1、. 极值点偏移问题极值点偏移问题探究探究 一、探究（一） ：一、探究（一） ： 问题问题 1： ( )() x f xxexR ? ? （1）求( )f x单调区间、极值； （2）( )yg x?图像与( )yf x?图像关于直线1x ?对称，证明：当1x ?时，( )( )f xg x? （3） 12 xx?， 12 ( )()f xf x?，证明： 12 2xx? . 分析：( )yg x?图像与( )yf x?图像关于直线1x ?对称的? 2 ( )= 2- x g xx e ? （怎么求？怎么求？） ，当1x ?时， ( )( )f xg x?，怎么证？怎么证？ 12221212 (
2、)()()(2),2,2f xf xg xfxxx xx? 总结：与基本策略进行比较，总结利用对称构造函数的一般方法，即可参照法二如下： 问题问题 2： 2 1212 1 ( )ln, 2 f xxxxaxxxxx?有两个不同的极值点 ， ，且 1a（）求 的取值范围； 12 22xxe?（ ）求证： (1)令( )( )ln,h xfxxax?由题意可知, 1212 ( )0(0,),h xx xxx?在上有两个不同根且 11 ( )0( )0,( )(0,), ax h xaah xyh x xx ? ?当时，在上单增，不合题意 当 111 0( )0( )(0,),(,),ah xxyh
3、 x aaa ?时，令在上单增单减 . max 11 0, ( ), ( ),( )( )ln100, 1 (0, ). xh xxh xh xhaa ae a e ? ? ? ? ? ? ? ? 时时 的取值范围为 （2）思路一：转化为：( )lnh xxax?两个零点为 12 xx， 12 2xxe?求证： 问：按照问题 1 思路，有什么问题？ 思路二：构造函数： 11 ( )()()H xhxhx aa ?， ( ) ?H x ?，( )0,H x ? 11 ()()hxhx aa ?、不妨设： 121 121 1,xxx aaa ?， 21111 11112 ()()h xh xhxh
4、xhx aaaaa ? ? ? ? ( )h x在 1 , a ? ? ? ? 单调递减， 21 2 xx a ?， 21 2 +xx a ?， 1 0a e ?， 2 2e a ?， 21 2 +2xxe a ? 自主探究：自主探究： （1）也可以转化为 ln x a x ?，函数ya?与 ln ( ) x f x x ?交点问题，试着解决？ 二二、探究（、探究（二二） ：） ： 问题问题 3：( )lnh xxax?两个零点为 12 xx， 2 1 2 x xe?求证： 法一：试着利用对称构造函数解决； . 自主探究自主探究一一：试着利用换元法解决问题 2 第（2）问 2 1212 222
5、xxx xee? 自主探究自主探究二二：试着利用换元法解决问题 1 第（2）问； 自主探究自主探究三三：试着利用换元法解决问题 2 第（2）问； 分析：由题意及（I）可知，即证 12 2 ,xx a ? 11 2121 2121 222121 21 2121 21 221 21 121 ln lnln2() (0), lnlnln 2() lnln(0) 2() ln0,(0) xax xxxx axxxx xaxxxxx xx xxxx xx xxx xx xxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即证 即证 即证 ? ? 2 1 2(1) ,ln0,1 * 1 xt ttt
6、xt ? ? ? 令即证： 2 22 2(1)14(1) ( )ln(1),( )0, 1(1)(1) 2(1)2(1) ( )ln(1,)( )(1)0,ln0(1), 11 tt h ttth t tttt t tt h tth thtt tt ? ? ? ? ? ? 设则 在上单增 ? ?*从而说明原不等式成立. 自主探究：自主探究：另解一：另解一： . 在? 1 0x，为减函数，在? 12 ,x x为增函数，在? 2, x ?为减函数， 在 1 x处取得极小值，在 2 x处取得极大值， 则 12 ( )()f xf x? 极小值极大值 即 22 11112222 11 lnln 22 xxxaxxxxax? 得： 12 2 xx a ? 三三、探究（、探究（三三） ：） ： 1、对数平均不等式的基本内容如下： 0 ,0 , l nl n2 abab ababa b ab ? ? ? 自主探究自主探究（一）（一） ：试着利用对数平均不等式解决问题 2 第（2）问； 11 22 ln0 ln0 xax xax ? ? ? ? 得：? 2121 lnlnxxa xx? 得： 2121 21 +1 lnln2 xxxx xxa ? ? ? 自主探究自主探究（二）（二） ：试着利用对数平均不等式解决问题 1 第（3）问；提示：两边取对数
