极值点偏移问题1.doc

1、. 作者的话 （可作为编者按） ： 极值点偏移， 在近几年的数学圈里可谓是一个时髦的名词 特 别地，它作为 2016 年高考新课标卷导数压轴题第（2）问出现，更是引起了人们的广泛关 注和讨论一时间，全国上下竞相效仿，各地的模拟题都呈现出大偏移状态说起极值点偏 移，必然要提到对称化构造的处理策略，这可一直追溯到 7 年前，2010 年高考天津卷理数 第 21 题，之后在高考中时有出现，如 2011 年辽宁卷理数第 21 题，2013 年湖南卷文数第 21 题等笔者决定发布极值点偏移问题的系列短文，一期一个解题方法或操作细节，敬请关 注希望对此已有所了解的朋友能认识得更加深入，还不甚了解的朋友能由

2、此入门 极值点偏移问题（极值点偏移问题（1） 对称化构造（解题方法） 杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001) 三张图教你直观认识极值点偏移： f x ( ) x x0= x1+x2 2 x2x1 （左右对称，无偏移，如二次函数；若? ? 12 f xf x?，则 120 2xxx?） f x ( ) x x2x1+x2 2 x0x1 （左陡右缓，极值点向左偏移；若? ? 12 f xf x?，则 120 2xxx?） f x ( ) x1 x0 x1+x2 2 x2 x （左缓右陡，极值点向右偏移；若? ? 12 f xf x?，则 120 2xxx?） . 例例 1

3、 （2010 天津）已知函数? ? x f xxe? （1）求函数? ?f x的单调区间和极值； （2）已知函数? ?g x的图象与? ?f x的图象关于直线1x ?对称，证明：当1x ?时， ? ? ?f xg x? ； （3）如果 12 xx?，且? ? 12 f xf x?，证明： 12 2xx? 解解： （1）? ?1 x fxex ? ?，得 ? ?f x在?,1? 上递增，在?1,?上递减，? ?f x有 极大值? ? 1 1f e ?，无极小值； （2）由? ?g x的图象与? ?f x的图象关于直线1x ?对称，得? ?g x的解析式为 ?2yfx? ，构造辅助函数 ? ? ?

4、 ? ?2F xf xg xf xfx? ，?1,x?， 求导得 ? ? ? 22 2111 xxxx Fxfxfxexexxee ? ?， 当1x ?时，10x? ?， 2 0 xx ee ? ?，则? ?0F x?，得? ?F x在?1,?上单增，有 ? ? ?10F xF? ，即? ? ?f xg x? （3）由? ? 12 f xf x?，结合? ?f x的单调性可设 12 1xx? ?，将 2 x代入（2）中不等 式得? 22 2f xfx?， 又? ? 12 f xf x?， 故? ? 12 2f xfx?， 又 1 1x ?， 2 21x?， ? ?f x在?,1? 上单增，故

5、12 2xx?， 12 2xx? 点评点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法 对称化构造的全过程，直观展示如下： x y g x ( )=f 2 x() f x ( ) 2-x1 x2x11 O . 例 1 是这样一个极值点偏移问题：对于函数? ? x f xxe?，已知? ? 12 f xf x?，且 21 xx?，证明 12 2xx?再次审视解题过程，发现以下三个关键点： （1） 1 x， 2 x的范围? 12 01xx? ?； （2）不等式? ?21f xfxx?； （3）将 2 x代入（2）中不等式，结合? ?f x的单调性获证结论 把握以上三个关键

6、点，就可以轻松解决一些极值点偏移问题 例例 2 （2016 新课标 1 卷）已知函数? ? 2 21 x fxxea x?有两个零点 （1）求 a 的取值范围； （2）设 1 x， 2 x是? ?f x的两个零点，证明： 12 2xx? 解解： （1）?0,?，过程略； （2）由（1）知? ?f x在?,1?上递减，在?1,?上递增， 由? ? 12 0f xf x?，可设 12 1xx? ? 构造辅助函数? ? ?2F xf xfx?，求导得 ? ? ? 22 21 (2 )1(2 )1 xxxx Fxfxfxxeaxeaxee ? ?， 当1x ?时，10x? ?， 2 0 xx ee ?

7、 ?， 则? ?0F x?， 得? ?F x在?,1?上单增， 又? ?10F?， 故? ?01F xx?，即? ?21f xfxx? 将 1 x代入上述不等式中， 得? ? 121 2f xf xfx?， 又 2 1x ?， 1 21x?，? ?f x 在?1,?递增，故 21 2xx?， 12 2xx? 通过以上两例， 相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤已有所了解 但 极值点偏移问题的结论不一定总是? ? 120 2xxx? ?，也可能是? ? 2 1 20 x xx? ?，借鉴前面的 解题经验，我们就可以给出类似的过程 例例 3 已知函数? ?lnf xxx?的图象与直线y

8、m?交于不同的两点? 11 ,A x y， ? 22 ,B x y，求证： 12 2 1 x x e ? 证明证明：? ?ln1fxx?， 得? ?f x在 1 0, e ? ? ? 上递减， 在 1 , e ? ? ? ? 上递增； 当01x?时， ? ?0f x ? ；? ?10f?；当1x ?时，? ?0f x ?；当0x ? ?时，? ?0f x ?（洛必达法则） ； . 当x?时，? ?f x ?于是? ?f x的图象如下，得 12 1 01xx e ? x y 1 1 e 1 e x2x1 y=m O 构造函数? ? ? 2 1 F xf xf e x ? ? ? ? ，求导得 ?

9、 ? ? 22222222 11111 1 ln1 ln1 ln1Fxfxfxx e xe xe xe xe x ? ? ? ? ? ， 当 1 0x e ?时，1ln0x?， 22 1 10 e x ?，则? ?0F x?，得? ?F x在 1 0, e ? ? ? 上递增，有 ? ? 1 0F xF e ? ? ? ? ，即? ? 2 11 0f xfx e xe ? ? ? ? 将 1 x代 入 （ 2 ） 中 不 等 式 得? 1 2 1 1 fxf e x ? ? ? ? ， 又? ? 12 f xf x?， 故 ? 2 2 1 1 fxf e x ? ? ? ? ，又 2 1 x

10、e ?， 2 1 11 e xe ?，? ?f x在 1 , e ? ? ? ? 上递增，故 2 2 1 1 x e x ?， 12 2 1 x x e ? 小结小结：用对称化构造的方法解决极值点偏移问题大致分为以下三步： Step 1 求导， 获得? ?f x的单调性， 极值情况， 作出? ?f x的图象， 由? ? 12 f xf x? 得 1 x， 2 x的取值范围（数形结合） ； Step 2 构造辅助函数（对结论? ? 1 20 2x xx? ?，构造? ? ? 0 2F xf xfxx?；对 结论? ? 2 1 20 x xx? ?，构造? ? ? 2 0 x F xf xf x ? ? ? ? ） ，求导，限定范围（ 1 x或 2 x的范围） ， 判定符号，获得不等式； Step 3 代入 1 x（或 2 x） ，利用? ? 12 f xf x?及? ?f x的单调性证明最终结论 练习练习 1 已知函数? ?lnf xx?和? ?g xax?，若存在两个实数 1 x， 2 x且 12 xx?，满足 . ? ? ? 11 f xg x?，? 22 f xg x?，求证： （1） 12 2xxe?； （2） 2 1 2 x xe?