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(数学)苏·淮安五校联考试卷(定稿).pdf

1、2020-2021学年高三年级第一学期第一次五校联考2020-2021学年高三年级第一学期第一次五校联考 数学试题数学试题 一、 单项选择题(本大题共一、 单项选择题(本大题共8小题, 共小题, 共40.0分)分) 1.函数f(x)=1-x +lg(3x-1)的定义域为() A. 1 3 ,1B.0,1C. -, 1 3 D. 0, 1 3 2.已知log2alog2b, 则下列不等式一定成立的是() A. 1 a 1 b B.log2(a-b)0C. 1 3 a 1 2 b D.2a-b0的解集为 () A.(0, 1 4 )B.(4,+) C.( 1 4 ,1)(4,+)D.(0, 1 4

2、 )(4,+) 4.我国著名数学家华罗庚先生曾说: 数缺形时少直观, 形缺数时难入微, 数形结合百般好, 隔裂分家万事 休.在数学的学习和研究中, 常用函数的图象来研究函数的性质, 也常用函数的解析式来琢磨函数的图 象的特征, 如函数f(x)= (ex-1)sinx ex+1 在区间(- 2 , 2 )上的图象的大致形状是( ) AB CD 5.已知x0,y0,lg4x+lg2y=lg8, 则 1 2x + 4 y 的最小值是() A.3B. 9 4 C. 46 15 D.9 6已知函数fx =x+sinx,xR, 若a=flog23,b=f log1 32 ,c=f2-2则a,b,c的大小

3、为( ) AabcBacbCcbaDbac 7已知命题p:xR,mx2+20; 命题q:xR,x2-2mx+10, 若p、q都为真命题, 则实 数m的取值范围是( ) A1,+)B(-,-1C(-,-2D-1,1 8.已知函数fx =xlnx-ax 有两个极值点, 则实数a的取值范围是() 1 A.-,0B. 0, 1 2 C.0,1D.0,+ 二、 不定项选择题(本大题共二、 不定项选择题(本大题共4小题, 共小题, 共20.0分, 每小题全对得5分, 部分对得3分, 有错得零分)分, 每小题全对得5分, 部分对得3分, 有错得零分) 9.若直线y= 1 2 x+b是函数fx 图象的一条切线

4、, 则函数fx 可以是() A.fx = 1 x B.fx =x4C.fx =sinxD.fx =ex 10设正实数m、n满足m+n=2, 则下列说法正确的是() A n m + 2 n 的最小值为3Bmn的最大值为1 Cm +n的最小值为2Dm2+n2的最小值为2 11.下列命题中正确命题的是() A.已知a, b是实数, 则 “( 1 3 )alog3b” 的充分而不必要条件; B.x(-,0), 使2x0)有3个不同的根, 则a的范围是 四、 解答题(本大题共四、 解答题(本大题共6小题, 共小题, 共70.0分)分) 17.(本题共10分)已知角为第一象限角, 且sin= 5 5 (1

5、)求cos, tan的值; (2)求 3sin(-)-2cos(+) cos( 2 -) 的值 2 18.(本题共12分)已知集合A= x|y=log2 -4x 2+15x-9 ,xR , B= x|x-m 1,xR (1)求集合A; (2)若p: xA, q: xB, 且p是q的充分不必要条件, 求实数m的取值范围 19.(本题共12分)已知函数f(x)=ax2+2x+c, (a,cN*)满足: f(1)=5; 6f(2)11 (1)求函数f(x)的解析式; (2)若对任意的实数x 1 2 , 3 2 , 都有f(x)-2mx1成立, 求实数m的取值范围 20. (本题共12分)已知函数f(

6、x)= a4x-1 4x+1 是定义在R上的奇函数 (1)求a的值; (2)判断并证明函数f(x)的单调性, 并利用结论解不等式: f(x2-2x)+f(3x-2)0; (3)是否存在实数k, 使得函数f(x)在区间m,n上的取值范围是 k 4m , k 4n ?若存在, 求出实数k 的取值范围; 若不存在, 请说明理由 3 21. (本题共12分)如图, 公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(圆心O在道路上, AB为直 径), 现要在荒地的基础上改造出一处景观在半圆上取一点 C, 道路上 B 点的右边取一点 D, 使 OC垂直于CD, 且OD的长不超过20米在扇形区域AOC内种植花卉

7、, 三角形区域 OCD内铺设 草皮已知种植花卉的费用每平方米为200元, 铺设草皮的费用每平方米为100元 (1)设COD=x(单位: 弧度), 将总费用y表示为x的函数式, 并指出x的取值范围; (2)当x为何值时, 总费用最低?并求出最低费用 22.已知函数f(x)=4x-alnx- 1 2 x2-2, 其中a为正实数 (1)若函数y=f(x)在x=1处的切线斜率为2, 求a的值; (2)求函数y=f(x)的单调区间; (3)若函数y=f(x)有两个极值点x1, x2, 求证: f(x1)+f(x2)log2b, 则下列不等式一定成立的是() A. 1 a 1 b B.log2(a-b)0

8、C. 1 3 a 1 2 b D.2a-b0的解集为 () A.(0, 1 4 )B.(4,+) C.( 1 4 ,1)(4,+)D.(0, 1 4 )(4,+) 【答案】 D 4.我国著名数学家华罗庚先生曾说: 数缺形时少直观, 形缺数时难入微, 数形结合百般好, 隔裂分家万事 休.在数学的学习和研究中, 常用函数的图象来研究函数的性质, 也常用函数的解析式来琢磨函数的图 象的特征, 如函数f(x)= (ex-1)sinx ex+1 在区间(- 2 , 2 )上的图象的大致形状是( ) AB CD 【答案】 A 5.已知x0,y0,lg4x+lg2y=lg8, 则 1 2x + 4 y 的最

9、小值是() A.3B. 9 4 C. 46 15 D.9 【答案】 A 6已知函数fx =x+sinx,xR, 若a=flog23,b=f log1 32 ,c=f2-2则a,b,c的大小 为( ) AabcBacbCcbaDbac 【答案】 B 5 7已知命题p:xR,mx2+20; 命题q:xR,x2-2mx+10, 若p、q都为真命题, 则实 数m的取值范围是( ) A1,+)B(-,-1C(-,-2D-1,1 【答案】 A 8.已知函数fx =xlnx-ax 有两个极值点, 则实数a的取值范围是() A.-,0B. 0, 1 2 C.0,1D.0,+ 【答案】 B 【解答】 解: 因为

10、f(x)=x(lnx-ax), 所以f(x)=lnx-2ax+1 由题可知f(x)在(0,+)上有两个不同的零点, 令f(x)=0, 则2a= lnx +1 x 令g(x)= lnx +1 x , 则g(x)= -lnx x2 , 所以g(x)在(0,1)上单调递增, 在(1,+)上单调递减, 又因为当x从右边趋近于0时, g(x)-, 当x+时, g(x)0, 而g(x)max=g(1)=1, 所以只需02a1, 即0a 1 2 故选B 二、 不定项选择题(本大题共4小题, 共20.0分) 9.若直线y= 1 2 x+b是函数fx 图象的一条切线, 则函数fx 可以是() A.fx = 1

11、x B.fx =x4C.fx =sinxD.fx =ex 【答案】 BCD 10设正实数m、n满足m+n=2, 则下列说法正确的是() A n m + 2 n 的最小值为3Bmn的最大值为1 Cm +n的最小值为2Dm2+n2的最小值为2 【答案】 ABD 11.下列命题中正确命题的是() A.已知a, b是实数, 则 “( 1 3 )alog3b” 的充分而不必要条件; B.x(-,0), 使2x3x; C.设x=是函数f(x)=3sinx-cosx的一个极值点, 则sin2+2cos2=- 2 5 D.若角的终边在第一象限, 则 sin 2 |sin 2 | + cos 2 |cos 2

12、| 的取值集合为-2,2 【答案】 CD 6 【解析】 解: 对于A, 若 “( 1 3 )ab, 若 “log3alog3b” , 则ab0 所以 “( 1 3 )alog3b” 的必要不充分条件所以A不正确; 对于B, 由指数函数的单调性可得x(-,0), 使2x0, 故fx 在R上是增函数, C 正确; 1 ex+1 (0,1), 故f(x)(- 1 2 , 1 2 ), 则g(x)-1,0, 故D错误 故选BC 7 三、 填空题(本大题共4小题, 共20.0分) 13.已知扇形的圆心角为 2 3 , 半径为5, 则扇形的面积S=_ 【答案】 25 3 14.已知函数f(x)=lg( x

13、2+1 +x)+a, 且f(ln3)+f(ln 1 3 )=1, 则a=_ 【答案】 1 2 15.已知三个函数 hx = x2- 2lnx,f(x) = h(x) - 5lnx - 5ln2, g(x) = h(x) + 2lnx - bx + 4. 若 x1 (0,1, x21,2, 都有f(x1)g(x2)成立, 求实数b的取值范围 【答案】 b8 【解答】 解: 由题知f(x)=2x- 2 x -5lnx-5ln2, g(x)=x2-bx+4 f(x)=2+ 2 x2 - 5 x = 2x2-5x+2 x2 = (x-2)(2x-1) x2 f(x)在(0, 1 2 )上单调递增; 在

14、( 1 2 ,2)上单调递减, 易知f(x)在区间(0,1上的最大值为f( 1 2 )=-3, x1(0,1, x21,2, 都有f(x1)g(x2)成立, 即 f( 1 2 )g(1) f( 1 2 )g(2) ,即 -35-b -38-2b ,解得b8, 16.设f(x)是定义在R上的偶函数, 且f(2+x)=f(2-x), 当x-2,0时, f(x)=( 2 2 ) x -1, 若在区 间(-2,6)内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a0)有3个不同的根, 则a的范围是 【答案】 (4,8) 【解析】 【分析】 本题考查了函数的零点与方程根的关系, 函数的奇偶性及函数的周期

15、性, 函数图象的应用, 属于中档 题 由已知中可以得到函数 f(x) 是一个周期函数, 且周期为 4, 根据函数与方程之间的关系, 转化为函数 f(x) 的图象与函数 y = loga(x + 2) 的图象有 3 个不同的交点, 利用数形结合即可得到实数 a 的取值范 围 【解答】 解: 对于任意的xR, 都有f(x-2)=f(2+x), f(x+4)=f2+(x+2)=f(x+2)-2=f(x), 函数f(x)是一个周期函数, 且T=4 又当x-2,0时, f(x)=( 2 2 ) x -1, 且函数f(x)是定义在R上的偶函数, 若在区间(-2,6)内关于x的方程f(x)-loga(x+2

16、)=0恰有3个不同的实数解, 则函数y=f(x)与y=loga(x+2)在区间(-2,6)上有3个不同的交点, 如下图所示: 8 又f(-2)=f(2)=1, 当0a1时, 则对于函数y=loga(x+2), 由题意可得, 当x=2时的函数值小于1, 当x=6时的函数值大 于1, 即 loga41 , 由此解得: 4a0, 则(x-3)(4x-3)0, 3 4 x3, A=x| 3 4 x36分 (2)B=x|x-m|1,xR, 由|x-m|1可得: x-m1或x-m-1, xm+1或xm-1, 9 B=x|xm+1或xm-18分 p:xA, q:xB, 且p是q的充分不必要条件, A是B的真

17、子集, 9分 m-13或m+1 3 4 , m4或m- 1 4 , 11分 实数m的取值范围是(-,- 1 4 4,+). 12分 19.已知函数f(x)=ax2+2x+c, (a,cN*)满足: f(1)=5; 6f(2)11 (1)求函数f(x)的解析式; (2)若对任意的实数x 1 2 , 3 2 , 都有f(x)-2mx1成立, 求实数m的取值范围 【答案】1 f1 =a+2+c=5, c=3-a. 又6f2 11, 即64a+c+411, 将式代入式, 得- 1 3 a 4 3 , 3分 又a、 cN*, a=1, c=2fx =x2+2x+26分 2 证明: x 1 2 , 3 2

18、 , 不等式fx -2mx1恒成立 21-m - x+ 1 x 在 1 2 , 3 2 上恒成立8分 由于-(x+ 1 x )min=- 5 2 , 故只需2(1-m)- 5 2 即可10分 解得m 9 4 12分(注: 本题有其它解法酌情给分) 20.已知函数f(x)= a4x-1 4x+1 是定义在R上的奇函数 (1)求a的值; (2)判断并证明函数f(x)的单调性, 并利用结论解不等式: f(x2-2x)+f(3x-2)0; (3)是否存在实数k, 使得函数f(x)在区间m,n上的取值范围是 k 4m , k 4n ?若存在, 求出实数k的取值 范围; 若不存在, 请说明理由 【答案】

19、解: (1)fx = a4x-1 4x+1 是定义在R上的奇函数, f0 =0, 从而得出a=1, 2分 a=1时, f(x)+f(-x)= 4x-1 4x+1 + 4-x-1 4-x+1 = 4x-1 4x+1 + 1 4x -1 1 4x +1 = 4x-1 4x+1 + 1-4x 1+4x =0, a=1; 4分(不证明扣2分) (2)f(x)是R上的增函数, 证明如下: 设任意x1,x2R且x1x2, f(x1)-f(x2)=(1- 2 4x 1+1)-(1- 2 4x 2+1) = 2 4x 2+1 - 2 4x 1+1 = 2(4x 1-4x2) (4x 2+1)(4x1+1) ,

20、 x1x2,4x 10,4x2+10, 10 f(x1)f(x2), fx 是在-,+ 上是单调增函数6分 f x 2-2x +f 3x-2 0, 又fx 是定义在R上的奇函数且在-,+ 上单调递增, f x 2-2x f 2-3x , x2-2x2-3x, -2x0, 即方程t2-1+k t-k=0有两个不等的正根, 10分 1+k 2 0 0 -k0 ,-3+2 2 k0 存在实数k, 使得函数f(x)在m,n上的取值范围是 k 4m , k 4n , 并且实数k的取值范围是(-3+ 2 2,0)12分(注: 本题有其它解法酌情给分) 21.某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(

21、圆心O在道路上, AB为直径), 现要在荒地 的基础上改造出一处景观在半圆上取一点 C, 道路上B点的右边取一点D, 使OC垂直于CD, 且 OD的长不超过20米在扇形区域AOC内种植花卉, 三角形区域OCD内铺设草皮已知种植花 卉的费用每平方米为200元, 铺设草皮的费用每平方米为100元 (1)设COD=x(单位: 弧度), 将总费用y表示为x的函数式, 并指出x的取值范围; (2)当x为何值时, 总费用最低?并求出最低费用 【答案】 解: (1) 因为扇形 AOC 的半径为 10m, AOC = - x(rad), 且 OD 的长不超过 20 米, 当 OD = 20m时, x= 3 ,

22、 故0x 3 2分 所以扇形AOC的面积: S扇AOC= (-x)102 2 =50(-x), 0x 3 在RtCOD中, OC=10, CD=10tanx, 所以COD的面积SCOD= 1 2 OCCD=50tanx, 从而y=100SCOD+200S扇AOC=5000(tanx +2-2x), 0x 3 ; 6分 (2)设f(x)= tanx +2-2x,0x 3 , 则f(x)= sinx cosx +2-2x, f(x)= cos2x+sin2x cos2x -2= 1-2cos2x cos2x , 11 令f(x)=0, 解得x= 4 , 8分 从而当0x 4 时, f(x)0, 当

23、 4 0, 因此f(x)在区间(0, 4 )上单调递减, 在区间( 4 , 3 上单调递增, 10分 当x= 4 时, f(x)取得最小值, f( 4 )=1+2- 2 =1+ 3 2 , 所以y的最小值为(5000+7500)元, 答: 当x= 4 时, 改造景观的费用最低, 最低费用为(5000+7500)元12分 22.已知函数f(x)=4x-alnx- 1 2 x2-2, 其中a为正实数 (1)若函数y=f(x)在x=1处的切线斜率为2, 求a的值; (2)求函数y=f(x)的单调区间; (3)若函数y=f(x)有两个极值点x1, x2, 求证: f(x1)+f(x2)0, 即0a4,

24、 则f(x)=0的两根为24-a, 此时f(x)的单调增区间为(0,2-4-a), (2+4-a,+), 单调减区间为(2-4-a,2+4-a)(6分) (3)由(2)知, 当0a4时, 函数y=f(x)有两个极值点x1, x2, 且x1+x2=4, x1x2=a 因为f(x1)+f(x2)=4x1-alnx1- 1 2 x2 1-2+4x2-alnx2- 1 2 x2 2-2 =4(x1+x2)-aln(x1x2)- 1 2 (x2 1+x 2 2)-4 =16-alna- 1 2 (42-2a)-4=4+a-alna, 要证f(x1)+f(x2)0(8分) 构造函数g(x)=xlnx-x-

25、lnx+2, 则g(x)=1+lnx-1- 1 x =lnx- 1 x , g(x)在(0,4)上单调递增, 又g(1)=-10, 且g(x)在定义域上不间断, 由零点存在定理, 可知g(x)=0在(1,2)上唯一实根x0, 且lnx0= 1 x0 (10分) 则g(x)在(0,x0)上递减, (x0,4)上递增, 所以g(x)的最小值为g(x0), 因为g(x0)=1-x0- 1 x0 +2=3-(x0+ 1 x0 ), 当x0(1,2)时, x0+ 1 x0 (2, 5 2 ), 则g(x0)0, 所以g(x)g(x0)0恒成立 所以alna-a-lna+20, 12 所以f(x1)+f(x2)6-lna, 得证(12分) 13

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