1、. 作者的话 (可作为编者按) : 极值点偏移, 在近几年的数学圈里可谓是一个时髦的名词 特 别地,它作为 2016 年高考新课标卷导数压轴题第(2)问出现,更是引起了人们的广泛关 注和讨论一时间,全国上下竞相效仿,各地的模拟题都呈现出大偏移状态说起极值点偏 移,必然要提到对称化构造的处理策略,这可一直追溯到 7 年前,2010 年高考天津卷理数 第 21 题,之后在高考中时有出现,如 2011 年辽宁卷理数第 21 题,2013 年湖南卷文数第 21 题等笔者决定发布极值点偏移问题的系列短文,一期一个解题方法或操作细节,敬请关 注希望对此已有所了解的朋友能认识得更加深入,还不甚了解的朋友能由
2、此入门 极值点偏移问题(极值点偏移问题(1) 对称化构造(解题方法) 杨春波(高新区枫杨街 郑州外国语学校,河南 郑州 450001) 三张图教你直观认识极值点偏移: f x ( ) x x0= x1+x2 2 x2x1 (左右对称,无偏移,如二次函数;若? ? 12 f xf x?,则 120 2xxx?) f x ( ) x x2x1+x2 2 x0x1 (左陡右缓,极值点向左偏移;若? ? 12 f xf x?,则 120 2xxx?) f x ( ) x1 x0 x1+x2 2 x2 x (左缓右陡,极值点向右偏移;若? ? 12 f xf x?,则 120 2xxx?) . 例例 1
3、 (2010 天津)已知函数? ? x f xxe? (1)求函数? ?f x的单调区间和极值; (2)已知函数? ?g x的图象与? ?f x的图象关于直线1x ?对称,证明:当1x ?时, ? ? ?f xg x? ; (3)如果 12 xx?,且? ? 12 f xf x?,证明: 12 2xx? 解解: (1)? ?1 x fxex ? ?,得 ? ?f x在?,1? 上递增,在?1,?上递减,? ?f x有 极大值? ? 1 1f e ?,无极小值; (2)由? ?g x的图象与? ?f x的图象关于直线1x ?对称,得? ?g x的解析式为 ?2yfx? ,构造辅助函数 ? ? ?
4、 ? ?2F xf xg xf xfx? ,?1,x?, 求导得 ? ? ? 22 2111 xxxx Fxfxfxexexxee ? ?, 当1x ?时,10x? ?, 2 0 xx ee ? ?,则? ?0F x?,得? ?F x在?1,?上单增,有 ? ? ?10F xF? ,即? ? ?f xg x? (3)由? ? 12 f xf x?,结合? ?f x的单调性可设 12 1xx? ?,将 2 x代入(2)中不等 式得? 22 2f xfx?, 又? ? 12 f xf x?, 故? ? 12 2f xfx?, 又 1 1x ?, 2 21x?, ? ?f x在?,1? 上单增,故
5、12 2xx?, 12 2xx? 点评点评:该题的三问由易到难,层层递进,完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法 对称化构造的全过程,直观展示如下: x y g x ( )=f 2 x() f x ( ) 2-x1 x2x11 O . 例 1 是这样一个极值点偏移问题:对于函数? ? x f xxe?,已知? ? 12 f xf x?,且 21 xx?,证明 12 2xx?再次审视解题过程,发现以下三个关键点: (1) 1 x, 2 x的范围? 12 01xx? ?; (2)不等式? ?21f xfxx?; (3)将 2 x代入(2)中不等式,结合? ?f x的单调性获证结论 把握以上三个关键
6、点,就可以轻松解决一些极值点偏移问题 例例 2 (2016 新课标 1 卷)已知函数? ? 2 21 x fxxea x?有两个零点 (1)求 a 的取值范围; (2)设 1 x, 2 x是? ?f x的两个零点,证明: 12 2xx? 解解: (1)?0,?,过程略; (2)由(1)知? ?f x在?,1?上递减,在?1,?上递增, 由? ? 12 0f xf x?,可设 12 1xx? ? 构造辅助函数? ? ?2F xf xfx?,求导得 ? ? ? 22 21 (2 )1(2 )1 xxxx Fxfxfxxeaxeaxee ? ?, 当1x ?时,10x? ?, 2 0 xx ee ?
7、 ?, 则? ?0F x?, 得? ?F x在?,1?上单增, 又? ?10F?, 故? ?01F xx?,即? ?21f xfxx? 将 1 x代入上述不等式中, 得? ? 121 2f xf xfx?, 又 2 1x ?, 1 21x?,? ?f x 在?1,?递增,故 21 2xx?, 12 2xx? 通过以上两例, 相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤已有所了解 但 极值点偏移问题的结论不一定总是? ? 120 2xxx? ?,也可能是? ? 2 1 20 x xx? ?,借鉴前面的 解题经验,我们就可以给出类似的过程 例例 3 已知函数? ?lnf xxx?的图象与直线y
8、m?交于不同的两点? 11 ,A x y, ? 22 ,B x y,求证: 12 2 1 x x e ? 证明证明:? ?ln1fxx?, 得? ?f x在 1 0, e ? ? ? 上递减, 在 1 , e ? ? ? ? 上递增; 当01x?时, ? ?0f x ? ;? ?10f?;当1x ?时,? ?0f x ?;当0x ? ?时,? ?0f x ?(洛必达法则) ; . 当x?时,? ?f x ?于是? ?f x的图象如下,得 12 1 01xx e ? x y 1 1 e 1 e x2x1 y=m O 构造函数? ? ? 2 1 F xf xf e x ? ? ? ? ,求导得 ?
9、 ? ? 22222222 11111 1 ln1 ln1 ln1Fxfxfxx e xe xe xe xe x ? ? ? ? ? , 当 1 0x e ?时,1ln0x?, 22 1 10 e x ?,则? ?0F x?,得? ?F x在 1 0, e ? ? ? 上递增,有 ? ? 1 0F xF e ? ? ? ? ,即? ? 2 11 0f xfx e xe ? ? ? ? 将 1 x代 入 ( 2 ) 中 不 等 式 得? 1 2 1 1 fxf e x ? ? ? ? , 又? ? 12 f xf x?, 故 ? 2 2 1 1 fxf e x ? ? ? ? ,又 2 1 x
10、e ?, 2 1 11 e xe ?,? ?f x在 1 , e ? ? ? ? 上递增,故 2 2 1 1 x e x ?, 12 2 1 x x e ? 小结小结:用对称化构造的方法解决极值点偏移问题大致分为以下三步: Step 1 求导, 获得? ?f x的单调性, 极值情况, 作出? ?f x的图象, 由? ? 12 f xf x? 得 1 x, 2 x的取值范围(数形结合) ; Step 2 构造辅助函数(对结论? ? 1 20 2x xx? ?,构造? ? ? 0 2F xf xfxx?;对 结论? ? 2 1 20 x xx? ?,构造? ? ? 2 0 x F xf xf x ? ? ? ? ) ,求导,限定范围( 1 x或 2 x的范围) , 判定符号,获得不等式; Step 3 代入 1 x(或 2 x) ,利用? ? 12 f xf x?及? ?f x的单调性证明最终结论 练习练习 1 已知函数? ?lnf xx?和? ?g xax?,若存在两个实数 1 x, 2 x且 12 xx?,满足 . ? ? ? 11 f xg x?,? 22 f xg x?,求证: (1) 12 2xxe?; (2) 2 1 2 x xe?