1、2020-2021学年高三年级第一学期第一次五校联考2020-2021学年高三年级第一学期第一次五校联考 数学试题数学试题 一、 单项选择题(本大题共一、 单项选择题(本大题共8小题， 共小题， 共40.0分)分) 1.函数f(x)=1-x +lg(3x-1)的定义域为() A. 1 3 ,1B.0,1C. -, 1 3 D. 0, 1 3 2.已知log2alog2b， 则下列不等式一定成立的是() A. 1 a 1 b B.log2(a-b)0C. 1 3 a 1 2 b D.2a-b0的解集为 () A.(0, 1 4 )B.(4,+) C.( 1 4 ,1)(4,+)D.(0, 1 4
2、 )(4,+) 4.我国著名数学家华罗庚先生曾说： 数缺形时少直观， 形缺数时难入微， 数形结合百般好， 隔裂分家万事 休.在数学的学习和研究中， 常用函数的图象来研究函数的性质， 也常用函数的解析式来琢磨函数的图 象的特征， 如函数f(x)= (ex-1)sinx ex+1 在区间(- 2 , 2 )上的图象的大致形状是( ) AB CD 5.已知x0,y0,lg4x+lg2y=lg8， 则 1 2x + 4 y 的最小值是() A.3B. 9 4 C. 46 15 D.9 6已知函数fx =x+sinx，xR， 若a=flog23，b=f log1 32 ，c=f2-2则a,b,c的大小
3、为( ) AabcBacbCcbaDbac 7已知命题p：xR，mx2+20； 命题q:xR，x2-2mx+10， 若p、q都为真命题， 则实 数m的取值范围是( ) A1,+)B(-,-1C(-,-2D-1,1 8.已知函数fx =xlnx-ax 有两个极值点， 则实数a的取值范围是() 1 A.-,0B. 0, 1 2 C.0,1D.0,+ 二、 不定项选择题(本大题共二、 不定项选择题(本大题共4小题， 共小题， 共20.0分， 每小题全对得5分， 部分对得3分， 有错得零分)分， 每小题全对得5分， 部分对得3分， 有错得零分) 9.若直线y= 1 2 x+b是函数fx 图象的一条切线
4、， 则函数fx 可以是() A.fx = 1 x B.fx =x4C.fx =sinxD.fx =ex 10设正实数m、n满足m+n=2， 则下列说法正确的是() A n m + 2 n 的最小值为3Bmn的最大值为1 Cm +n的最小值为2Dm2+n2的最小值为2 11.下列命题中正确命题的是() A.已知a， b是实数， 则 “( 1 3 )alog3b” 的充分而不必要条件； B.x(-,0)， 使2x0)有3个不同的根， 则a的范围是 四、 解答题(本大题共四、 解答题(本大题共6小题， 共小题， 共70.0分)分) 17.(本题共10分)已知角为第一象限角， 且sin= 5 5 (1
5、)求cos， tan的值； (2)求 3sin(-)-2cos(+) cos( 2 -) 的值 2 18.(本题共12分)已知集合A= x|y=log2 -4x 2+15x-9 ,xR ， B= x|x-m 1,xR (1)求集合A； (2)若p： xA， q： xB， 且p是q的充分不必要条件， 求实数m的取值范围 19.(本题共12分)已知函数f(x)=ax2+2x+c， (a,cN*)满足： f(1)=5； 6f(2)11 (1)求函数f(x)的解析式； (2)若对任意的实数x 1 2 , 3 2 ， 都有f(x)-2mx1成立， 求实数m的取值范围 20. (本题共12分)已知函数f(
6、x)= a4x-1 4x+1 是定义在R上的奇函数 (1)求a的值； (2)判断并证明函数f(x)的单调性， 并利用结论解不等式： f(x2-2x)+f(3x-2)0； (3)是否存在实数k， 使得函数f(x)在区间m,n上的取值范围是 k 4m , k 4n ？若存在， 求出实数k 的取值范围； 若不存在， 请说明理由 3 21. (本题共12分)如图， 公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(圆心O在道路上， AB为直 径)， 现要在荒地的基础上改造出一处景观在半圆上取一点 C， 道路上 B 点的右边取一点 D， 使 OC垂直于CD， 且OD的长不超过20米在扇形区域AOC内种植花卉
7、， 三角形区域 OCD内铺设 草皮已知种植花卉的费用每平方米为200元， 铺设草皮的费用每平方米为100元 (1)设COD=x(单位： 弧度)， 将总费用y表示为x的函数式， 并指出x的取值范围； (2)当x为何值时， 总费用最低？并求出最低费用 22.已知函数f(x)=4x-alnx- 1 2 x2-2， 其中a为正实数 (1)若函数y=f(x)在x=1处的切线斜率为2， 求a的值； (2)求函数y=f(x)的单调区间； (3)若函数y=f(x)有两个极值点x1， x2， 求证： f(x1)+f(x2)log2b， 则下列不等式一定成立的是() A. 1 a 1 b B.log2(a-b)0
8、C. 1 3 a 1 2 b D.2a-b0的解集为 () A.(0, 1 4 )B.(4,+) C.( 1 4 ,1)(4,+)D.(0, 1 4 )(4,+) 【答案】 D 4.我国著名数学家华罗庚先生曾说： 数缺形时少直观， 形缺数时难入微， 数形结合百般好， 隔裂分家万事 休.在数学的学习和研究中， 常用函数的图象来研究函数的性质， 也常用函数的解析式来琢磨函数的图 象的特征， 如函数f(x)= (ex-1)sinx ex+1 在区间(- 2 , 2 )上的图象的大致形状是( ) AB CD 【答案】 A 5.已知x0,y0,lg4x+lg2y=lg8， 则 1 2x + 4 y 的最
9、小值是() A.3B. 9 4 C. 46 15 D.9 【答案】 A 6已知函数fx =x+sinx，xR， 若a=flog23，b=f log1 32 ，c=f2-2则a,b,c的大小 为( ) AabcBacbCcbaDbac 【答案】 B 5 7已知命题p：xR，mx2+20； 命题q:xR，x2-2mx+10， 若p、q都为真命题， 则实 数m的取值范围是( ) A1,+)B(-,-1C(-,-2D-1,1 【答案】 A 8.已知函数fx =xlnx-ax 有两个极值点， 则实数a的取值范围是() A.-,0B. 0, 1 2 C.0,1D.0,+ 【答案】 B 【解答】 解： 因为
10、f(x)=x(lnx-ax)， 所以f(x)=lnx-2ax+1 由题可知f(x)在(0,+)上有两个不同的零点， 令f(x)=0， 则2a= lnx +1 x 令g(x)= lnx +1 x ， 则g(x)= -lnx x2 ， 所以g(x)在(0,1)上单调递增， 在(1,+)上单调递减， 又因为当x从右边趋近于0时， g(x)-， 当x+时， g(x)0， 而g(x)max=g(1)=1， 所以只需02a1， 即0a 1 2 故选B 二、 不定项选择题(本大题共4小题， 共20.0分) 9.若直线y= 1 2 x+b是函数fx 图象的一条切线， 则函数fx 可以是() A.fx = 1
11、x B.fx =x4C.fx =sinxD.fx =ex 【答案】 BCD 10设正实数m、n满足m+n=2， 则下列说法正确的是() A n m + 2 n 的最小值为3Bmn的最大值为1 Cm +n的最小值为2Dm2+n2的最小值为2 【答案】 ABD 11.下列命题中正确命题的是() A.已知a， b是实数， 则 “( 1 3 )alog3b” 的充分而不必要条件； B.x(-,0)， 使2x3x； C.设x=是函数f(x)=3sinx-cosx的一个极值点， 则sin2+2cos2=- 2 5 D.若角的终边在第一象限， 则 sin 2 |sin 2 | + cos 2 |cos 2
12、| 的取值集合为-2,2 【答案】 CD 6 【解析】 解： 对于A， 若 “( 1 3 )ab， 若 “log3alog3b” ， 则ab0 所以 “( 1 3 )alog3b” 的必要不充分条件所以A不正确； 对于B， 由指数函数的单调性可得x(-,0)， 使2x0， 故fx 在R上是增函数， C 正确； 1 ex+1 (0,1)， 故f(x)(- 1 2 , 1 2 )， 则g(x)-1,0， 故D错误 故选BC 7 三、 填空题(本大题共4小题， 共20.0分) 13.已知扇形的圆心角为 2 3 ， 半径为5， 则扇形的面积S=_ 【答案】 25 3 14.已知函数f(x)=lg( x
13、2+1 +x)+a， 且f(ln3)+f(ln 1 3 )=1， 则a=_ 【答案】 1 2 15.已知三个函数 hx = x2- 2lnx,f(x) = h(x) - 5lnx - 5ln2， g(x) = h(x) + 2lnx - bx + 4. 若 x1 (0,1， x21,2， 都有f(x1)g(x2)成立， 求实数b的取值范围 【答案】 b8 【解答】 解： 由题知f(x)=2x- 2 x -5lnx-5ln2， g(x)=x2-bx+4 f(x)=2+ 2 x2 - 5 x = 2x2-5x+2 x2 = (x-2)(2x-1) x2 f(x)在(0, 1 2 )上单调递增； 在
14、( 1 2 ,2)上单调递减， 易知f(x)在区间(0,1上的最大值为f( 1 2 )=-3， x1(0,1， x21,2， 都有f(x1)g(x2)成立， 即 f( 1 2 )g(1) f( 1 2 )g(2) ,即 -35-b -38-2b ,解得b8， 16.设f(x)是定义在R上的偶函数， 且f(2+x)=f(2-x)， 当x-2,0时， f(x)=( 2 2 ) x -1， 若在区 间(-2,6)内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a0)有3个不同的根， 则a的范围是 【答案】 (4,8) 【解析】 【分析】 本题考查了函数的零点与方程根的关系， 函数的奇偶性及函数的周期
15、性， 函数图象的应用， 属于中档 题 由已知中可以得到函数 f(x) 是一个周期函数， 且周期为 4， 根据函数与方程之间的关系， 转化为函数 f(x) 的图象与函数 y = loga(x + 2) 的图象有 3 个不同的交点， 利用数形结合即可得到实数 a 的取值范 围 【解答】 解： 对于任意的xR， 都有f(x-2)=f(2+x)， f(x+4)=f2+(x+2)=f(x+2)-2=f(x)， 函数f(x)是一个周期函数， 且T=4 又当x-2,0时， f(x)=( 2 2 ) x -1， 且函数f(x)是定义在R上的偶函数， 若在区间(-2,6)内关于x的方程f(x)-loga(x+2
16、)=0恰有3个不同的实数解， 则函数y=f(x)与y=loga(x+2)在区间(-2,6)上有3个不同的交点， 如下图所示： 8 又f(-2)=f(2)=1， 当0a1时， 则对于函数y=loga(x+2)， 由题意可得， 当x=2时的函数值小于1， 当x=6时的函数值大 于1， 即 loga41 ， 由此解得： 4a0， 则(x-3)(4x-3)0， 3 4 x3， A=x| 3 4 x36分 (2)B=x|x-m|1,xR， 由|x-m|1可得： x-m1或x-m-1， xm+1或xm-1， 9 B=x|xm+1或xm-18分 p:xA， q:xB， 且p是q的充分不必要条件， A是B的真
17、子集， 9分 m-13或m+1 3 4 ， m4或m- 1 4 ， 11分 实数m的取值范围是(-,- 1 4 4,+). 12分 19.已知函数f(x)=ax2+2x+c， (a,cN*)满足： f(1)=5； 6f(2)11 (1)求函数f(x)的解析式； (2)若对任意的实数x 1 2 , 3 2 ， 都有f(x)-2mx1成立， 求实数m的取值范围 【答案】1 f1 =a+2+c=5， c=3-a. 又6f2 11， 即64a+c+411， 将式代入式， 得- 1 3 a 4 3 ， 3分 又a、 cN*， a=1， c=2fx =x2+2x+26分 2 证明： x 1 2 , 3 2
18、 ， 不等式fx -2mx1恒成立 21-m - x+ 1 x 在 1 2 , 3 2 上恒成立8分 由于-(x+ 1 x )min=- 5 2 ， 故只需2(1-m)- 5 2 即可10分 解得m 9 4 12分(注： 本题有其它解法酌情给分) 20.已知函数f(x)= a4x-1 4x+1 是定义在R上的奇函数 (1)求a的值； (2)判断并证明函数f(x)的单调性， 并利用结论解不等式： f(x2-2x)+f(3x-2)0； (3)是否存在实数k， 使得函数f(x)在区间m,n上的取值范围是 k 4m , k 4n ？若存在， 求出实数k的取值 范围； 若不存在， 请说明理由 【答案】
19、解： (1)fx = a4x-1 4x+1 是定义在R上的奇函数， f0 =0， 从而得出a=1， 2分 a=1时， f(x)+f(-x)= 4x-1 4x+1 + 4-x-1 4-x+1 = 4x-1 4x+1 + 1 4x -1 1 4x +1 = 4x-1 4x+1 + 1-4x 1+4x =0， a=1； 4分(不证明扣2分) (2)f(x)是R上的增函数， 证明如下： 设任意x1,x2R且x1x2， f(x1)-f(x2)=(1- 2 4x 1+1)-(1- 2 4x 2+1) = 2 4x 2+1 - 2 4x 1+1 = 2(4x 1-4x2) (4x 2+1)(4x1+1) ，
20、 x1x2,4x 10,4x2+10, 10 f(x1)f(x2)， fx 是在-,+ 上是单调增函数6分 f x 2-2x +f 3x-2 0， 又fx 是定义在R上的奇函数且在-,+ 上单调递增， f x 2-2x f 2-3x ， x2-2x2-3x， -2x0， 即方程t2-1+k t-k=0有两个不等的正根， 10分 1+k 2 0 0 -k0 ,-3+2 2 k0 存在实数k， 使得函数f(x)在m,n上的取值范围是 k 4m , k 4n ， 并且实数k的取值范围是(-3+ 2 2,0)12分(注： 本题有其它解法酌情给分) 21.某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(
21、圆心O在道路上， AB为直径)， 现要在荒地 的基础上改造出一处景观在半圆上取一点 C， 道路上B点的右边取一点D， 使OC垂直于CD， 且 OD的长不超过20米在扇形区域AOC内种植花卉， 三角形区域OCD内铺设草皮已知种植花 卉的费用每平方米为200元， 铺设草皮的费用每平方米为100元 (1)设COD=x(单位： 弧度)， 将总费用y表示为x的函数式， 并指出x的取值范围； (2)当x为何值时， 总费用最低？并求出最低费用 【答案】 解： (1) 因为扇形 AOC 的半径为 10m， AOC = - x(rad)， 且 OD 的长不超过 20 米， 当 OD = 20m时， x= 3 ，
22、 故0x 3 2分 所以扇形AOC的面积： S扇AOC= (-x)102 2 =50(-x)， 0x 3 在RtCOD中， OC=10， CD=10tanx， 所以COD的面积SCOD= 1 2 OCCD=50tanx， 从而y=100SCOD+200S扇AOC=5000(tanx +2-2x)， 0x 3 ； 6分 (2)设f(x)= tanx +2-2x,0x 3 ， 则f(x)= sinx cosx +2-2x， f(x)= cos2x+sin2x cos2x -2= 1-2cos2x cos2x ， 11 令f(x)=0， 解得x= 4 ， 8分 从而当0x 4 时， f(x)0， 当
23、 4 0， 因此f(x)在区间(0, 4 )上单调递减， 在区间( 4 , 3 上单调递增， 10分 当x= 4 时， f(x)取得最小值， f( 4 )=1+2- 2 =1+ 3 2 ， 所以y的最小值为(5000+7500)元， 答： 当x= 4 时， 改造景观的费用最低， 最低费用为(5000+7500)元12分 22.已知函数f(x)=4x-alnx- 1 2 x2-2， 其中a为正实数 (1)若函数y=f(x)在x=1处的切线斜率为2， 求a的值； (2)求函数y=f(x)的单调区间； (3)若函数y=f(x)有两个极值点x1， x2， 求证： f(x1)+f(x2)0， 即0a4，
24、 则f(x)=0的两根为24-a， 此时f(x)的单调增区间为(0,2-4-a)， (2+4-a,+)， 单调减区间为(2-4-a,2+4-a)(6分) (3)由(2)知， 当0a4时， 函数y=f(x)有两个极值点x1， x2， 且x1+x2=4， x1x2=a 因为f(x1)+f(x2)=4x1-alnx1- 1 2 x2 1-2+4x2-alnx2- 1 2 x2 2-2 =4(x1+x2)-aln(x1x2)- 1 2 (x2 1+x 2 2)-4 =16-alna- 1 2 (42-2a)-4=4+a-alna， 要证f(x1)+f(x2)0(8分) 构造函数g(x)=xlnx-x-
25、lnx+2， 则g(x)=1+lnx-1- 1 x =lnx- 1 x ， g(x)在(0,4)上单调递增， 又g(1)=-10， 且g(x)在定义域上不间断， 由零点存在定理， 可知g(x)=0在(1,2)上唯一实根x0， 且lnx0= 1 x0 (10分) 则g(x)在(0,x0)上递减， (x0,4)上递增， 所以g(x)的最小值为g(x0)， 因为g(x0)=1-x0- 1 x0 +2=3-(x0+ 1 x0 )， 当x0(1,2)时， x0+ 1 x0 (2, 5 2 )， 则g(x0)0， 所以g(x)g(x0)0恒成立 所以alna-a-lna+20， 12 所以f(x1)+f(x2)6-lna， 得证(12分) 13
