2.2.1椭圆及其标准方程（教学设计）（第九届全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动）.doc

1、普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 人教人教 A A 版数学选修版数学选修 2 2- -1 1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 2.22.2 节节 2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）椭圆及其标准方程（第一课时） 教教 学学 设设 计计 山东省山东省青岛市第十六青岛市第十六中学中学 孟孟XX 一、教学内容解析：一、教学内容解析： 本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-1 第二章第二节第 一课时，主要学习椭圆的定义和标准方程.在必修 2 学生已初步掌握了解析几何 研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何 图形.这一节课是在

2、学完圆及其标准方程的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭 圆，是继续学习椭圆的几何性质的基础；椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线 提供了基本模式和理论基础.因此这节课有承前启后的作用.另外本节内容蕴含了 许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、类比思想、化归思想等.因此， 教学时应重视体现数学的思想方法及价值. 基于以上分析确定了本节课的教学 重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想；教学难点：椭圆标 准方程的推导与化简 二、教学目标二、教学目标设置设置： 1.借助动手实验让学生画出圆、椭圆、线段，找到它们三者之间的联系，为 后面研究椭圆做准备。 2.通过播放圆的研究过程的微课，让学

3、生回忆起研究圆的基本流程，从而让 学生学会类比圆的研究过程研究椭圆。 3. 通过类比圆的标准方程的推导，小组合作给出椭圆标准方程的推导过程， 巩固用坐标化的方法求动点的轨迹方程，同时体会含有两个根式的化简思路。 4. 通过经历椭圆标准方程的推导, 对学生进行数学思想方法的渗透， 培养学 生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识， 同时增强学生战胜困难的意志 品质，并体会数学的简洁美、对称美。 以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值 观的三维目标融入各个教学环节 三、学生学情分析三、学生学情分析： 本节课是在学生已学习了圆的定义及其标准方程和掌握 “曲线的方程” 与

4、 “方 程的曲线”的概念之后，学习椭圆定义及其标准方程，符合学生的认知规律，学 生有能力学好本节内容; 但在推导椭圆的标准方程时，学生需要自己建立坐标 系， 再研究推导出方程仍是一个难点。且之前未接触过一个式子中含两个根式相 加的情况，故化简也能是个问题。基于此，本节课确定如下重难点。 四四、教学策略分析：、教学策略分析： 教学方法教学方法：问题驱动式教学方法，引导学生主动参与、积极体验、自主探究，形 成师生互动的教学氛围。让学生自觉主动地创造性地去分析问题、 讨论问题、解决问题，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、 提升能力 学法指导学法指导： 改变学生的学习方式是高中课改追求的基本理念。

5、 遵循以学生为主体， 教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。采用以问题的提出、问题 的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生 主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，在教师的引导下，学 生“跳一跳”就能摘得果实；于问题的分析和解决中实现知识的建构 和发展.通过不断探究、发现，让学生的学习过程成为心灵愉悦的主 动过程，使师生的生命力在课堂上得到充分的发挥. 教学手段教学手段：多媒体辅助教学、动手实验. 教学准备教学准备: 课件（包括 PPT 课件、几何画板课件）、准备画椭圆工具（包括一块 木板、两颗钉子、一根细绳）. 五五、教学过程：、教学过程： 为达到本节课的教学目标，突

6、出重点，突破难点，计划将教学过程设计为四 个阶段： 通过实验让学生画出圆、椭圆、线段，让学生建立起三者之间的联系 播放微课回忆圆的研究过程，为学生类比圆的学习研究椭圆做铺垫 小组合作交流，展示讨论成果，总结出椭圆的定义及标准方程 通过对例题求解，深化学生对椭圆的定义及标准方程的理解 课堂小结与作业 （一）创设情境，引入新课（一）创设情境，引入新课 教师：教师：将一条绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子 绷紧，围绕定点旋转，笔尖形成的轨迹是什么？ 学生：学生：动手在黑板上进行演示，画出圆。 教师：教师：将固定在同一个定点的绳子的两端沿一条直线运动，使其固定在两个定 点上，笔尖

7、勾直绳子，移动笔尖，得到的是轨迹是什么？ 学生：学生：拿出提前准备好的工具，同学同桌合作在白纸上画，教师可以现场录制一 组，之后借助希沃白板播放，让学生观看。 （设计意图：以活动为载体，让学生在“做”中学数学，通过画圆、椭圆，给学 生一个动手实验的机会;让学生经历知识的形成过程，积累感性经验，通过实践 思考，为进一步上升到理论做准备.） (二二)总结归纳，形成定义总结归纳，形成定义 教师：教师：椭圆的图形我们已经画出，下面我们应该研究什么了？ 学生：学生：椭圆上的点所满足的条件，归纳出椭圆的定义。 教师：教师：很好！那我们选择其中一个椭圆。考虑椭圆在形成的过程中，哪些量没有 变？哪些量变了？

8、学生：学生：笔尖到两个图钉的距离和没有变，都等于绳长，两个图钉之间的距离也没 有变，但笔尖的位置在变化。 教师：教师：你观察的很仔细，请坐。我们说不变的量才叫做性质。那下面你能类比圆 的定义（平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆）给出椭圆的定义吗？ 学生：学生：平面内与两个定点 21,F F的距离的和等于定长的点的轨迹叫椭圆. 教师：教师：语言表达的很流畅，那根据上课开始我们做的实验，考虑一下，这个定长 有无限制条件？ 学生：学生：噢！定长要大于 21F F，因为定长如果等于 21F F的话，轨迹就是线段了。 教师继续追问：教师继续追问：那如果定长小于 21F F呢？ 学生：学生：不可能。

9、 教师：教师：对！所以此时的轨迹就是不存在。因此平面内与两个定点 21,F F的距离的 和等于常数（大于 21F F）的点的轨迹叫椭圆； 当常数等于 21F F时，点的轨迹为:线段线段 21F F； 当常数小于 21F F时，点的轨迹不存在。不存在。 （设计意图 1在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取 值范围. 在变化的过程中建立起用联系与发展的观点看问题.2结合几何画板演 示，形象直观的说明定义中的必备条件，体会数学的理性与严谨.） 教师：教师：那你认为椭圆的定义中，我们需要注意哪几个关键词？ 学生：学生：（1）.平面平面大前提； （2）.任意一点到两个定点的距离的和和等

10、于常数 2a2a； （3）.常数 2a2a 大于大于焦距 2c2c. 教师：教师：这里，我们把两个定点 1 F， 2 F叫作椭圆的焦点 ，两个焦点 1 F， 2 F间的距 离叫作椭圆的焦距 。你是否理解了刚才我们所学习的椭圆的定义，请做一下下面 几个小题。 （三）（三）应用应用举例，及时评价举例，及时评价 例 1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆. （1）到 12 ( 1,0),(1,0)FF 的距离之和为4的点M的轨迹. （2）到 12 ( 1,0),(1,0)FF 的距离之和为2的点M的轨迹. （3）到 12 ( 1,0),(1,0)FF 的距离之和为1的点M的轨迹. （设计意图：恰当

11、处理预设与生成的关系，运用反馈调节机制，及时评价，激励 学生的学习热情.） 学生：学生：口答问题。 （四四）类比研究，）类比研究，推导推导方程方程 教师：教师：继续回忆圆的研究过程，知道了椭圆的定义后，下面我们要研究什么了？ 下面请同学们观看微课，回忆我们当时是如何研究圆的。微课内容：复习研究圆 的标准方程的基本方法：建系、设点、列式、化简、证明（可省略）。 教师：教师：下面我们就需要求椭圆的方程了。第一步是建系。下面四种建系方式，哪 一种针对求椭圆的标准方程比较好？ x y O x y O xy O x y O （设计意图：激活学生已有的认知结构,用类比思想为研究椭圆找到了方法与策 略.椭圆

12、方程不止一种，建立的坐标系不同，椭圆方程的表达形式也不同，让学 生学会怎样建系可以使椭圆的方程更简洁。 在研究圆的微课中提前渗透根据对称 建系，方程更简洁。） 教师：教师：第二步是？ 学生：学生：设点，设yxM，为椭圆上的任意一点。 教师：教师：第三步？ 学生：学生：列式。将条件式代数化，得aycxycx2)()( 2222 。 教师：教师：那第四步呢？ 学生：学生：化简。 教师：教师：圆的方程涉及一个根号，所以我们采用直接平方去掉根号即可，那现在这 个式子含有两个根号，直接平方好化简吗？试一下！ 教师：教师：前后四人作为一个小组合作交流一下？看看怎么办？交流完后，教师说哪 个小组代表来表达一

13、下你们的观点？ 学生学生：两个根号在一侧不好化简，可以给这个式子变一下形转化成我们熟悉的一 个根号的问题再化简，即移项。 教师：教师：那试一下是否可以？ (设计意图：通过小组合作突破难点“怎么化简带根式的式子”.学生会提出两种 方案：一、是直接将根式平方。二、是将其中一个根式平移再平方.这时教师让 学生进行小组讨论，对比、分析这两种方法的优缺点.教师引导，发现以上同学 们提出的这两种方法都需要进行两次平方，只是方法二计算较方法一较简单.） 学生：学生：各自在练习本上自行化简，在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和 提示， 然后选出 1 位学生的推导过程实物投影展示出来，并请学生本人作简要陈

14、述 教师：教师：观察 22, y x的系数以及常数项，考虑怎样能让方程 22222222 caayaxca 更简洁？ 学生：学生：两边同除 222 caa。（在数列学习中学生有这种经验） 教师：教师：那还能让方程1 22 2 2 2 ca y a x 再简洁？ 学生：学生：再简洁？ 教师：教师：你在哪见过 22 ca ？ 学生：学生：勾股定理中有 222 cab。 教师：教师：所以我们可以令 222 cab得椭圆的方程为)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ，该方该方 程叫做焦点在程叫做焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程轴上的椭圆的标准方程. (设计意图：暴露自然思维，通过比较，得出

15、最简洁的方案，而不是被动地接受 教材或老师强加给的方法，使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动 的获取。在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运 算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想。并感受椭圆方程、图形 的对称美，简洁美。) 教师：教师：刚才我们说过，在直角三角形中有勾股定理 222 cab，即 222 cba，那你能在下面的图中找出表 示cba,的线段吗？ （设计意图：对照图形加以引导，数形结合让学生明白方 程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用.） 学生：学生：bOMcOFaMF, 11 教师：教师：所以说我们令 222 cab，是有一定的

16、几何意义的，不是随便令的。（学 生若有所思的点头） 教师：教师：如果椭圆的焦点在y轴上，那椭圆的方程又如何？ 方法 1：焦点坐标变为), 0(),0( 21 cFcF，重复推导过程，布置为作业. 方法 2：由学生动手列式，acyxcyx2 2 2 2 2 ，引导学生观察焦 点在x轴上与焦点在y轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在y轴上椭 圆的标准方程)0( 1 2 2 2 2 ba b x a y ， 这个方程叫焦点在这个方程叫焦点在 y y 轴上的椭圆的轴上的椭圆的标准方标准方 程程. . （设计意图：利用类比对称，划归的思想让学生体会问题的本质所在，只是位置 不同，图形是一致的，得出

17、焦点在y轴上的椭圆的标准方程，避免繁杂计算.） （五五） 去伪存真，知识运用去伪存真，知识运用 焦点在焦点在 x 轴上轴上 焦点在焦点在 y 轴上轴上 标准方程：标准方程： 1 2 2 2 2 b y a x （0ba） 1 2 2 2 2 b x a y （0ba） 教师：教师：1.椭圆的标准方程中三个参数, ,a b c的关系怎样? 2.如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？ 学生：学生：小组讨论。 学生总结方程特征：学生总结方程特征：1. 222 0.abcab， 2哪个变量下的分母大,焦点就在哪个轴上. （设计意图：通过归纳总结让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的 理解.有

18、助于教学目标的实现，培养学生的总结归纳能力，而且使学生体会和学 习类比的思想方法，为后边双曲线、抛物线及其它知识的学习打下基础.） 教师：教师：记忆这两个方程可以类比直线的截距式方程。本节课我们对类比思想的运 用可以说是无处不再，相信以后再学习双曲线和抛物线时，你就不需要我了，完 全可以自己类比学习了。 学生：学生：哈哈大笑。 教师：教师：那你能借助于已知条件求椭圆的标准方程吗？请做一下例 2. 例 2 （1）求到 12 ( 1,0),(1,0)FF 的距离之和为4的点M的轨迹方程. （2）求到 12 (0, 1),(0,1)FF 的距离之和为4的点M的轨迹方程. （3） 求两个焦点的坐标分别

19、是 12 ( 1,0),(1,0)FF ， 并且经过点 1, 3P 的椭圆的标 准方程 （设计意图：第一个练习是前面的例题，判断出轨迹是椭圆后，继续拿来求其标 准方程；第二个练习让学生熟悉焦点在y轴上的标准方程；第三个练习让学生先 类比前面的例题经验用定义解决， 再引导学生类比圆的方程的求法用待定系数法 解决。） 学生：学生：板演。学生点评。（学生大部分用定义法） 教教师：师：对于第三个练习，类比圆的方程的求法，你还有其它的解法吗？ 学生：学生：待定系数法，简述过程。 （六六）提炼升华，）提炼升华，课堂小结课堂小结 思考:1.本节课学习的主要知识是什么? 2.求椭圆标准方程常用方法是什么？ 3

20、.本节课涉及到了哪些数学思想方法？ 答：一个定义（椭圆的定义）；两个方法（定义法和待定系数法）； 三种数学 思想（数形结合思想；转化化归思想；分类讨论思想）。 （七七）课后作业，承上启下）课后作业，承上启下 书面作业书面作业：1推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程. 2习题 2.2 A 组 1，2 . 研究性作业研究性作业：1.方程1 22 ByAx什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在 x 轴 上的椭圆？什么时候表示焦点在 y 轴上的椭圆？能表示圆吗？ 2. 课本 42 页，“为什么截口曲线是椭圆？” （设计意图：为后续学习做铺垫，为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空 间.） （八八）思维导图

21、，）思维导图，板书设计板书设计 2.2.1 椭圆及其标准方程 一、画椭圆 二、定义： 12 222MFMFaac 注明：若ca22 ，则点的轨迹不 存在； 若ca22 ，则轨迹为线段 21F F 三、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时， 01 2 2 2 2 ba b y a x 焦点在y轴上时， 01 2 2 2 2 ba b x a y 六六、课堂教学目标检测课堂教学目标检测： 1.已知椭圆 , 1 1625 22 yx （1）若椭圆上任一点C 到一个焦点的距离为 6，则点C 到另一个焦点的距离为 （2）若C为椭圆上任一点，则 21F CF的周长为 ；若CD为过左焦点 1 F的 弦，则CDF2的周长为 检测目标：椭圆定义的理解 2.请同位之间，编制一道求椭圆标准方程的试题，写出解答过程。 检测目标：椭圆标准方程的应用