1、 培优点十九培优点十九 圆锥曲线综合圆锥曲线综合 1直线过定点 例 1：已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 2 2 ，过左焦点F且垂直于x轴 的直线交椭圆C于P，Q两点，且2 2PQ （1）求C的方程； （2）若直线l是圆 22 8xy上的点2,2处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭 圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，设切线的斜率都存在求证：直线AB过定点， 并求出该定点的坐标 【答案】 （1） 22 1 84 xy ； （2）证明见解析，2,1 【解析】 （1）由已知，设椭圆C的方程为 22 22 10 xy ab ab ， 因为2 2PQ ，不妨设点 ,2Pc，代入
2、椭圆方程得 2 22 2 1 c ab ， 又因为 2 2 c e a ，所以 2 12 1 2b ，bc，所以 2 4b ， 22 28ab， 所以C的方程为 22 1 84 xy （2）依题设，得直线l的方程为22yx，即40 xy， 设 00 ,M x y， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 由切线MA的斜率存在，设其方程为 11 yyk xx， 联立 11 22 1 84 yyk xx xy 得， 2 22 1111 214280kxk ykx xykx， 由相切得 22 22 1111 168 2140kykxkykx ， 化简得 2 2 11 84ykxk，即 222 1
3、111 8240 xkx y ky， 因为方程只有一解，所以 11111 22 111 822 x yx yx k xyy ，所以切线MA的方程为 1 11 1 2 x yyxx y ， 即 11 28x xy y，同理，切线MB的方程为 22 28x xy y， 又因为两切线都经过点 00 ,M x y，所以 1010 2020 28 28 x xy y x xy y ，所以直线AB的方程为 00 28x xy y， 又 00 4xy，所以直线AB的方程可化为 00 2 48x xxy， 即 0 2880 xxyy ，令 20 880 xy y ，得 2 1 x y ， 所以直线AB恒过定点
4、2,1 2面积问题 例 2： 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、 右焦点分别为 1 F、 2 F， 焦距为 4， 直线 1: b lyx c 与椭圆相交于A、B两点， 2 F关于直线 1 l的对称点E在椭圆上斜率为1的直线 2 l与线段 AB相交于点P，与椭圆相交于C、D两点 （1）求椭圆的标准方程； （2）求四边形ACBD面积的取值范围 【答案】 （1） 22 1 84 xy ； （2） 32 32 , 93 【解析】 （1）由椭圆焦距为 4，设 1 2,0F ， 2 2,0F，连结 1 EF，设 12 EFF， 则tan b c ，又 222 abc，得sin b a ，
5、cos c a ， 12 12 2sin901 2|sinsin 90 FF cac e bc aEFEFbca aa ， 解得 22 2abccbc， 2 8a ，所以椭圆方程为 22 1 84 xy （2）设直线 2 l方程：+yx m， 11 ,C x y、 22 ,D xy， 由 22 1 84 xy yxm ，得 22 34280 xmxm，所以 12 2 12 4 3 28 3 xxm m x x ， 由（1）知直线 1 l：yx，代入椭圆得 22 6,6 33 A ， 22 6,6 33 B ，得 8 3 3 AB ， 由直线 2 l与线段AB相交于点P，得 44 6,6 33
6、m ， 2 2 2 2 121212 4 28 164 2282+12 933 m m CDxxxxx xm ， 而 2 1 l k 与 1 1 l k ，知 21 ll， 2 116 3 +12 29 ACBD SABCDm， 由 44 6,6 33 m ，得 2 32 ,0 3 m ，所以 2 16 332 32 +12, 993 m ， 四边形ACBD面积的取值范围 32 32 , 93 3参数的值与范围 例 3：已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点1,0F，点1,2A在抛物线C上，过焦点F的 直线l交抛物线C于M，N两点 （1）求抛物线C的方程以及AF的值； （2）记抛物线C的准
7、线与x轴交于点B，若MFFN， 22 40BMBN，求的值 【答案】 （1） 2 4yx，2AF ； （2）23 【解析】 （1）抛物线 2 :20C ypx p的焦点1,0F， 1 2 p ，则24p ，抛物线方程为 2 4yx； 点1,2A在抛物线C上，12 2 p AF （2）依题意，1,0F，设:1l xmy，设 11 ,M x y、 22 ,N x y， 联立方程 2 4 1 yx xmy ，消去x，得 2 440ymy 所以 12 12 4 4 yym y y ，且 11 22 1 1 xmy xmy ， 又MFFN，则 1122 1,1,xyxy，即 12 yy ， 代入得 2
8、2 2 4 14 y ym ，消去 2 y得 2 1 42m ， 1,0B ，则 11 1,BMxy， 22 1,BNxy， 则 22 22 2222 1122 |11BMBNBMBNxyxy 2222 121212 22xxxxyy 2222 121212 (1)(1)222mymymymyyy 222 1212 148myym yy 2242 1 168448164016mmmmmm， 当 42 16401640mm，解得 2 1 2 m ，故23 4弦长类问题 例 4： 已知椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 的左右顶点是双曲线 2 2 2: 1 3 x Cy的顶点， 且椭
9、圆 1 C的上顶点到双曲线 2 C的渐近线的距离为 3 2 （1）求椭圆 1 C的方程； （2）若直线l与 1 C相交于 1 M， 2 M两点，与 2 C相交于 1 Q， 2 Q两点，且 12 5OQ OQ ，求 12 M M的取值范围 【答案】 （1） 2 2 1 3 x y； （2）0, 10 【解析】 （1）由题意可知： 2 3a ，又椭圆 1 C的上顶点为0,b， 双曲线 2 C的渐近线为： 3 30 3 yxxy ， 由点到直线的距离公式有： 3 3 1 22 b b ，椭圆方程 2 2 1 3 x y （2）易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为ykxm，代入 2 2 1 3 x
10、y，消去y并整理 得： 222 1 36330kxkmxm， 要与 2 C相交于两点，则应有： 2 2 2222 22 130 130 364 1333013 k k kmkmmk ， 设 111 ,Q x y， 222 ,Qx y， 则有： 12 2 6 13 km xx k ， 2 12 2 33 13 m xx k 又 22 121 2121 2121 212 1OQ OQx xy yx xkxmkxmkx xkm xxm 又： 12 5OQ OQ ，所以有： 222222 2 1 1336135 13 kmk mmk k ， 22 1 9mk ， 将ykxm，代入 2 2 1 3 x
11、y，消去y并整理得： 222 1 36330kxkmxm， 要有两交点，则 222222 364 1 333031k mkmkm 由有 2 1 0 9 k 设 133 ,Mx y、 244 ,Mxy有 34 2 6 13 km xx k ， 2 34 2 33 13 m xx k ， 2222 2 12 2 2 364 33 13 1 13 k mmk M Mk k 22 2 2 2 4 339 1 13 mk k k 将 22 1 9mk 代入有 2 22 1212 22 2 12 144 11 13 13 k k M MkM Mk k k 22 12 2 2 1 12 13 kk M M
12、k ，令 2 tk， 1 0, 9 t ， 令 23 11 1313 ttt f tft tt ， 1 0, 9 t 所以 0ft 在 1 0, 9 t 内恒成立，故函数 f t在 1 0, 9 t 内单调递增， 故 12 5 0,0, 10 72 f tM M 5存在性问题 例 5： 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 1,0F ， 2 1,0F， 点 2 1, 2 A 在椭圆C上 （1）求椭圆C的标准方程； （2）是否存在斜率为 2 的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在 直线 5 3 y 上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足
13、PMNQ？若存在，求出直线l的 方程；若不存在，说明理由 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y； （2）不存在，见解析 【解析】 （1）设椭圆C的焦距为2c，则1c ， 2 1, 2 A 在椭圆C上， 2 2 12 22 21 12 2 22 aAFAF ， 2a ， 222 1bac，故椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y （2）假设这样的直线存在，设直线l的方程为2yxt， 设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 3 5 3 ,P x ， 44 ,Q xy，MN的中点为 00 ,D x y， 由 22 2 22 yxt xy ，消去x，得 22 9280ytyt ， 12 2
14、 9 t yy，且 22 43680tt，故 12 0 29 yyt y 且33t ， 由PMNQ，知四边形PMQN为平行四边形， 而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点， 4 0 5 3 29 y t y ，得 4 215 9 t y ， 又33t ，可得 4 7 1 3 y ，点Q不在椭圆上， 故不存在满足题意的直线l 一、解答题 1已知动圆P过点 2 2,0F并且与圆 2 2 1: 24Fxy相外切，动圆圆心P的轨迹为C （1）求曲线C的轨迹方程； （2）过点 2 2,0F的直线 1 l与轨迹C交于A、B两点，设直线 1 : 2 l x ，设点1,0D ，直线 AD交l于M，求证：
15、直线BM经过定点 【答案】 （1） 2 2 10 3 y xx； （2）见解析 【解析】 （1）由已知 12 | | 2PFPF， 12 | | 2PFPF， P轨迹C为双曲线的右支，22a ，1a ， 12 | 24FFc，2c 曲线C标准方程 2 2 10 3 y xx （2）由对称性可知，直线BM必过x轴的定点， 当直线 1 l的斜率不存在时，2,3A，2, 3B， 1 3 , 2 2 M ，知直线BM经过点1,0P， 当直线 1 l的斜率存在时，不妨设直线 1: 2lyk x， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 对点增分集训对点增分集训 直线 1 1 :1 1 y AD yx
16、 x ，当 1 2 x 时， 1 1 3 21 M y y x ， 1 1 31 , 2 21 y M x ， 22 2 33 yk x xy 得 2222 34430kxk xk， 2 12 2 4 3 k xx k ， 2 12 2 43 3 k x x k ， 下面证明直线BM经过点1,0P，即证 PMPB kk，即 12 12 3 11 yy xx ， 即 121122 33y xyx yy，由 11 2ykxk， 22 2ykxk， 整理得， 1 212 4540 x xxx，即 2 22 222 43 434 450 333 k kk kkk 即证BM经过点1,0P，直线BM过定点
17、1,0 2已知点 3 1, 2 在椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 上，设A，B分别为椭圆的左顶点、下顶点， 原点O到直线AB的距离为 2 21 7 （1）求椭圆E的方程； （2）设P为椭圆E在第一象限内一点，直线PA，PB分别交y轴、x轴于D，C两点，求 四边形ABCD的面积 【答案】 （1） 22 1 43 xy ； （2）2 3 【解析】 （1）因为椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 经过点 3 1, 2 ，有 22 9 1 4 1 ab ， 由等面积法，可得原点O到直线AB的距离为 22 2 21 7 ab ab ， 联立两方程解得2a ，3b ，所以椭圆E的方程
18、为 22 :1 43 xy E （2）设点 0000 0,0P x yxy，则 22 00 1 43 xy ，即 22 00 3412xy 直线 0 0 :2 2 y PA yx x ，令0 x ，得 0 0 2 2 D y y x 从而有 000 00 2322 3 3 22 yxy BD xx ，同理，可得 00 0 322 3 3 xy AC y 所以四边形的面积为 0000 0 0 322 3322 311 2223 xyxy ACBD xy 22 0000000000 00000000 34124 3128 312124 3128 311 22322 3322 3 xyx yxyx
19、yxy x yxyx yxy 0000 0000 122 364 3 2 3 322 3 x yxy x yxy 所以四边形ABCD的面积为2 3 3已知点C为圆 2 2 18xy的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点 1,0A和AP上的点M，满足0MQ AP，2APAM （1）当点P在圆上运动时，判断Q点的轨迹是什么？并求出其方程； （2） 若斜率为k的直线l与圆 22 1xy相切， 与 （1） 中所求点Q的轨迹交于不同的两点F， H，且 34 45 OF OF（其中O是坐标原点） ，求k的取值范围 【答案】 （1）是以点C，A为焦点，焦距为 2，长轴长为2 2的椭圆， 2 2
20、 1 2 x y； （2） 2332 , 2332 【解析】 （1）由题意MQ是线段AP的垂直平分线， 所以2 22CPQCQPQCQACA， 所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为 2，长轴长为2 2的椭圆， 2a ，1c ， 22 1bac， 故点Q的轨迹方程是 2 2 1 2 x y （2）设直线l：ykxb， 11 ,F x y， 22 ,H x y， 直线l与圆 22 1xy相切，得 2 1 1 b k ，即 22 1bk， 联立 2 2 1 2 x y ykxb ，消去y得： 222 124220kxkbxb， 2222222 164 12218 2180k bkbkbk，得0k
21、 ， 12 2 4 12 kb xx k ， 2 12 2 22 12 b x x k ， 22 222 12121212 22 122 4 1 1212 kb kb OF OHx xy ykx xkb xxbkbb kk 2222 2 2 222 1241 1 1 121212 kkkk k k kkk ， 所以 2 2 314 4125 k k ，得 2 11 32 k， 32 32 k，解得 23 23 k 或 32 32 k， 故所求范围为 2332 , 2332 4已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的焦距为2c，离心率为 1 2 ，圆 222 :O xyc， 1 A，
22、 2 A 是椭圆的左右顶点，AB是圆O的任意一条直径， 1 A AB面积的最大值为 2 （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）若l为圆O的任意一条切线，l与椭圆E交于两点P，Q，求PQ的取值范围 【答案】 （1） 22 1 43 xy ， 22 1xy； （2） 4 6 3, 3 【解析】（1） 设B点到x轴距离为h， 则 11 1 1 22 2 A ABAOB SSAO ha h ， 易知当线段AB 在y轴时， max hBOc， 1 2 A AB Sa c ， 1 2 c e a ，2ac，2a，1c ，3b ， 所以椭圆方程为 22 1 43 xy ，圆的方程为 22 1xy （2）当直线
23、L的斜率不存在时，直线L的方程为1x ，此时 2 2 3 b PQ a ； 设直线L方程为：ykxm，直线为圆的切线， 2 1 1 m d k ， 22 1mk， 直线与椭圆联立， 22 1 43 ykxm xy ，得 222 4384120kxkmxm， 判别式 2 48 320k，由韦达定理得： 12 2 2 12 2 8 43 412 43 km xx k m xx k ， 所以弦长 22 2 12 2 4 3132 1 43 kk PQkxx k ，令 2 433tk， 所以 2 124 6 333, 3 PQ tt ； 综上， 4 6 3, 3 PQ ， 5如图，己知 1 F、 2
24、F是椭圆 22 22 :10 xy Gab ab 的左、右焦点，直线:1l yk x经 过左焦点 1 F，且与椭圆G交A，B两点， 2 ABF的周长为4 3 （1）求椭圆G的标准方程； （2）是否存在直线I，使得 2 ABF为等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不 存在，请说明理由 【答案】 （1） 22 1 32 xy ； （2）不存在，见解析 【解析】 （1）设椭圆G的半焦距为c，因为直线l与x轴的交点为1,0，故1c 又 2 ABF的周长为4 3，即 22 44 3ABAFBFa，故3a ，所以， 222 3 12bac 因此，椭圆G的标准方程为 22 1 32 xy （2）不存
25、在理由如下： 先用反证法证明AB不可能为底边，即 22 AFBF 由题意知 2 1,0F，设 11 ,A x y， 22 ,B x y，假设 22 AFBF，则 22 22 1122 11xyxy， 又 22 11 1 32 xy ， 22 22 1 32 xy ，代入上式，消去 2 1 y， 2 2 y得： 1212 60 xxxx 因为直线l斜率存在，所以直线l不垂直于x轴，所以 12 xx，故 12 6xx (与 1 3x ， 2 3x ， 12 2 36xx矛盾） 联立方程 22 1 32 1 xy yk x ，得： 2222 326360kxk xk，所以 2 12 2 6 6 32 k xx k 矛 盾 故 22 AFBF 再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰 假设 2 ABF为等腰直角三角形，不妨设A为直角顶点 设 1 AFm，则 2 2 3AFm，在 12 AFF中，由勾股定理得： 2 2 2 34mm，此方 程无解故不存在这样的等腰直角三角形
