1、首都师大附中 2020-2021 学年第一学期 高二数学期中考试（1-4） 第卷（共 30 分） 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合 题目要求的） 1.双曲线的方程为 22 1 169 xy ，则其离心率为（ ） A. 4 5 B. 5 4 C. 4 3 D. 3 4 2.已知直线 1 l：(4)10kxk y 与 2 l：2230kxy平行，则k的值是（ ） A.1 或 0 B.5 C.0 或 5 D.1 或 5 3.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A.若mn，n，则m B.若m，
2、则m C.若m，n，n，则m D.若mn，n，则m 4.将 6 枚相同的硬币放入如图所示的 9 个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且毎行每列都有 2 枚 硬币，则放置硬币的方法共有（ ）种. A.6 B.12 C.18 D,36 5.圆E： 22 1xy与圆F： 22 4440 xyxy的公切线的条数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.双曲线 2 2 1 2 x y的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A.2 B. 2 2 C. 6 3 D. 2 3 3 7.已知椭圆C的焦点为 1( 1,0) F ， 2(1,0) F.过点 1 F的直线与C交于A，B两点，若 2 ABF周长为
3、8，则 椭圆C的标准方程为（ ） A. 22 1 1615 xy B. 22 1 87 xy C. 22 1 43 xy D. 22 1 34 xy 8.如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，底面半径为1m，一只小虫从圆锥的底面圆上 的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为（ ） A.4 2m B.4m C.2 3m D.2m 9.要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各 2 节，自习课 1 节的功课表，其中上午 5 节，下午 2 节，若 要求 2 节语文课必须相邻且 2 节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻） ，则不同的 排法种数
4、是（ ） A.84 B.54 C.42 D.18 10.佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗 的差异， 香囊常用丝布做成各种不同的形状， 形形色色， 玲珑夺目.图 1 中的ABCD由六个正三角形构成， 将它沿虚线折起来，可得图 2 所示的六面体形状的香囊.那么在图 2 这个六面体中，棱AB与CD所在直线 的位置关系为（ ） A.平行 B.相交 C.异面且垂直 D.异面且不垂直 第卷（共 70 分） 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分） 11.在 6 1 x x 的展开式中，常数项为_.（用数字作答） 12.F为抛物
5、线 2 4yx的焦点，A，B，C在抛物线上，若0FAFBFC，则FAFBFC _. 13.某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成（不一定相邻） ，其它 工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B与C必须相邻，那么完成加工该产品的不 同工艺的排列顺序有_种.（用数字作答） 14.若方程 22 1 41 xy tt 所表示的曲线为C，给出下列四个命题： 若C为椭圆，则实数t的取值范围为(1,4)； 若C为双曲线，则实数t的取值范围为(,1)(4,)； 曲线C不可能是圆； 若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则实数t的取值范围为 3 1, 2 . 其中真命题的
6、序号为_.（把所有正确命题的序号都填在横线上） 15.寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个 座位（一排共五个座位） ，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法 有_种.（用数字作答） 16.设 1 F为椭圆C： 2 2 1 2 x y的左焦点，P为椭圆C上给定一点，以 1 PF为直径作圆，点Q为圆上 的动点，则坐标原点O到Q的距离的最大值为_. 17.已知棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D，E为棱AD中点，现有一只妈蚁从点 1 B出发，在正方体 1111 ABCDABC D表面上行走一周后再回
7、到点 1 B，这只蚂蚁在行走过程中与平面 1 ABE的距离保持不变， 则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为_. 8.关于曲线C： 22 4xxyy，给出下列四个结论： 出线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称； 曲线C恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ； 曲线C上任意一点都不在圆 22 3xy的内部； 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2 2. 其中，正确结论的序号是_. 三、解答题（本大题共 4 小题，共 38 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.（本小题 9 分） 如图所示， 平行六面体ABCDABCD 中，AA 平面ABCD，ABAC，M，N分别为
8、CB， CC 的中点，1ABAC AA . （）求证：MN平面ACD； （）求证：CD平面ACD； （）求点B到平面ACD的距离. 20.（本小题 8 分） 已知点O为坐标原点，( 6,0)A ，动点P使得:1:2POPA . （）求点P的轨迹方程； （）设点P的轨迹为，过点(4,4)Q的直线l与交于两点A、B，若4 3AB ，求直线l的方程. 21.（本小题 11 分） 四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD， 底面ABCD是平行四边形，60DAB，2PAABAD， 点E是棱PC上一点. （）求证：平面PAC 平面BDE； （）当E为PC中点时，求二面角ABED的余弦值； （）若直线BE与平
9、面PAC所成的角为45时，求CE. 22.（本小题 10 分） 已知椭圆C： 2 2 2 1 x y a （其中0a）的右焦点为(1,0)F，直线l过点F与椭圆C交于A，B两点，O 为坐标原点. （）求椭圆C的长轴长和离心率； （）求AOB的面积的最大值； （）若AOB为直角三角形，求直线l的方程. 首都师大附中 2020-2021 学年第一学期 高二数学期中考试参考答案（1-4） 第卷（共 30 分） 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合 题目要求的） 1-5：BCCAB 6-10：CCACB 第卷（共 70 分） 二、
10、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分） 11.15 12.6 13.24 14. 15.45 16.2 17.2 3 18. 三、解答题（本大题共 4 小题，共 38 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.证明：因为AA 平面ABCD，所以AAAB ，AAAC . 因为ABAC，如图建立空间直角坐标系，则 (0,0,0)A，(1,0,0)B，(0,1,0)C，( 1,1,0)D ，(0,0,1) A ，(1,0,1) B ，(0,1,1) C ，( 1,1,1)D ， 1 1 ,0 2 2 M ， 1 0,1, 2 N 此时 1 1 1 , 2 2 2 MN
11、，(1,0,1)DC ，(1,0,0)AB ，(0,1,0)AC ，( 1,1,1)AD . （）因为 1 2 MN AD ，所以MN AD . 因为MN 平面ACD，所以MN平面ACD. （）因为0DC AC ，0DC AD， 所以 DC 是平面ACD的法向量， 所以CD平面ACD. （）点B到平面ACD的距离为 12 22 DCAB DC . 20.解： （）设点( , )P x y，则 22 POxy， 22 (6)PAxy. 由题意， 2222 (6)2xyxy. 整理得： 22 (2)16xy. 即点P的轨迹方程为 22 (2)16xy. （）由（）得，为以(2,0)C为圆心，以4r
12、 为半径的圆，设AB的中点为M，连结CM，CA. 由垂径定理，CMAB. 2 22 4 3 162 2 CMrAM 即点(2,0)C到直线l的距离为 2. （1）当直线l的斜率不存在时，l：4x，经检验符合题意； （2）当直线l的斜率存在时，设l：4(4)yk x，即440kxyk 所以， 2 244 2 1 kk k . 解得： 3 4 k . 所以，l： 3 10 4 xy ，即3440 xy. 由（1） 、 （2）可知，直线l的方程为4x或3440 xy. 21.证明： （）因为平行四边形ABCD中，ABAD， 所以四边形ABCD是菱形，所以ACBD. 因为PA 平面ABCD，所以PAB
13、D. 又因为PAACA，所以BD 平面PAC. 所以平面PAC 平面BDE. （）在平面ABCD内，过点A作AQBD，则AQAC，因为PA 平面ABCD， AQ 平面ABCD，所以PAAQ.如图建立空间直角坐标系，则 (0,0,0)A，(1, 3,0)B，(0,2 3,0)C，( 1, 3,0)D ，(0,0,2)P. 当E为PC中点时，(0, 3,1)E. 所以 0, 3,1AE ， 1, 3,0AB ，2,0,0BD ，1,0,1BE . 设平面ABE的方向量为 1111 ,nx y z，则 11 11 30, 30. yz xy 令 1 3x ，得 1 1y ， 1 3z ，所以 1 3
14、, 1, 3n . 设平面DBE的方向量为 2222 ,nxy z，则 2 22 20, 0. x xz 则 22 0 xz，令 2 1y ，则 2 (0,1,0)n . 所以， 12 2 1 12 17 cos, 77 n n n n nn . 因为二面角ABED为锐二面角，得二面角ABED的余弦值为 7 7 . （）设(01)CECP，则 1, 3,00, 2 3,21, 32 3 ,2BEBCCP . 由（）得，BD 平面PAC.所以，平面PAC的一个方向量为( 2,0,0)BD ， 由题意： 2 cos, 2 BD BE，故 2 2 BD BE BDBE ，即 2 2 22 2 213
15、2 3(2 ) . 所以， 22 1 ( 32 3 )(2 )2，即 2 161220. 解得 1 1 4 ， 2 1 2 . 所以 1 1 4 CECP或 1 2 2 CECP. 22.解： （）由题意， 2 11a ，解得2a . 所以，椭圆C的长轴长为22 2a ，离心率为 12 2 e a . （）设直线l的方程为1xmy，联立 2 2 1, 2 1. x y xmy 整理得： 22 (1)22myy， 即 22 2210mymy . 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，由 222 242( 1)880mmm ，得 12 2 2 2 m yy m ， 12 2 1 2 yy
16、m . 所以， 2 2 121212 2 88 4 2 m yyyyy y m . 所以，AOB的面积 2 12 2 11 2 22 m SOFyy m ， 令 2 1mt ，则1,)t，得 2 222 1 12 t S t t t . 当且仅当1t 时（即0m时）等号成立，此时l：1x . （） （1）若90OAB，则OAFA，故 11 ,OAx y， 11 1,FAxy，则 2 111 10 x xy 因为 2 2 1 1 1 2 x y，故 2 1 11 11 2 x xx，即 2 11 220 xx，无解. 即90OAB.同理，90OBA. （2）若90AOB，得0OA OB，即 12
17、12 0 x xy y，得 1212 110mymyy y. 故 2 1212 110my ym yy .故 22 22 12 10 22 mm mm . 解得 2 1 2 m ，故 2 2 m .故l： 2 1 2 xy （即22yx ） 所以 1 22 1 6 220 2 y xy x . 所以QBQF. 所以B，Q，F三点共线.10 分 （3） （i）当直线l的斜率不存在时，易知3AB ，此时AOB的面积为 13 3 1 22 . （ii）当直线l的斜率存在时，显然斜率0k . 所以 2 222 2 22 1212 222 84121 141412 343434 kkk ABkxxx x
18、k kkk . 又因为 2 1 Ol k d k ， 所以AOB的面积 2 2 2 111 12 2234 1 Ol kk SAB d k k 22 2 2 1 6 34 kk k . 令 2 34kt，则 2 3 (3) 4 t kt . 所以 22 2 2222 2 33 1 1 12313244 1 1616 34 tt kk tt tttt k 2 1114 3 1633t 因为3t ，所以 11 0 3t ，所以 22 2 2 1 1 0,16 34 kk k ，所以 22 2 2 1 1 0, 4 34 kk k 所以 3 0, 2 S . 综上所述，当直线lx轴时，AOB的面积取得最大值.16 分
