垂直于x轴,所以 12 xx,故 12 6xx (与 1 3x , 2 3x , 12 2 36xx矛盾) 联立方程 22 1 32 1 xy yk x ,得: 2222 326360kxk xk,所以 2 12 2 6 6 32 k xx k 矛 盾 故 22 AFBF 再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰 假设 2 ABF为等腰直角三角形,不妨设A为直角顶点 设 1 AFm,则 2 2 3AFm,在 12 AFF中,由勾股定理得: 2 2 2 34mm,此方 程无解故不存在这样的等腰直角三角形

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