2020-2021学年广东省清远市高三（上）期中数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 16 页） 2020-2021 学年广东省清远市高三（上）期中数学试卷学年广东省清远市高三（上）期中数学试卷 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的多个选项中，分。在每小题给出的多个选项中， 只有一是正确的。只有一是正确的。 1 （5 分）已知集合 |2Mx x， 2 |380Nxxx，则()( RM N ) A 8 |2 3 xx B |2x x C 8 |0 3 xx D |02xx 2 （5 分）已知复数 1 1zi ， 12 12z zi ，则 2 (z ) A1i Bi C12i D

2、 31 22 i 3 （5 分）若 3 sin 5 ，是第三象限角，则 1tan 2 ( 1tan 2 ) A2 B2 C 8 3 D 8 3 4 （5 分） 已知命题:p，为任意角， 若sinsin， 则； 命题q： 函数( )sinf xx 是周期函数，下列命题为真命题的是( ) Apq B()pq C()pq D()()pq 5 （5 分）某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是 bt Nae，其中a，b都是正 常数， 则该种放射性元素的原子数由a个减少到 2 a 个时所经历的时间为 1 t， 由 2 a 个减少到 4 a 个时所经历的时间为 2 t，则 1 2 ( t t ) A2

3、 B1 C2ln De 6 （5 分）菱形ABCD中， 3 BAD ，E为CD的中点，| 2BD ，则AE AB的值为( ) A1 B2 C4 D8 7 （5 分）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若60A ，2b ， 则 22222 (sinsin)4sin4(sinsin)AB cABC，则(a ) A4 B1 C2 D3 8 （5 分）已知定义在R上的函数( )f x满足( )1fx ，则不等式(2 )1(1)fxxf x 的 解集为( ) A(, 1) B( 1,) C(,1) D(1,) 第 2 页（共 16 页） 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共

4、4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在毎小题绐出的四个选项中，分。在毎小题绐出的四个选项中， 有多项符合要求，全部选对的得有多项符合要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）如图是函数( )yf x的导函数的图象，下列结论中正确的是( ) A( )f x在 2，1上是增函数 B当3x 时，( )f x取得最小值 C当1x 时，( )f x取得极小值 D( )f x在 1，2上是增函数，在2，4 上是减函数 10 （5 分）若“ma”是“函数 11 ( )( ) 23 x f xm的图象不过第

5、三象限“的必要不充分 条件，则实数a的取值可以是( ) A0 B1 C2 D3 11 （5 分）已知函数( )4sin(2)1 4 f xx ，则下列结论正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 B函数( )f x在 8 ， 3 8 上单调递增 C将函数( )f x图象的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移 6 个单位后关于y轴对称 D函数( )f x在 4 ， 8 上的最小值为2 21 12 （5 分）已知首项为 1 的数列 n a的前n项和为 n S，当n为偶数时， 1 1 nn aa ；当n为 奇数且1n 时， 1 21 nn aa 若4000 m S，则m的值可以是( ) A17 B

6、18 C19 D20 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）若a，b满足| 4| 0ab，cosa， 1 3 b ，(23 )4aab，则|b 14 （5 分）若数列 n a满足 1 1a ， 1 1 62n nn aa ，则数列 n a的通项公式 n a 15 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且( )(4)f xfx；当0 x，1)时， 第 3 页（共 16 页） ( )21 x f x ，则 1 2 (log 21)f的值为 16 （5 分）函数 2 (1) ,0 ( ) ,0 x xx

7、 f x ex ，若存在a，b，()c abc，使得f（a）f（b） f（c） ，则 (1)bc ab 的最小值是 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 题，共题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 34 n Snn （1）求数列 n a的通项公式； （2）若2n nn ba，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）已知 1 2 ( ) 22 x x b f x 是定义在R上的奇函数 （1）求b的值； （2）若 2 (1)(1)0fafa，求实数a

8、的取值范围 19 （12 分）已知平面内三个向量：(1,2)a ，(3,1)b ，( 4,3)c （1）若cmanb，求m，n的值； （2）若| 1d ，且()0d ab，求d； （3）若()/ /()dcba，且| 2 5dc，求d 20（12 分） 已知函数( )2sin()(0f xxA，0，|) 2 的图象过点(0, 1)B， 又( )f x 的图象向左平移个单位之后与原图象重合，且在( 3 ， 3 ) 4 上单调 （1）求( )f x的解析式； （2）当 1 x， 2 2 ( 3 x ，) 3 且 12 xx时，若有 12 ()()f xf x，求 12 ()f xx 21 （12

9、分） 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且 sinsin sinsin BCa ACbc （1）求tan B； （2）若ABC是锐角三角形，且ABC的面积为2 3，求边c的取值范围 22 （12 分）已知函数( )2()f xlnxa xa （1）讨论( )f x的单调性； （2）若 1 x， 212 ()xxx是 2 ( )( )g xf xxax的两个极值点，证明： 21 ()g xx 第 4 页（共 16 页） 第 5 页（共 16 页） 2020-2021 学年广东省清远市高三（上）期学年广东省清远市高三（上）期中数学试卷中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解

10、析 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的多个选项中，分。在每小题给出的多个选项中， 只有一是正确的。只有一是正确的。 1 （5 分）已知集合 |2Mx x， 2 |380Nxxx，则()( RM N ) A 8 |2 3 xx B |2x x C 8 |0 3 xx D |02xx 【解答】解：集合 |2Mx x， 2 8 |380 |0 3 Nxxxxx， |2 RM x x， () |02 RM Nxx ， 故选：D 2 （5 分）已知复数 1 1zi ， 12 12z zi ，则 2 (z ) A1i

11、Bi C12i D 31 22 i 【解答】解： 1 1zi ， 12 12z zi ， 2 12(12 )(1)31 1(1)(1)22 iii zi iii ， 故选：D 3 （5 分）若 3 sin 5 ，是第三象限角，则 1tan 2 ( 1tan 2 ) A2 B2 C 8 3 D 8 3 【解答】解： 3 sin 5 ，是第三象限角， 2 4 cos1sin 5 ， 则 2 22 3 11tancossin(cossin) 1sin 522222 2 4 cos 1tancossincossin 222225 ， 故选：A 4 （5 分） 已知命题:p，为任意角， 若sinsin，

12、 则； 命题q： 函数( )sinf xx 是周期函数，下列命题为真命题的是( ) Apq B()pq C()pq D()()pq 第 6 页（共 16 页） 【解答】解：命题:p，为任意角，若sinsin，则2k或2k； kZ，所以p是假命题；所以p是真命题； 命题q：函数( )sinf xx是周期函数，正确； 可得()pq是真命题， 故选：C 5 （5 分）某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是 bt Nae，其中a，b都是正 常数， 则该种放射性元素的原子数由a个减少到 2 a 个时所经历的时间为 1 t， 由 2 a 个减少到 4 a 个时所经历的时间为 2 t，则 1 2 (

13、t t ) A2 B1 C2ln De 【解答】解：由N随t的变化规律是 bt Nae， 当0t 时Na，若 2 a N ，则 1 2 bt e，所以 1 2 2 btlnln ，解得 2ln t b ； 若 4 a N ，则 1 4 bt e，所以 1 22 4 btlnln ，解得 22ln t b ； 所以 1 2ln t b ， 2 2222lnlnln t bbb ， 所以 1 2 1 t t 故选：B 6 （5 分）菱形ABCD中， 3 BAD ，E为CD的中点，| 2BD ，则AE AB的值为( ) A1 B2 C4 D8 【解答】解：如图，在菱形ABCD中，60BAD，| 2B

14、D ， ABD是等边三角形，| | 2ABAD， 又E为CD的中点， 11 22 AEADDCADAB， 1 () 2 AE ABADAB AB 第 7 页（共 16 页） 21 2 AD ABAB 11 224 22 4 故选：C 7 （5 分）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若60A ，2b ， 则 22222 (sinsin)4sin4(sinsin)AB cABC，则(a ) A4 B1 C2 D3 【解答】解：因为： 22222 (sinsin)4sin4(sinsin)AB cABC， 所 以 由 正 弦 定 理 可 得 ： 22222 ()44()ab cab

15、c， 整 理 可 得 ： 22222 ()4()4 2cosab cbcabcA ， 可得： 22 42 cosabbA， 因为：60A ，2b ， 所以： 2 1 4422 2 a ，解得：2a 故选：C 8 （5 分）已知定义在R上的函数( )f x满足( )1fx ，则不等式(2 )1(1)fxxf x 的 解集为( ) A(, 1) B( 1,) C(,1) D(1,) 【解答】解：定义在R上的函数( )f x满足( )1fx ， 令( )( )g xf xx，则( )( )10g xfx ，可得函数( )g x是单调增函数， 又由不等式(2 )1(1)fxxf x ，化为(2 )2(

16、1)(1)fxxf xx， 有(2 )(1)gxg x，可得21xx，即1x ， 故选：B 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在毎小题绐出的四个选项中，分。在毎小题绐出的四个选项中， 有多项符合要求，全部选对的得有多项符合要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）如图是函数( )yf x的导函数的图象，下列结论中正确的是( ) 第 8 页（共 16 页） A( )f x在 2，1上是增函数 B当3x 时，( )f x取得最小值 C当1x 时

17、，( )f x取得极小值 D( )f x在 1，2上是增函数，在2，4 上是减函数 【解答】解：由函数的图象可知，当( 2, 1)x ，(2,4)x时，( )0fx，函数是减函数， 当( 1,2)x ，(4,)x时，( )0fx， 函数是增函数， 所以A错误，D正确； 当1x 时， ( )f x取得极小值，C正确；点3x 时，( )f x取得极小值，所以B错误 故选：CD 10 （5 分）若“ma”是“函数 11 ( )( ) 23 x f xm的图象不过第三象限“的必要不充分 条件，则实数a的取值可以是( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解： 2 (0) 3 fm， 函数( )yf x图

18、象不过第三象限， 2 0 3 m，即 2 3 m， “ma”是“ 2 3 m “的必要不充分条件” ， 2 3 a ，故a可取1，2，3 故选：BCD 11 （5 分）已知函数( )4sin(2)1 4 f xx ，则下列结论正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 B函数( )f x在 8 ， 3 8 上单调递增 C将函数( )f x图象的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移 6 个单位后关于y轴对称 D函数( )f x在 4 ， 8 上的最小值为2 21 第 9 页（共 16 页） 【解答】解：对于函数( )4sin(2)1 4 f xx ， 它的最小正周期为 2 2 ，故A正确； 当

19、8 x ， 3 8 ，2 42 x ， 2 ，( )4sin(2)1 4 f xx 单调递增，故B正确； 将函数( )f x图象的横坐标缩短为原来的一半，可得4sin(4)1 4 yx 的图象， 再向左平移 6 个单位后，可得 25 4sin(4)14sin(4)1 3412 yxx 的图象， 故所得图象不关于y轴对称，故C错误； 当 4 x ， 8 ， 3 2 44 x ，0，( )4sin(2)1 4 f xx 的最小值为415 ，故D 错误， 故选：AB 12 （5 分）已知首项为 1 的数列 n a的前n项和为 n S，当n为偶数时， 1 1 nn aa ；当n为 奇数且1n 时， 1

20、 21 nn aa 若4000 m S，则m的值可以是( ) A17 B18 C19 D20 【解答】解：依题意： 221 1 kk aa ， 212 21 kk aa ， 所以 221 1 kk aa ， 22121 212(1)123 kkk aaa ， 即 2121 32(3) kk aa ，由于 1 34a ， 所以数列 21 3 k a 是以 4 为首项，2 为公比的等比数列 所以 1 21 4 23 k k a ， 故 2 1321 421 3243 21 k k k Saaakk 奇 2 242 242 k k Saaak 偶 ， 所以 3 2 285 k k SSSk 奇偶 ，

21、 故 12 18 28454043S ， 17 3021S， 要使4000 m S的最小整数m的值为 18， 故选：BCD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 第 10 页（共 16 页） 13 （5 分） 若a，b满足| 4| 0ab，cosa， 1 3 b ，(23 )4aab， 则|b 1 3 【解答】解：a，b满足| 4| 0ab，cosa， 1 3 b ，(23 )4aab， 可得 222 1 (23 )232(4|)34| | ()36|4 3 aabaa bbbbb ， 所以 1 | 3 b 故答案为： 1 3

22、 14 （5 分）若数列 n a满足 1 1a ， 1 1 62n nn aa ，则数列 n a的通项公式 n a 11 2 62 nn 【解答】解：数列 n a满足 1 1a ， 1 1 62n nn aa ， 可得 1 1 11 26(2 22 n nn aa ) n ， 1 2 2 n a n 是以 2 为首项，6 为公比的等比数列，所以 1 2 2 n a 1 2 6 nn ， 所以 11 2 62 nn n a 故答案为： 11 2 62 nn 15 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且( )(4)f xfx；当0 x，1)时， ( )21 x f x ，则 1 2

23、 (log 21)f的值为 5 16 【解答】解：根据题意，函数( )f x是定义在R上的偶函数，且( )(4)f xfx， 则()(4)fxfx，变形可得(4)( )f xf x，即函数( )f x是周期为 4 的周期函数， 又由 1 2 5log 214 ，则 1 2 14log 210 ，变形有 2 0log 2141，即 2 21 0log1 16 ， 则有 1122 22 21 (log 21)(4log 21)(log 214)(log) 16 ffff， 又由当0 x，1)时，( )21 x f x ，则 2 21215 (log)1 161616 f ， 故 12 2 215

24、(log 21)(log) 1616 ff， 故答案为： 5 16 16 （5 分）函数 2 (1) ,0 ( ) ,0 x xx f x ex ，若存在a，b，()c abc，使得f（a）f（b） f（c） ，则 (1)bc ab 的最小值是 1 e 第 11 页（共 16 页） 【解答】解：函数( )f x的图象如图所示： 设f（a）f（b）f（c）t，则由图可得21a ，10b ，0c ，且2ab ， 由f（b） 2 (1)bt，得1bt ， 由f（c） c et ，得clnt ， 所以 (1)1 2 bc tlnt ab ，设mt，则01m， 1 2 tlntmlnm， 设( )g m

25、mlnm，则( )1g mlnm ， 令( )0g m，解得 1 1m e ，令( )0g m，解得 1 0m e ， 所以( )g m在 1 (0, ) e 单调递减，在 1 ( ,1) e 单调递增， 所以 11 ( )( )g mg ee ， 故 (1)bc ab 的最小值为 1 e ， 故答案为： 1 e 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 题，共题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 34 n Snn （1）求数列 n a的通项公式； （2）若2n

26、 nn ba，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）数列 n a的前n项和为 n S，且 2 34 n Snn 当1n 时， 11 1aS ， 当2n时， 2 1 3(1)4(1) n Snn ， 得： 1 67 nnn aSSn （首项符合通项） 第 12 页（共 16 页） 故67 n an （2）由（1）得：(67) 2n n bn， 所以 12 ( 1) 25 2(67) 2n n Tn ， 231 2( 1) 25 2(67) 2n n Tn ， 得： 121 6 (222 )(67) 214 nn n Tn ， 整理得 1 (613) 226 n n Tn 18 （

27、12 分）已知 1 2 ( ) 22 x x b f x 是定义在R上的奇函数 （1）求b的值； （2）若 2 (1)(1)0fafa，求实数a的取值范围 【解答】解： （1） 1 2 ( ) 22 x x b f x 是定义在R上的奇函数， 所以()( )fxf x 对xR 恒成立； 所以 11 22 2222 xx xx bb 对xR 恒成立， 所以 11 212 2222 xx xx bb 对xR 恒成立； 所以1b ， 经验证，1b 符合题意 （本题也可以利用 0 (0)210fbb 求出b的值） （2）由（1）知1b ，所以 1 1211 ( ) 22221 x xx f x 任取

28、1 x， 2 xR，且 12 xx， 则 12 1212 12 111122 ( )()()() 222121(12 )(12 ) xx xxxx f xf x ， 因为 12 xx，所以 12 022 xx ， 所以 12 ()()0f xf x，即 12 ()()f xf x， 所以( )f x在R上是单调增函数； 由( )f x为奇函数，且 2 (1)(1)0fafa， 所以 22 (1)(1)(1)fafaf a， 第 13 页（共 16 页） 即 2 11aa，整理得 2 20aa， 解得2a 或1a ， 所以实数a的取值范围是(，2)(1，) 19 （12 分）已知平面内三个向量：

29、(1,2)a ，(3,1)b ，( 4,3)c （1）若cmanb，求m，n的值； （2）若| 1d ，且()0d ab，求d； （3）若()/ /()dcba，且| 2 5dc，求d 【解答】解： （1）(3 ,2)( 4,3)cmanbmnmn ， 34 23 mn mn ，解得 1311 , 55 mn ； （2）(4,3)ab，设( , )dx y，| 1,()0dd ab， 22 1 430 xy xy ，解得 3 5 4 5 x y 或 3 5 4 5 x y ， 3 4 (, ) 5 5 d 或 34 ( ,) 55 ； （3）(2, 1)ba， ()/ /()dcba，(2,

30、1)dc， | 2 5dc， 5 | 2 5，解得2 ， 2(2, 1)(0,1)dc或2(2, 1)( 8,5)dc 20（12 分） 已知函数( )2sin()(0f xxA，0，|) 2 的图象过点(0, 1)B， 又( )f x 的图象向左平移个单位之后与原图象重合，且在( 3 ， 3 ) 4 上单调 （1）求( )f x的解析式； （2）当 1 x， 2 2 ( 3 x ，) 3 且 12 xx时，若有 12 ()()f xf x，求 12 ()f xx 【解答】解： （1）数( )2sin()(0f xxA，0，|) 2 的图象过点(0, 1)B， 第 14 页（共 16 页） 所

31、以 6 ， 又( )f x的图象向左平移个单位之后与原图象重合，所以nT， 整理得 2 n ，所以2n， 且在( 3 ， 3 ) 4 上单调所以 3112 4322 T ， 所以 12 5 ，则2 则( )2sin(2) 6 f xx ， （2）由（1）得：( )2sin(2) 6 f xx ， 令2() 62 xkkZ ，解得() 23 k xkZ ， 当1k 时， 2 (,) 23633 x ， 所以 12 2() 63 xx 故 12 2 ()()2sin()1 336 f xxf 21 （12 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且 sinsin sinsin B

32、Ca ACbc （1）求tan B； （2）若ABC是锐角三角形，且ABC的面积为2 3，求边c的取值范围 【解答】解： （1）因为 sinsin sinsin BCa ACbc ， 所以由正弦定理可得 bca acbc ，整理可得()()()bc bca ac，即 222 acbac， 在ABC中，由余弦定理可得 222 1 cos 222 acbac B acac ， 又0B， 可得 3 B ，可得tan3B （2）因为ABC是锐角三角形， 所以 0 2 0 2 2 0 32 A B CA ， 第 15 页（共 16 页） 可得 62 A ， 因为 113 sinsin2 3 2234 A

33、BC SacBacac ， 所以8ac ， 设ABC的外接圆半径为R，则 2 4sinsin8acRAC， 所以 2 8 4 sinsin R AC ， 所以 2 222 31 sin()cossin sin4 3 322 4sin88884 sinsinsinsinsintan AAA sin CC cRC ACAAAA ， 因为 62 A ， 所以 3 tan 3 A ， 所以 1 03 tan A ， 所以 4 3 4416 tan A ， 所以 2 416c， 所以24c 22 （12 分）已知函数( )2()f xlnxa xa （1）讨论( )f x的单调性； （2）若 1 x，

34、212 ()xxx是 2 ( )( )g xf xxax的两个极值点，证明： 21 ()g xx 【解答】解： （1）( )f x的定义域是(0,)， 22 ( ) ax fxa xx ， 当0a时，( )0fx，( )f x在(0,)递增， 当0a 时，若 2 (0,)x a ，则( )0fx，若 2 (x a ，)，则( )0fx， 故( )f x在 2 (0,) a 递增，在 2 ( a ，)递减； （2）证明： 22 ( )( )2()g xf xxaxlnxxa， 则 2 2(1) ( ) xax g x x ， 由题意可知 1 x， 2 x是方程 2 10 xax 的根，故 12 xxa ， 12 1x x ， 第 16 页（共 16 页） 由 1 0 x ， 2 0 x ， 12 xx，故 12 01xx ， 2 2 1 ax x ， 要证 21 ()g xx，只需证明 2 1 () 1 g x x ， 22 22222222 12 ()1 ()2()2 g x x g xx lnxx xax lnx xx ， 令 1 ( )2(1)h xxlnxx x ，则 2 1 ( )220h xlnx x ， 故( )h x在(1,)递增，故( )h xh（1）1， 故 2 1 ()g x x ，即 21 ()g xx