1、首都师大附中 2020-2021 学年第一学期 高二数学期中考试(1-4) 第卷(共 30 分) 一、单选题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题所列出的四个选项中,只有一项是最符合 题目要求的) 1.双曲线的方程为 22 1 169 xy ,则其离心率为( ) A. 4 5 B. 5 4 C. 4 3 D. 3 4 2.已知直线 1 l:(4)10kxk y 与 2 l:2230kxy平行,则k的值是( ) A.1 或 0 B.5 C.0 或 5 D.1 或 5 3.设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若mn,n,则m B.若m,
2、则m C.若m,n,n,则m D.若mn,n,则m 4.将 6 枚相同的硬币放入如图所示的 9 个方格中,要求每个方格中至多放一枚硬币,并且毎行每列都有 2 枚 硬币,则放置硬币的方法共有( )种. A.6 B.12 C.18 D,36 5.圆E: 22 1xy与圆F: 22 4440 xyxy的公切线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.双曲线 2 2 1 2 x y的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.2 B. 2 2 C. 6 3 D. 2 3 3 7.已知椭圆C的焦点为 1( 1,0) F , 2(1,0) F.过点 1 F的直线与C交于A,B两点,若 2 ABF周长为
3、8,则 椭圆C的标准方程为( ) A. 22 1 1615 xy B. 22 1 87 xy C. 22 1 43 xy D. 22 1 34 xy 8.如图,一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m,底面半径为1m,一只小虫从圆锥的底面圆上 的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处,则该小虫爬行的最短路程为( ) A.4 2m B.4m C.2 3m D.2m 9.要排出高三某班一天中,语文、数学、英语各 2 节,自习课 1 节的功课表,其中上午 5 节,下午 2 节,若 要求 2 节语文课必须相邻且 2 节数学课也必须相邻(注意:上午第五节和下午第一节不算相邻) ,则不同的 排法种数
4、是( ) A.84 B.54 C.42 D.18 10.佩香囊是端午节传统习俗之一,香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功效,因地方习俗 的差异, 香囊常用丝布做成各种不同的形状, 形形色色, 玲珑夺目.图 1 中的ABCD由六个正三角形构成, 将它沿虚线折起来,可得图 2 所示的六面体形状的香囊.那么在图 2 这个六面体中,棱AB与CD所在直线 的位置关系为( ) A.平行 B.相交 C.异面且垂直 D.异面且不垂直 第卷(共 70 分) 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 11.在 6 1 x x 的展开式中,常数项为_.(用数字作答) 12.F为抛物
5、线 2 4yx的焦点,A,B,C在抛物线上,若0FAFBFC,则FAFBFC _. 13.某种产品的加工需要A,B,C,D,E五道工艺,其中A必须在D的前面完成(不一定相邻) ,其它 工艺的顺序可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间,B与C必须相邻,那么完成加工该产品的不 同工艺的排列顺序有_种.(用数字作答) 14.若方程 22 1 41 xy tt 所表示的曲线为C,给出下列四个命题: 若C为椭圆,则实数t的取值范围为(1,4); 若C为双曲线,则实数t的取值范围为(,1)(4,); 曲线C不可能是圆; 若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则实数t的取值范围为 3 1, 2 . 其中真命题的
6、序号为_.(把所有正确命题的序号都填在横线上) 15.寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游,实名制购票,每人一座,恰在同一排A,B,C,D,E五个 座位(一排共五个座位) ,上车后五人在这五个座位上随意坐,则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法 有_种.(用数字作答) 16.设 1 F为椭圆C: 2 2 1 2 x y的左焦点,P为椭圆C上给定一点,以 1 PF为直径作圆,点Q为圆上 的动点,则坐标原点O到Q的距离的最大值为_. 17.已知棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D,E为棱AD中点,现有一只妈蚁从点 1 B出发,在正方体 1111 ABCDABC D表面上行走一周后再回
7、到点 1 B,这只蚂蚁在行走过程中与平面 1 ABE的距离保持不变, 则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为_. 8.关于曲线C: 22 4xxyy,给出下列四个结论: 出线C关于原点对称,但不关于x轴、y轴对称; 曲线C恰好经过 4 个整点(即横、纵坐标均为整数的点) ; 曲线C上任意一点都不在圆 22 3xy的内部; 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2 2. 其中,正确结论的序号是_. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 38 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 19.(本小题 9 分) 如图所示, 平行六面体ABCDABCD 中,AA 平面ABCD,ABAC,M,N分别为
8、CB, CC 的中点,1ABAC AA . ()求证:MN平面ACD; ()求证:CD平面ACD; ()求点B到平面ACD的距离. 20.(本小题 8 分) 已知点O为坐标原点,( 6,0)A ,动点P使得:1:2POPA . ()求点P的轨迹方程; ()设点P的轨迹为,过点(4,4)Q的直线l与交于两点A、B,若4 3AB ,求直线l的方程. 21.(本小题 11 分) 四棱锥PABCD中,PA 平面ABCD, 底面ABCD是平行四边形,60DAB,2PAABAD, 点E是棱PC上一点. ()求证:平面PAC 平面BDE; ()当E为PC中点时,求二面角ABED的余弦值; ()若直线BE与平
9、面PAC所成的角为45时,求CE. 22.(本小题 10 分) 已知椭圆C: 2 2 2 1 x y a (其中0a)的右焦点为(1,0)F,直线l过点F与椭圆C交于A,B两点,O 为坐标原点. ()求椭圆C的长轴长和离心率; ()求AOB的面积的最大值; ()若AOB为直角三角形,求直线l的方程. 首都师大附中 2020-2021 学年第一学期 高二数学期中考试参考答案(1-4) 第卷(共 30 分) 一、单选题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题所列出的四个选项中,只有一项是最符合 题目要求的) 1-5:BCCAB 6-10:CCACB 第卷(共 70 分) 二、
10、填空题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 11.15 12.6 13.24 14. 15.45 16.2 17.2 3 18. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 38 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 19.证明:因为AA 平面ABCD,所以AAAB ,AAAC . 因为ABAC,如图建立空间直角坐标系,则 (0,0,0)A,(1,0,0)B,(0,1,0)C,( 1,1,0)D ,(0,0,1) A ,(1,0,1) B ,(0,1,1) C ,( 1,1,1)D , 1 1 ,0 2 2 M , 1 0,1, 2 N 此时 1 1 1 , 2 2 2 MN
11、,(1,0,1)DC ,(1,0,0)AB ,(0,1,0)AC ,( 1,1,1)AD . ()因为 1 2 MN AD ,所以MN AD . 因为MN 平面ACD,所以MN平面ACD. ()因为0DC AC ,0DC AD, 所以 DC 是平面ACD的法向量, 所以CD平面ACD. ()点B到平面ACD的距离为 12 22 DCAB DC . 20.解: ()设点( , )P x y,则 22 POxy, 22 (6)PAxy. 由题意, 2222 (6)2xyxy. 整理得: 22 (2)16xy. 即点P的轨迹方程为 22 (2)16xy. ()由()得,为以(2,0)C为圆心,以4r
12、 为半径的圆,设AB的中点为M,连结CM,CA. 由垂径定理,CMAB. 2 22 4 3 162 2 CMrAM 即点(2,0)C到直线l的距离为 2. (1)当直线l的斜率不存在时,l:4x,经检验符合题意; (2)当直线l的斜率存在时,设l:4(4)yk x,即440kxyk 所以, 2 244 2 1 kk k . 解得: 3 4 k . 所以,l: 3 10 4 xy ,即3440 xy. 由(1) 、 (2)可知,直线l的方程为4x或3440 xy. 21.证明: ()因为平行四边形ABCD中,ABAD, 所以四边形ABCD是菱形,所以ACBD. 因为PA 平面ABCD,所以PAB
13、D. 又因为PAACA,所以BD 平面PAC. 所以平面PAC 平面BDE. ()在平面ABCD内,过点A作AQBD,则AQAC,因为PA 平面ABCD, AQ 平面ABCD,所以PAAQ.如图建立空间直角坐标系,则 (0,0,0)A,(1, 3,0)B,(0,2 3,0)C,( 1, 3,0)D ,(0,0,2)P. 当E为PC中点时,(0, 3,1)E. 所以 0, 3,1AE , 1, 3,0AB ,2,0,0BD ,1,0,1BE . 设平面ABE的方向量为 1111 ,nx y z,则 11 11 30, 30. yz xy 令 1 3x ,得 1 1y , 1 3z ,所以 1 3
14、, 1, 3n . 设平面DBE的方向量为 2222 ,nxy z,则 2 22 20, 0. x xz 则 22 0 xz,令 2 1y ,则 2 (0,1,0)n . 所以, 12 2 1 12 17 cos, 77 n n n n nn . 因为二面角ABED为锐二面角,得二面角ABED的余弦值为 7 7 . ()设(01)CECP,则 1, 3,00, 2 3,21, 32 3 ,2BEBCCP . 由()得,BD 平面PAC.所以,平面PAC的一个方向量为( 2,0,0)BD , 由题意: 2 cos, 2 BD BE,故 2 2 BD BE BDBE ,即 2 2 22 2 213
15、2 3(2 ) . 所以, 22 1 ( 32 3 )(2 )2,即 2 161220. 解得 1 1 4 , 2 1 2 . 所以 1 1 4 CECP或 1 2 2 CECP. 22.解: ()由题意, 2 11a ,解得2a . 所以,椭圆C的长轴长为22 2a ,离心率为 12 2 e a . ()设直线l的方程为1xmy,联立 2 2 1, 2 1. x y xmy 整理得: 22 (1)22myy, 即 22 2210mymy . 设 11 ,A x y, 22 ,B x y,由 222 242( 1)880mmm ,得 12 2 2 2 m yy m , 12 2 1 2 yy
16、m . 所以, 2 2 121212 2 88 4 2 m yyyyy y m . 所以,AOB的面积 2 12 2 11 2 22 m SOFyy m , 令 2 1mt ,则1,)t,得 2 222 1 12 t S t t t . 当且仅当1t 时(即0m时)等号成立,此时l:1x . () (1)若90OAB,则OAFA,故 11 ,OAx y, 11 1,FAxy,则 2 111 10 x xy 因为 2 2 1 1 1 2 x y,故 2 1 11 11 2 x xx,即 2 11 220 xx,无解. 即90OAB.同理,90OBA. (2)若90AOB,得0OA OB,即 12
17、12 0 x xy y,得 1212 110mymyy y. 故 2 1212 110my ym yy .故 22 22 12 10 22 mm mm . 解得 2 1 2 m ,故 2 2 m .故l: 2 1 2 xy (即22yx ) 所以 1 22 1 6 220 2 y xy x . 所以QBQF. 所以B,Q,F三点共线.10 分 (3) (i)当直线l的斜率不存在时,易知3AB ,此时AOB的面积为 13 3 1 22 . (ii)当直线l的斜率存在时,显然斜率0k . 所以 2 222 2 22 1212 222 84121 141412 343434 kkk ABkxxx x
18、k kkk . 又因为 2 1 Ol k d k , 所以AOB的面积 2 2 2 111 12 2234 1 Ol kk SAB d k k 22 2 2 1 6 34 kk k . 令 2 34kt,则 2 3 (3) 4 t kt . 所以 22 2 2222 2 33 1 1 12313244 1 1616 34 tt kk tt tttt k 2 1114 3 1633t 因为3t ,所以 11 0 3t ,所以 22 2 2 1 1 0,16 34 kk k ,所以 22 2 2 1 1 0, 4 34 kk k 所以 3 0, 2 S . 综上所述,当直线lx轴时,AOB的面积取得最大值.16 分
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