空间几何体外接球和内切球-大而全.docx

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1、1 空间几何体外接球和内切球 一、 空间几何外接球和内切球知识框架 二、求外接球半径常用方法 【一】高过外心【一】高过外心 1.1.例题例题 【例【例 1 1】 已知正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上,2PAAB, 则球O的表面积为 ( ) A2 B4 C8 D16 【答案】C 【解析】正四棱锥 PABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上,PAAB2, 连结 AC,BD,交于点 O,连结 PO, 则 PO面 ABCD,OAOBOCOD 22 11 222 22 AC, OP 22 422PBOB ,O 是球心,球 O 的半径 r 2 , 空间几何体(以空间几何体(以为例)的高过底面的

2、外心(即顶点的投影在底面外心上) :为例)的高过底面的外心(即顶点的投影在底面外心上) : (1)先求底面的外接圆半径,确定底面外接圆圆心位置; (2)把垂直上移到点, 使得点到顶点的距离等于到的距离相等, 此时点 是几何体外接球球心; (3)连接,那么, 由勾股定理得:. 1 球 O 的表面积为 S4r28故选:C 2.2.巩固提升综合练习巩固提升综合练习 【练习【练习 1 1】在三棱锥PABC中.2PAPBPC.1ABAC, 3BC ,则该三棱锥的外接球 的表面积为( ) A8 B16 3 C 4 3 D 32 3 27 【答案】B 【解析】因为1,3ABACBC,由余弦定理可求得 2 3

3、 BAC , 再由正弦定理可求得ABC的外接圆的半径 1 2 2sin 3 BC r , 因为2PAPBPC,所以 P 在底面上的射影为ABC的外心 D,且3PD , 设其外接球的半径为R,则有 222 1( 3)RR,解得 2 3 3 R , 所以其表面积为 2 416 44 33 SR ,故选 B. 【二】高不过外心【二】高不过外心 1.1.例题例题 【例【例 1 1】 (1)长方体 1111的 8 个顶点在同一个球面上,且 = 2, = 3,1= 1,则 高不过心高不过心顶点的投影不在底面外心上,以侧棱垂直于底面为例:顶点的投影不在底面外心上,以侧棱垂直于底面为例: 题设:已知四棱锥,

4、(1)先求底面的外接圆半径,确定底面外接圆圆心位置; (2)把垂直上移到点,使得,此时点是几何体外接球球心; (3)连接,那么, 由勾股定理得:. 1 球的表面积为_ (2)已知正三棱柱 111 ABCABC的底面边长为 3,外接球表面积为16,则正三棱柱 111 ABCABC的 体积为( ) A. 3 3 4 B. 3 3 2 C. 9 3 4 D. 9 3 2 (3)已知P,A,B,C,D是球O的球面上的五个点,四边形ABCD为梯形,/ /ADBC, 2ABDCAD,4BCPA,PA 面ABCD,则球O的体积为( ) A 64 2 3 B16 2 3 C16 2 D16 【答案】 (1)8

5、 (2)D (3)A 【解析】 (1)因为长方体 1111的 8 个顶点在同一个球面上, 所以球的直径等于长方体的对角线长, 设球的半径为,因为 = 2, = 3,1= 1, 所以42= 22+ 32+ 12= 8,球的表面积为42= 8,故答案8. (2)正三棱柱 111 ABCABC的底面边长为 3,故底面的外接圆的半径为: 0 3 ,23. sin60 rrr外接 球表面积为16 2 42RR 外接球的球心在上下两个底面的外心 MN 的连线的中点上,记为 O 点,如图所示 在三角形 1 OMB中, 222 1111 3,2MBrOBRMBOMOB 解得1,2OMMNh 故棱柱的体积为:

6、139 3 323. 222 VSh 故答案为:D. (3)取BC中点E,连接,AE DE BD 1 /ADBC且 1 2 ADBCEC 四边形ADCE为平行四边形 AEDC,又 1 2 DCBC 1 2 DEBC AEDEBEEC E为四边形ABCD的外接圆圆心 设O为外接球的球心,由球的性质可知OE 平面ABCD 作OFPA,垂足为F 四边形AEOF为矩形,2OFAE 设AFx,OPOAR 则 2 2 444xx,解得:2x 442 2R 球O的体积: 3 464 2 33 VR本题正确选项:A 三、常见空间几何体外接球 【一】长(正)方体外接球【一】长(正)方体外接球 1.1.例题例题

7、【例【例 1 1】 若一个长、 宽、 高分别为 4, 3, 2 的长方体的每个顶点都在球O的表面上, 则此球的表面积为_ 【解析】长方体外接球半径: 2 29 2 432 222 R,所以外接球面积:294 2 RS 【例【例2 2】 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上, 若这个正方体的表面积为18, 则这个球的体积为_ 【解析】设正方体棱长为a,则186 2 a,3a. 1、长方体或正方体的外接球的球心:体对角线的中点; 2、正方体的外接球半径:(为正方体棱长) ; 3、长方体的同一顶点的三条棱长分别为,外接球的半径: 1 设球的半径为R,则由题意知 2 3 2 3 aR.故球的体积 2

8、9 3 4 3 RV. 【二】【二】棱柱的外接球棱柱的外接球 1.例题例题 【例【例 1 1】直三棱柱 111中,已知 , = 3, = 4,1= 5,若三棱柱的所有顶点都 在同一球面上,则该球的表面积为_ 【解析】 , = 3, = 4,所以5b底面外接圆的半径: 2 5 sin2 1 B b r, 111 CBAABC 是直三棱柱,5h, 所以几何体外接球半径 2 25 ) 2 ( 22 h rR; 故该球的表面积为:504 2 RS 【例【例 2】直三棱柱 111 CBAABC 的所有棱长均为23,则此三棱柱的外接球的表面积为( ) A12 B16 C28 D36 【解析】由直三棱柱的底

9、面边长为23,得底面外接圆的半径:2 3 sin 32 2 1 r, 又由直三棱柱的侧棱长为23,则32h,所以外接球半径7) 2 ( 22 h rR, 外接球的表面积284 2 RS故选:C 直棱柱外接球的求法汉堡模型 1. 补型:补成长方体,若各个顶点在长方体的顶点上,则外接球与长方体相同 2. 作图:构造直角三角形,利用勾股定理 1)第一步:求底面外接圆的半径:(为角的对边) ; 2)第二步:由勾股定理得外接球半径:(为直棱柱侧棱高度) 1 【三】【三】 棱锥的外接棱锥的外接 类型一:正棱锥型类型一:正棱锥型 (如下图 1,以正三棱锥为例,顶点的投影落在的外心上) 1) 求底面外接圆半径

10、:(为角的对边) ; 2) 求出,求出棱锥高度 ; 3) 由勾股定理得外接球半径:. 图 1 图 2 1 类型二:侧棱垂直底面型类型二:侧棱垂直底面型 (如上图 2) 1)求底面外接圆半径:(为角的对边) ; 2)棱锥高度; 3)由勾股定理得外接球半径:. 类型三:类型三:侧面垂直于底面侧面垂直于底面-切瓜模型切瓜模型 1 1.1.例题例题 【例【例 1 1】已知正四棱锥PABCD的各顶点都在同一球面上,底面正方形的边长为2,若该正四棱锥的 体积为 2,则此球的体积为 ( ) A. 124 3 B. 625 81 C. 500 81 D. 256 9 【解析】如图所示,设底面正方形ABCD的中

11、心为 O ,正四棱锥PABCD的外接球的球心为O 底面正方形的边长为2 1OD 正四棱锥的体积为2 2 1 22 3 P ABCD VPO ,解得3PO 类型四:棱长即为直径(类型四:棱长即为直径(两个直角三角形的斜边为同一边,则该边为球的直径) 题设:,且 则外接球半径: 类型五:折叠模型类型五:折叠模型 1 3OOPOPOR 在DOORt中,由勾股定理可得: 222 OOO DOD 即 2 22 31RR,解得 5 3 R 2 3 445500 33381 VR 球 故选C 【例【例 2 2】在三棱锥PABC中, 2AP , 3 3AB , PA 面ABC,且在三角形ABC中,有 cos2

12、coscBabC,则该三棱锥外接球的表面积为( ) A. 40 B. 20 C. 12 D. 20 3 【解析】设该三棱锥外接球的半径为R. 在三角形ABC中, cos2coscBabC coscos2 coscB bCaC 根据正弦定理可得sin cossin cos2sin cosCBBCAC,即sin2sin cosBCAC. sin0A 1 cos 2 C 0,C 3 C 由正弦定理, 3 3 2 sin 3 r ,得三角形ABC的外接圆的半径为3r .PA 面ABC 222 22PArR 2 10R 该三棱锥外接球的表面积为 2 440SR故选 A. 【例【例 3 3】已知如图所示的

13、三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上,ABC和DBC所在平面相互 垂直,3AB,3AC ,2 3BCCDBD,则球O的表面积为( ) A4 B12 C16 D36 1 【解析】 3AB,3AC ,2 3BC , 222 ABACBC, ACAB, ABC和DBC所在平面相互垂直, 4 3 sin 32 sin 2 BCD BC R ,球O的表面积为 2 416R 故选:C 【例【例 4 4】三棱锥PABC的底面是等腰三角形,120C,侧面PAB是等边三角形且与底面ABC垂 直,2AC ,则该三棱锥的外接球表面积为( ) A 12 B 20 C 32 D 100 【解析】 如图, 在等腰三角

14、形ABC中, 由120C,得30ABC, 又2AC ,设G为三角形ABC外接圆的圆心, 则 2 2 sinsin30 AC CG ABC ,2CG 再设CG交AB于D,可得1CD,2 3AB ,则1DG 在等边三角形PAB中, 设其外心为H, 则 2 2 3 BHPHPD 过G作平面ABC的垂线, 过H作平面PAB的垂线, 两垂线相交于O, 则O为该三棱锥的外接球的球心, 则半径4 15ROB 该三棱锥的外接球的表面积为 2 4( 5)20 故选:B 【例【例 5 5】在四面体ABCD中, 2AB ,1DADBCACB,则四面体ABCD的外接球的表面积 为( ) 1 A B2 C3 D4 【答

15、案】B 【解析】由 2AB ,1DADBCACB, 所以 222 CACBAB, 222 ADBDAB 可得90ACBADB ,所以 2 2 OAOBOCOD, 即O为外接球的球心,球的半径 2 2 R 所以四面体ABCD的外接球的表面积为: 2 1 442 2 SR.故选:B 【练习【练习 8 8】如图所示,三棱锥S一ABC中,ABC与SBC都是边长为 1 的正三角形,二面角ABCS的 大小为 2 3 ,若S,A,B,C四点都在球O的表面上,则球O的表面积为( ) A 7 3 B 13 3 C 4 3 D3 【答案】A 【解析】取线段BC的中点D,连结AD,SD, 由题意得ADBC,SDBC

16、, ADS是二面角ABCS的平面角,ADS 2 3 , 由题意得BC平面ADS, 1 分别取AD,SD的三等分点E,F, 在平面ADS内,过点E,F分别作直线垂直于AD,SD, 两条直线的交点即球心O, 连结OA,则球O半径R|OA|, 由题意知BD 1 2 ,AD 3 2 ,DE 13 36 AD,AE 23 33 AD, 连结OD,在 RtODE中, 3 ODE ,OE 3 DE 1 2 , OA 2OE2+AE2 7 12 , 球O的表面积为S4R 2 7 3 故选:A 【练习【练习 9 9】四面体SABC中,ACBC,SA平面ABC,6SA,7AC ,3BC ,则该四 面体外接球的表面

17、积为( ) A 32 3 B 16 3 C16 D32 【答案】C 【解析】如图所示: 由已知可得SAB与SBC为直角三角形,所以该几何体的外接球球心为SB的中点O, 因为7,3ACBC,且ACBC,所以10AB =, 1 所以 22 6 104SBSAAB , 所以四面体SABC的外接球半径2R ,则表面积 2 416SR.故答案选:C 【四】墙角型【四】墙角型 1.1.例题例题 【例【例 2 2】已知四面体的四个面都为直角三角形,且 平面, = = = 2,若该四面体 的四个顶点都在球的表面上,则球的表面积为( ) A3 B23 C43 D12 【解析】 = = 2且为直角三角形 又 平面

18、, 平面 平面 由此可将四面体放入边长为2的正方体中,如下图所示: 正方体的外接球即为该四面体的外接球 正方体外接球半径为体对角线的一半,即 = 1 2 22+ 22+ 22= 3 球的表面积: = 42= 12本题正确选项: 题设:墙角型(三条线两两垂直) 方法:找到 3 条两两互相垂直的线段 途径 1:正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造 正方体 途径 2:同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正 方体 1 四、空间几何内切球 1.1.例题例题 【例【例 1 1】正三棱锥的高为 1,底面边长为62,正三棱锥

19、内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体 积 【答案】)625(8)26(44 22 RS球, 33 )26( 3 4 3 4 RV球 1 RR36 3 1 323 3 1 136 3 1 得:26 332 32 R, )625(8)26(44 22 RS球 33 )26( 3 4 3 4 RV球 【例【例 2 2】若三棱锥ABCD中,6ABCD,其余各棱长均为 5 ,则三棱锥内切球的表面积为 【答案】 63 16 【解析】由题意可知三棱锥的四个面全等, 且每一个面的面积均为 1 6412 2 设三棱锥的内切球的半径为r,则三棱锥的体积 1 416 3 ABC VSrr , 取CD的中点O,连

20、接AO,BO,则CD平面AOB, 4AOBO, 1 673 7 2 AOB S , 1 223 736 7 3 A BCDC AOB VV , 166 7r,解得 3 7 8 r 内切球的表面积为 2 63 4 16 Sr 故答案为: 63 16 1 五、球与几何体各棱相切 1.1.例题例题 【例【例 1 1】已知一个全面积为 24 的正方体,有一个与每条棱都相切的球,此球的半径为 【解析】对于球与正方体的各棱相切,则球的直径为正方体的面对角线长, 即2222 22 R, 9已知在三棱锥PABC中,1PAPBBC, 2AB ,ABBC,平面PAB 平面ABC, 若三棱锥的顶点在同一个球面上,则该球的表面积为( ) A 3 2 B 2 3 C2 D3 【答案】D 【解析】根据题意, 21ABPBPA, ,PAB是直角三角形 又平面PAB 平面ABC,所以,三棱锥P ABC 外接球半径等于 ABC 的外接圆半径 ABBC , 21ABBC, ,32ACR 球的表面积为 2 43R故选 D。 球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,达到明确球心的位置为目的,然 后通过构造直角三角形进行转换和求解

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