空间几何体外接球和内切球-大而全.docx

1、1 空间几何体外接球和内切球 一、 空间几何外接球和内切球知识框架 二、求外接球半径常用方法 【一】高过外心【一】高过外心 1.1.例题例题 【例【例 1 1】 已知正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上，2PAAB， 则球O的表面积为 （ ） A2 B4 C8 D16 【答案】C 【解析】正四棱锥 PABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，PAAB2， 连结 AC，BD，交于点 O，连结 PO， 则 PO面 ABCD，OAOBOCOD 22 11 222 22 AC， OP 22 422PBOB ，O 是球心，球 O 的半径 r 2 ， 空间几何体（以空间几何体（以为例）的高过底面的

2、外心（即顶点的投影在底面外心上） ：为例）的高过底面的外心（即顶点的投影在底面外心上） ： （1）先求底面的外接圆半径，确定底面外接圆圆心位置; （2）把垂直上移到点， 使得点到顶点的距离等于到的距离相等， 此时点 是几何体外接球球心； （3）连接，那么, 由勾股定理得：. 1 球 O 的表面积为 S4r28故选：C 2.2.巩固提升综合练习巩固提升综合练习 【练习【练习 1 1】在三棱锥PABC中.2PAPBPC.1ABAC， 3BC ，则该三棱锥的外接球 的表面积为（ ） A8 B16 3 C 4 3 D 32 3 27 【答案】B 【解析】因为1,3ABACBC，由余弦定理可求得 2 3

3、 BAC ， 再由正弦定理可求得ABC的外接圆的半径 1 2 2sin 3 BC r ， 因为2PAPBPC，所以 P 在底面上的射影为ABC的外心 D，且3PD ， 设其外接球的半径为R，则有 222 1( 3)RR，解得 2 3 3 R ， 所以其表面积为 2 416 44 33 SR ，故选 B. 【二】高不过外心【二】高不过外心 1.1.例题例题 【例【例 1 1】 （1）长方体 1111的 8 个顶点在同一个球面上，且 = 2， = 3，1= 1，则 高不过心高不过心顶点的投影不在底面外心上，以侧棱垂直于底面为例：顶点的投影不在底面外心上，以侧棱垂直于底面为例： 题设：已知四棱锥，

4、（1）先求底面的外接圆半径，确定底面外接圆圆心位置; （2）把垂直上移到点，使得，此时点是几何体外接球球心； （3）连接，那么, 由勾股定理得：. 1 球的表面积为_ （2）已知正三棱柱 111 ABCABC的底面边长为 3，外接球表面积为16，则正三棱柱 111 ABCABC的 体积为（ ） A. 3 3 4 B. 3 3 2 C. 9 3 4 D. 9 3 2 （3）已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，/ /ADBC， 2ABDCAD，4BCPA，PA 面ABCD，则球O的体积为（ ） A 64 2 3 B16 2 3 C16 2 D16 【答案】 （1）8

5、 （2）D （3）A 【解析】 （1）因为长方体 1111的 8 个顶点在同一个球面上， 所以球的直径等于长方体的对角线长， 设球的半径为，因为 = 2， = 3，1= 1， 所以42= 22+ 32+ 12= 8，球的表面积为42= 8，故答案8. （2）正三棱柱 111 ABCABC的底面边长为 3,故底面的外接圆的半径为： 0 3 ,23. sin60 rrr外接 球表面积为16 2 42RR 外接球的球心在上下两个底面的外心 MN 的连线的中点上，记为 O 点，如图所示 在三角形 1 OMB中， 222 1111 3,2MBrOBRMBOMOB 解得1,2OMMNh 故棱柱的体积为：

6、139 3 323. 222 VSh 故答案为：D. （3）取BC中点E，连接,AE DE BD 1 /ADBC且 1 2 ADBCEC 四边形ADCE为平行四边形 AEDC，又 1 2 DCBC 1 2 DEBC AEDEBEEC E为四边形ABCD的外接圆圆心 设O为外接球的球心，由球的性质可知OE 平面ABCD 作OFPA，垂足为F 四边形AEOF为矩形，2OFAE 设AFx，OPOAR 则 2 2 444xx，解得：2x 442 2R 球O的体积： 3 464 2 33 VR本题正确选项：A 三、常见空间几何体外接球 【一】长（正）方体外接球【一】长（正）方体外接球 1.1.例题例题

7、【例【例 1 1】 若一个长、 宽、 高分别为 4， 3， 2 的长方体的每个顶点都在球O的表面上， 则此球的表面积为_ 【解析】长方体外接球半径： 2 29 2 432 222 R，所以外接球面积：294 2 RS 【例【例2 2】 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上， 若这个正方体的表面积为18， 则这个球的体积为_ 【解析】设正方体棱长为a，则186 2 a，3a. 1、长方体或正方体的外接球的球心：体对角线的中点； 2、正方体的外接球半径：（为正方体棱长） ； 3、长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径： 1 设球的半径为R，则由题意知 2 3 2 3 aR.故球的体积 2

8、9 3 4 3 RV. 【二】【二】棱柱的外接球棱柱的外接球 1.例题例题 【例【例 1 1】直三棱柱 111中，已知 ， = 3， = 4，1= 5，若三棱柱的所有顶点都 在同一球面上，则该球的表面积为_ 【解析】 ， = 3， = 4，所以5b底面外接圆的半径： 2 5 sin2 1 B b r， 111 CBAABC 是直三棱柱，5h， 所以几何体外接球半径 2 25 ) 2 ( 22 h rR； 故该球的表面积为:504 2 RS 【例【例 2】直三棱柱 111 CBAABC 的所有棱长均为23，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ） A12 B16 C28 D36 【解析】由直三棱柱的底

9、面边长为23，得底面外接圆的半径：2 3 sin 32 2 1 r， 又由直三棱柱的侧棱长为23，则32h，所以外接球半径7) 2 ( 22 h rR， 外接球的表面积284 2 RS故选：C 直棱柱外接球的求法汉堡模型 1. 补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同 2. 作图：构造直角三角形，利用勾股定理 1）第一步：求底面外接圆的半径：（为角的对边） ； 2）第二步：由勾股定理得外接球半径：（为直棱柱侧棱高度） 1 【三】【三】 棱锥的外接棱锥的外接 类型一：正棱锥型类型一：正棱锥型 （如下图 1，以正三棱锥为例，顶点的投影落在的外心上） 1) 求底面外接圆半径

10、：（为角的对边） ； 2) 求出，求出棱锥高度 ; 3) 由勾股定理得外接球半径:. 图 1 图 2 1 类型二：侧棱垂直底面型类型二：侧棱垂直底面型 （如上图 2） 1）求底面外接圆半径：（为角的对边） ； 2）棱锥高度; 3）由勾股定理得外接球半径:. 类型三：类型三：侧面垂直于底面侧面垂直于底面-切瓜模型切瓜模型 1 1.1.例题例题 【例【例 1 1】已知正四棱锥PABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的 体积为 2，则此球的体积为 （ ） A. 124 3 B. 625 81 C. 500 81 D. 256 9 【解析】如图所示，设底面正方形ABCD的中

11、心为 O ，正四棱锥PABCD的外接球的球心为O 底面正方形的边长为2 1OD 正四棱锥的体积为2 2 1 22 3 P ABCD VPO ，解得3PO 类型四：棱长即为直径（类型四：棱长即为直径（两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径） 题设：,且 则外接球半径： 类型五：折叠模型类型五：折叠模型 1 3OOPOPOR 在DOORt中，由勾股定理可得： 222 OOO DOD 即 2 22 31RR，解得 5 3 R 2 3 445500 33381 VR 球 故选C 【例【例 2 2】在三棱锥PABC中， 2AP ， 3 3AB ， PA 面ABC，且在三角形ABC中，有 cos2

12、coscBabC，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 40 B. 20 C. 12 D. 20 3 【解析】设该三棱锥外接球的半径为R. 在三角形ABC中， cos2coscBabC coscos2 coscB bCaC 根据正弦定理可得sin cossin cos2sin cosCBBCAC，即sin2sin cosBCAC. sin0A 1 cos 2 C 0,C 3 C 由正弦定理， 3 3 2 sin 3 r ，得三角形ABC的外接圆的半径为3r .PA 面ABC 222 22PArR 2 10R 该三棱锥外接球的表面积为 2 440SR故选 A. 【例【例 3 3】已知如图所示的

13、三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在平面相互 垂直，3AB，3AC ，2 3BCCDBD，则球O的表面积为( ) A4 B12 C16 D36 1 【解析】 3AB，3AC ，2 3BC ， 222 ABACBC， ACAB， ABC和DBC所在平面相互垂直， 4 3 sin 32 sin 2 BCD BC R ，球O的表面积为 2 416R 故选：C 【例【例 4 4】三棱锥PABC的底面是等腰三角形，120C，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂 直，2AC ，则该三棱锥的外接球表面积为( ) A 12 B 20 C 32 D 100 【解析】 如图， 在等腰三角

14、形ABC中， 由120C，得30ABC， 又2AC ，设G为三角形ABC外接圆的圆心， 则 2 2 sinsin30 AC CG ABC ，2CG 再设CG交AB于D，可得1CD，2 3AB ，则1DG 在等边三角形PAB中， 设其外心为H， 则 2 2 3 BHPHPD 过G作平面ABC的垂线， 过H作平面PAB的垂线， 两垂线相交于O， 则O为该三棱锥的外接球的球心， 则半径4 15ROB 该三棱锥的外接球的表面积为 2 4( 5)20 故选：B 【例【例 5 5】在四面体ABCD中， 2AB ，1DADBCACB，则四面体ABCD的外接球的表面积 为( ) 1 A B2 C3 D4 【答

15、案】B 【解析】由 2AB ，1DADBCACB， 所以 222 CACBAB， 222 ADBDAB 可得90ACBADB ，所以 2 2 OAOBOCOD， 即O为外接球的球心，球的半径 2 2 R 所以四面体ABCD的外接球的表面积为： 2 1 442 2 SR.故选：B 【练习【练习 8 8】如图所示，三棱锥S一ABC中，ABC与SBC都是边长为 1 的正三角形，二面角ABCS的 大小为 2 3 ，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A 7 3 B 13 3 C 4 3 D3 【答案】A 【解析】取线段BC的中点D，连结AD，SD， 由题意得ADBC，SDBC

16、， ADS是二面角ABCS的平面角，ADS 2 3 ， 由题意得BC平面ADS， 1 分别取AD，SD的三等分点E，F， 在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD， 两条直线的交点即球心O， 连结OA，则球O半径R|OA|， 由题意知BD 1 2 ，AD 3 2 ，DE 13 36 AD，AE 23 33 AD， 连结OD，在 RtODE中， 3 ODE ，OE 3 DE 1 2 ， OA 2OE2+AE2 7 12 ， 球O的表面积为S4R 2 7 3 故选：A 【练习【练习 9 9】四面体SABC中，ACBC，SA平面ABC，6SA，7AC ，3BC ，则该四 面体外接球的表面

17、积为（ ） A 32 3 B 16 3 C16 D32 【答案】C 【解析】如图所示： 由已知可得SAB与SBC为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为SB的中点O， 因为7,3ACBC,且ACBC,所以10AB =, 1 所以 22 6 104SBSAAB , 所以四面体SABC的外接球半径2R ,则表面积 2 416SR.故答案选：C 【四】墙角型【四】墙角型 1.1.例题例题 【例【例 2 2】已知四面体的四个面都为直角三角形，且 平面， = = = 2，若该四面体 的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A3 B23 C43 D12 【解析】 = = 2且为直角三角形 又 平面

18、， 平面 平面 由此可将四面体放入边长为2的正方体中，如下图所示： 正方体的外接球即为该四面体的外接球 正方体外接球半径为体对角线的一半，即 = 1 2 22+ 22+ 22= 3 球的表面积： = 42= 12本题正确选项： 题设：墙角型（三条线两两垂直） 方法：找到 3 条两两互相垂直的线段 途径 1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造 正方体 途径 2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正 方体 1 四、空间几何内切球 1.1.例题例题 【例【例 1 1】正三棱锥的高为 1，底面边长为62，正三棱锥

19、内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体 积 【答案】)625(8)26(44 22 RS球， 33 )26( 3 4 3 4 RV球 1 RR36 3 1 323 3 1 136 3 1 得：26 332 32 R， )625(8)26(44 22 RS球 33 )26( 3 4 3 4 RV球 【例【例 2 2】若三棱锥ABCD中，6ABCD，其余各棱长均为 5 ，则三棱锥内切球的表面积为 【答案】 63 16 【解析】由题意可知三棱锥的四个面全等， 且每一个面的面积均为 1 6412 2 设三棱锥的内切球的半径为r，则三棱锥的体积 1 416 3 ABC VSrr ， 取CD的中点O，连

20、接AO，BO，则CD平面AOB， 4AOBO， 1 673 7 2 AOB S ， 1 223 736 7 3 A BCDC AOB VV ， 166 7r，解得 3 7 8 r 内切球的表面积为 2 63 4 16 Sr 故答案为： 63 16 1 五、球与几何体各棱相切 1.1.例题例题 【例【例 1 1】已知一个全面积为 24 的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的半径为 【解析】对于球与正方体的各棱相切，则球的直径为正方体的面对角线长， 即2222 22 R, 9已知在三棱锥PABC中，1PAPBBC， 2AB ，ABBC，平面PAB 平面ABC， 若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A 3 2 B 2 3 C2 D3 【答案】D 【解析】根据题意, 21ABPBPA， ，PAB是直角三角形 又平面PAB 平面ABC，所以，三棱锥P ABC 外接球半径等于 ABC 的外接圆半径 ABBC , 21ABBC， ,32ACR 球的表面积为 2 43R故选 D。 球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然 后通过构造直角三角形进行转换和求解