1、2011 年年“北约北约”自主招生试题自主招生试题 本试卷共七大题，满分 100 分.解答应写出必要的文字说明、方程式和主要演算步骤. 01 在平直的轨道上，有一辆静止的火车，假设它与地面没有摩擦.车后有 N 个组员和一个 组长列队排列，所有人均沿这辆火车所在的直线跑步，组长在最后.火车的质量为 M，每个 人的质量为 m，假设. （1）组员和组长追火车的速度为，随后组员们以的速度跳上火车，则最后一个 组长恰好追不上火车，求 N 是多少？ （2）此后组长减速为/2，为使组长能上车，组员相继以相对车厢速度 u 向前跳出， 求该过程至少消耗组员多少人体内能？ 02 两个相同的铁球，质量均为 m，由原
2、长为 l、劲度系数为 k 的弹簧连接，设法维持弹簧 在原长位置由静止释放两球（两球连线竖直） ，设开始时下球距离地面的高度为 h，而且下 球与地面的碰撞为完全非弹性的. （1）求弹簧的最大压缩量； （2）如果使铁球放在光滑水平面上绕过系统质心的竖直轴转动，此时弹簧变为长 L， 求转动的角速度. 03 设一天的时间为 T，地面上的重力加速度为 g，地球半径为. （1）试求地球同步卫星 P 的轨道半径； （2）赤道城市 A 的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星 P. （2.1）设 P 的运动方向突然偏北转过 45，试分析判断当地居民一天内有多少次机会 可看到 P 掠过城市上空. （2.2）取消（2
3、.1）问中的偏转，设 P 从原来的运动方向突然偏西北转过 105，再分 析判断当地居民一天内有多少次机会可看到 P 掠过城市上空. （3）另一个赤道城市 B 的居民，平均每三天有四次机会可看到某卫星 Q 自东向西掠 过该城市上空，试求 Q 的轨道半径. 04 在电场强度为 E 的足够大的匀强电场中，有一条与电场线平行的几何线，如图 3 中虚 线所示，几何线上有两个静止的小球 A 和 B，质量均为 m，A 球带电荷量+Q，B 球不带电. 开始时两球相距 L，在电场力的作用下，A 球开始沿直线运动，并与 B 球发生正碰，碰撞 中 A、B 两球的总动能无损失，设在每次碰撞过程中，A、B 两球间无电量
4、转移，且不考虑 重力及两球间的万有引力.问：A、B 两球发生第 8 次碰撞与发生第 9 次碰撞的时间间隔. 05 如果质量相同的小球 a、b 在沿一条直线运动的过程中发生弹性正碰撞，则 a 的碰后速 度等于 b 的碰前速度，b 的碰后速度等于 a 的碰前速度. 如图 5 所示，将光滑水平绝缘的大桌面取为 O-xy 坐标面，空间有竖直向下（图中朝里） 的匀强磁场 B.则 （1）平面上的小球 a，质量为 m，带电量为 q0，初速度方向垂直 y 轴，大小为， 而后 a 将做匀速圆周运动，试求圆周运动的半径 R 和运动周期 T. （2）图 5 中小球、，质量同为 m，带电量也同为 q，开始时分别位于
5、y 轴上的 、（）位置，初速度方向如图所示，大小也同为.设、间可能发生的碰 撞都是弹性碰撞而且不会相互转移电荷（下同）已知能到达处，试求的所有 可能取值. （3）图 5 中小球 b 的质量也为 m， 带电量也为，时位于 x 轴上距 O 稍远的 位置，大小也为.现在给你一个质量为 m 、带电量为、初速度大小为的小球. 时的初始位置和初始速度方向由你选定，但要求在时刻，b 球 可达到 x 轴上与相距尽可能远的（）位置，最后给出你所得的的值.设 b 与两球弹性正碰，而且电量也不会转移.（附注：解题时可以略去球之间的电作用力） 06 如图 8 所示，水平桌面上放一棒，长为 L，质量为 m，电阻为 R，
6、棒平行桌子边缘放 置，桌子的侧面有一根相同的棒，用两根无电阻的光滑导线将上面的棒系在一起，空间中 有匀强磁场 B，方向与桌子边缘垂直，与水平夹角为（45）.开始时刻将两棒静止释 放（桌子侧面有挡板阻止下面棒有水平偏离）.则： （1）问理论上棒的最大速度为多大？ （2）当棒速为 v 且时，求损耗的机械功率和电阻的热功率 07 如图 9 所示的等腰直角三角形棱镜 ABC，一组平行光线垂直斜边 AB 射入. （1）如果光线不从 AC、BC 面射出，求三棱镜的折射率 n 的范围； （2）如果光线顺时针转过=30，即与 AB 成 60角斜向下，不计反射两次以上的光 线，当 n 取（1）中最小值时，能否有光线从 BC、AC 面射出，从哪面射出？
