2020-2021学年广东省清远市高三(上)期中数学试卷.docx

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1、 第 1 页(共 16 页) 2020-2021 学年广东省清远市高三(上)期中数学试卷学年广东省清远市高三(上)期中数学试卷 一、单项选择题:本大题共一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的多个选项中,分。在每小题给出的多个选项中, 只有一是正确的。只有一是正确的。 1 (5 分)已知集合 |2Mx x, 2 |380Nxxx,则()( RM N ) A 8 |2 3 xx B |2x x C 8 |0 3 xx D |02xx 2 (5 分)已知复数 1 1zi , 12 12z zi ,则 2 (z ) A1i Bi C12i D

2、 31 22 i 3 (5 分)若 3 sin 5 ,是第三象限角,则 1tan 2 ( 1tan 2 ) A2 B2 C 8 3 D 8 3 4 (5 分) 已知命题:p,为任意角, 若sinsin, 则; 命题q: 函数( )sinf xx 是周期函数,下列命题为真命题的是( ) Apq B()pq C()pq D()()pq 5 (5 分)某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是 bt Nae,其中a,b都是正 常数, 则该种放射性元素的原子数由a个减少到 2 a 个时所经历的时间为 1 t, 由 2 a 个减少到 4 a 个时所经历的时间为 2 t,则 1 2 ( t t ) A2

3、 B1 C2ln De 6 (5 分)菱形ABCD中, 3 BAD ,E为CD的中点,| 2BD ,则AE AB的值为( ) A1 B2 C4 D8 7 (5 分)已知ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若60A ,2b , 则 22222 (sinsin)4sin4(sinsin)AB cABC,则(a ) A4 B1 C2 D3 8 (5 分)已知定义在R上的函数( )f x满足( )1fx ,则不等式(2 )1(1)fxxf x 的 解集为( ) A(, 1) B( 1,) C(,1) D(1,) 第 2 页(共 16 页) 二、多项选择题:本大题共二、多项选择题:本大题共

4、4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在毎小题绐出的四个选项中,分。在毎小题绐出的四个选项中, 有多项符合要求,全部选对的得有多项符合要求,全部选对的得 5 分,选对但不全的得分,选对但不全的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9 (5 分)如图是函数( )yf x的导函数的图象,下列结论中正确的是( ) A( )f x在 2,1上是增函数 B当3x 时,( )f x取得最小值 C当1x 时,( )f x取得极小值 D( )f x在 1,2上是增函数,在2,4 上是减函数 10 (5 分)若“ma”是“函数 11 ( )( ) 23 x f xm的图象不过第

5、三象限“的必要不充分 条件,则实数a的取值可以是( ) A0 B1 C2 D3 11 (5 分)已知函数( )4sin(2)1 4 f xx ,则下列结论正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 B函数( )f x在 8 , 3 8 上单调递增 C将函数( )f x图象的横坐标缩短为原来的一半,再向左平移 6 个单位后关于y轴对称 D函数( )f x在 4 , 8 上的最小值为2 21 12 (5 分)已知首项为 1 的数列 n a的前n项和为 n S,当n为偶数时, 1 1 nn aa ;当n为 奇数且1n 时, 1 21 nn aa 若4000 m S,则m的值可以是( ) A17 B

6、18 C19 D20 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 13 (5 分)若a,b满足| 4| 0ab,cosa, 1 3 b ,(23 )4aab,则|b 14 (5 分)若数列 n a满足 1 1a , 1 1 62n nn aa ,则数列 n a的通项公式 n a 15 (5 分)已知函数( )f x是定义在R上的偶函数,且( )(4)f xfx;当0 x,1)时, 第 3 页(共 16 页) ( )21 x f x ,则 1 2 (log 21)f的值为 16 (5 分)函数 2 (1) ,0 ( ) ,0 x xx

7、 f x ex ,若存在a,b,()c abc,使得f(a)f(b) f(c) ,则 (1)bc ab 的最小值是 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 题,共题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分)已知数列 n a的前n项和为 n S,且 2 34 n Snn (1)求数列 n a的通项公式; (2)若2n nn ba,求数列 n b的前n项和 n T 18 (12 分)已知 1 2 ( ) 22 x x b f x 是定义在R上的奇函数 (1)求b的值; (2)若 2 (1)(1)0fafa,求实数a

8、的取值范围 19 (12 分)已知平面内三个向量:(1,2)a ,(3,1)b ,( 4,3)c (1)若cmanb,求m,n的值; (2)若| 1d ,且()0d ab,求d; (3)若()/ /()dcba,且| 2 5dc,求d 20(12 分) 已知函数( )2sin()(0f xxA,0,|) 2 的图象过点(0, 1)B, 又( )f x 的图象向左平移个单位之后与原图象重合,且在( 3 , 3 ) 4 上单调 (1)求( )f x的解析式; (2)当 1 x, 2 2 ( 3 x ,) 3 且 12 xx时,若有 12 ()()f xf x,求 12 ()f xx 21 (12

9、分) 在ABC中, 内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且 sinsin sinsin BCa ACbc (1)求tan B; (2)若ABC是锐角三角形,且ABC的面积为2 3,求边c的取值范围 22 (12 分)已知函数( )2()f xlnxa xa (1)讨论( )f x的单调性; (2)若 1 x, 212 ()xxx是 2 ( )( )g xf xxax的两个极值点,证明: 21 ()g xx 第 4 页(共 16 页) 第 5 页(共 16 页) 2020-2021 学年广东省清远市高三(上)期学年广东省清远市高三(上)期中数学试卷中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解

10、析 一、单项选择题:本大题共一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的多个选项中,分。在每小题给出的多个选项中, 只有一是正确的。只有一是正确的。 1 (5 分)已知集合 |2Mx x, 2 |380Nxxx,则()( RM N ) A 8 |2 3 xx B |2x x C 8 |0 3 xx D |02xx 【解答】解:集合 |2Mx x, 2 8 |380 |0 3 Nxxxxx, |2 RM x x, () |02 RM Nxx , 故选:D 2 (5 分)已知复数 1 1zi , 12 12z zi ,则 2 (z ) A1i

11、Bi C12i D 31 22 i 【解答】解: 1 1zi , 12 12z zi , 2 12(12 )(1)31 1(1)(1)22 iii zi iii , 故选:D 3 (5 分)若 3 sin 5 ,是第三象限角,则 1tan 2 ( 1tan 2 ) A2 B2 C 8 3 D 8 3 【解答】解: 3 sin 5 ,是第三象限角, 2 4 cos1sin 5 , 则 2 22 3 11tancossin(cossin) 1sin 522222 2 4 cos 1tancossincossin 222225 , 故选:A 4 (5 分) 已知命题:p,为任意角, 若sinsin,

12、 则; 命题q: 函数( )sinf xx 是周期函数,下列命题为真命题的是( ) Apq B()pq C()pq D()()pq 第 6 页(共 16 页) 【解答】解:命题:p,为任意角,若sinsin,则2k或2k; kZ,所以p是假命题;所以p是真命题; 命题q:函数( )sinf xx是周期函数,正确; 可得()pq是真命题, 故选:C 5 (5 分)某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是 bt Nae,其中a,b都是正 常数, 则该种放射性元素的原子数由a个减少到 2 a 个时所经历的时间为 1 t, 由 2 a 个减少到 4 a 个时所经历的时间为 2 t,则 1 2 (

13、t t ) A2 B1 C2ln De 【解答】解:由N随t的变化规律是 bt Nae, 当0t 时Na,若 2 a N ,则 1 2 bt e,所以 1 2 2 btlnln ,解得 2ln t b ; 若 4 a N ,则 1 4 bt e,所以 1 22 4 btlnln ,解得 22ln t b ; 所以 1 2ln t b , 2 2222lnlnln t bbb , 所以 1 2 1 t t 故选:B 6 (5 分)菱形ABCD中, 3 BAD ,E为CD的中点,| 2BD ,则AE AB的值为( ) A1 B2 C4 D8 【解答】解:如图,在菱形ABCD中,60BAD,| 2B

14、D , ABD是等边三角形,| | 2ABAD, 又E为CD的中点, 11 22 AEADDCADAB, 1 () 2 AE ABADAB AB 第 7 页(共 16 页) 21 2 AD ABAB 11 224 22 4 故选:C 7 (5 分)已知ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若60A ,2b , 则 22222 (sinsin)4sin4(sinsin)AB cABC,则(a ) A4 B1 C2 D3 【解答】解:因为: 22222 (sinsin)4sin4(sinsin)AB cABC, 所 以 由 正 弦 定 理 可 得 : 22222 ()44()ab cab

15、c, 整 理 可 得 : 22222 ()4()4 2cosab cbcabcA , 可得: 22 42 cosabbA, 因为:60A ,2b , 所以: 2 1 4422 2 a ,解得:2a 故选:C 8 (5 分)已知定义在R上的函数( )f x满足( )1fx ,则不等式(2 )1(1)fxxf x 的 解集为( ) A(, 1) B( 1,) C(,1) D(1,) 【解答】解:定义在R上的函数( )f x满足( )1fx , 令( )( )g xf xx,则( )( )10g xfx ,可得函数( )g x是单调增函数, 又由不等式(2 )1(1)fxxf x ,化为(2 )2(

16、1)(1)fxxf xx, 有(2 )(1)gxg x,可得21xx,即1x , 故选:B 二、多项选择题:本大题共二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在毎小题绐出的四个选项中,分。在毎小题绐出的四个选项中, 有多项符合要求,全部选对的得有多项符合要求,全部选对的得 5 分,选对但不全的得分,选对但不全的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9 (5 分)如图是函数( )yf x的导函数的图象,下列结论中正确的是( ) 第 8 页(共 16 页) A( )f x在 2,1上是增函数 B当3x 时,( )f x取得最小值 C当1x 时

17、,( )f x取得极小值 D( )f x在 1,2上是增函数,在2,4 上是减函数 【解答】解:由函数的图象可知,当( 2, 1)x ,(2,4)x时,( )0fx,函数是减函数, 当( 1,2)x ,(4,)x时,( )0fx, 函数是增函数, 所以A错误,D正确; 当1x 时, ( )f x取得极小值,C正确;点3x 时,( )f x取得极小值,所以B错误 故选:CD 10 (5 分)若“ma”是“函数 11 ( )( ) 23 x f xm的图象不过第三象限“的必要不充分 条件,则实数a的取值可以是( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解: 2 (0) 3 fm, 函数( )yf x图

18、象不过第三象限, 2 0 3 m,即 2 3 m, “ma”是“ 2 3 m “的必要不充分条件” , 2 3 a ,故a可取1,2,3 故选:BCD 11 (5 分)已知函数( )4sin(2)1 4 f xx ,则下列结论正确的是( ) A( )f x的最小正周期为 B函数( )f x在 8 , 3 8 上单调递增 C将函数( )f x图象的横坐标缩短为原来的一半,再向左平移 6 个单位后关于y轴对称 D函数( )f x在 4 , 8 上的最小值为2 21 第 9 页(共 16 页) 【解答】解:对于函数( )4sin(2)1 4 f xx , 它的最小正周期为 2 2 ,故A正确; 当

19、8 x , 3 8 ,2 42 x , 2 ,( )4sin(2)1 4 f xx 单调递增,故B正确; 将函数( )f x图象的横坐标缩短为原来的一半,可得4sin(4)1 4 yx 的图象, 再向左平移 6 个单位后,可得 25 4sin(4)14sin(4)1 3412 yxx 的图象, 故所得图象不关于y轴对称,故C错误; 当 4 x , 8 , 3 2 44 x ,0,( )4sin(2)1 4 f xx 的最小值为415 ,故D 错误, 故选:AB 12 (5 分)已知首项为 1 的数列 n a的前n项和为 n S,当n为偶数时, 1 1 nn aa ;当n为 奇数且1n 时, 1

20、 21 nn aa 若4000 m S,则m的值可以是( ) A17 B18 C19 D20 【解答】解:依题意: 221 1 kk aa , 212 21 kk aa , 所以 221 1 kk aa , 22121 212(1)123 kkk aaa , 即 2121 32(3) kk aa ,由于 1 34a , 所以数列 21 3 k a 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列 所以 1 21 4 23 k k a , 故 2 1321 421 3243 21 k k k Saaakk 奇 2 242 242 k k Saaak 偶 , 所以 3 2 285 k k SSSk 奇偶 ,

21、 故 12 18 28454043S , 17 3021S, 要使4000 m S的最小整数m的值为 18, 故选:BCD 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 第 10 页(共 16 页) 13 (5 分) 若a,b满足| 4| 0ab,cosa, 1 3 b ,(23 )4aab, 则|b 1 3 【解答】解:a,b满足| 4| 0ab,cosa, 1 3 b ,(23 )4aab, 可得 222 1 (23 )232(4|)34| | ()36|4 3 aabaa bbbbb , 所以 1 | 3 b 故答案为: 1 3

22、 14 (5 分)若数列 n a满足 1 1a , 1 1 62n nn aa ,则数列 n a的通项公式 n a 11 2 62 nn 【解答】解:数列 n a满足 1 1a , 1 1 62n nn aa , 可得 1 1 11 26(2 22 n nn aa ) n , 1 2 2 n a n 是以 2 为首项,6 为公比的等比数列,所以 1 2 2 n a 1 2 6 nn , 所以 11 2 62 nn n a 故答案为: 11 2 62 nn 15 (5 分)已知函数( )f x是定义在R上的偶函数,且( )(4)f xfx;当0 x,1)时, ( )21 x f x ,则 1 2

23、 (log 21)f的值为 5 16 【解答】解:根据题意,函数( )f x是定义在R上的偶函数,且( )(4)f xfx, 则()(4)fxfx,变形可得(4)( )f xf x,即函数( )f x是周期为 4 的周期函数, 又由 1 2 5log 214 ,则 1 2 14log 210 ,变形有 2 0log 2141,即 2 21 0log1 16 , 则有 1122 22 21 (log 21)(4log 21)(log 214)(log) 16 ffff, 又由当0 x,1)时,( )21 x f x ,则 2 21215 (log)1 161616 f , 故 12 2 215

24、(log 21)(log) 1616 ff, 故答案为: 5 16 16 (5 分)函数 2 (1) ,0 ( ) ,0 x xx f x ex ,若存在a,b,()c abc,使得f(a)f(b) f(c) ,则 (1)bc ab 的最小值是 1 e 第 11 页(共 16 页) 【解答】解:函数( )f x的图象如图所示: 设f(a)f(b)f(c)t,则由图可得21a ,10b ,0c ,且2ab , 由f(b) 2 (1)bt,得1bt , 由f(c) c et ,得clnt , 所以 (1)1 2 bc tlnt ab ,设mt,则01m, 1 2 tlntmlnm, 设( )g m

25、mlnm,则( )1g mlnm , 令( )0g m,解得 1 1m e ,令( )0g m,解得 1 0m e , 所以( )g m在 1 (0, ) e 单调递减,在 1 ( ,1) e 单调递增, 所以 11 ( )( )g mg ee , 故 (1)bc ab 的最小值为 1 e , 故答案为: 1 e 四、解答题:本大题共四、解答题:本大题共 6 题,共题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分)已知数列 n a的前n项和为 n S,且 2 34 n Snn (1)求数列 n a的通项公式; (2)若2n

26、 nn ba,求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解: (1)数列 n a的前n项和为 n S,且 2 34 n Snn 当1n 时, 11 1aS , 当2n时, 2 1 3(1)4(1) n Snn , 得: 1 67 nnn aSSn (首项符合通项) 第 12 页(共 16 页) 故67 n an (2)由(1)得:(67) 2n n bn, 所以 12 ( 1) 25 2(67) 2n n Tn , 231 2( 1) 25 2(67) 2n n Tn , 得: 121 6 (222 )(67) 214 nn n Tn , 整理得 1 (613) 226 n n Tn 18 (

27、12 分)已知 1 2 ( ) 22 x x b f x 是定义在R上的奇函数 (1)求b的值; (2)若 2 (1)(1)0fafa,求实数a的取值范围 【解答】解: (1) 1 2 ( ) 22 x x b f x 是定义在R上的奇函数, 所以()( )fxf x 对xR 恒成立; 所以 11 22 2222 xx xx bb 对xR 恒成立, 所以 11 212 2222 xx xx bb 对xR 恒成立; 所以1b , 经验证,1b 符合题意 (本题也可以利用 0 (0)210fbb 求出b的值) (2)由(1)知1b ,所以 1 1211 ( ) 22221 x xx f x 任取

28、1 x, 2 xR,且 12 xx, 则 12 1212 12 111122 ( )()()() 222121(12 )(12 ) xx xxxx f xf x , 因为 12 xx,所以 12 022 xx , 所以 12 ()()0f xf x,即 12 ()()f xf x, 所以( )f x在R上是单调增函数; 由( )f x为奇函数,且 2 (1)(1)0fafa, 所以 22 (1)(1)(1)fafaf a, 第 13 页(共 16 页) 即 2 11aa,整理得 2 20aa, 解得2a 或1a , 所以实数a的取值范围是(,2)(1,) 19 (12 分)已知平面内三个向量:

29、(1,2)a ,(3,1)b ,( 4,3)c (1)若cmanb,求m,n的值; (2)若| 1d ,且()0d ab,求d; (3)若()/ /()dcba,且| 2 5dc,求d 【解答】解: (1)(3 ,2)( 4,3)cmanbmnmn , 34 23 mn mn ,解得 1311 , 55 mn ; (2)(4,3)ab,设( , )dx y,| 1,()0dd ab, 22 1 430 xy xy ,解得 3 5 4 5 x y 或 3 5 4 5 x y , 3 4 (, ) 5 5 d 或 34 ( ,) 55 ; (3)(2, 1)ba, ()/ /()dcba,(2,

30、1)dc, | 2 5dc, 5 | 2 5,解得2 , 2(2, 1)(0,1)dc或2(2, 1)( 8,5)dc 20(12 分) 已知函数( )2sin()(0f xxA,0,|) 2 的图象过点(0, 1)B, 又( )f x 的图象向左平移个单位之后与原图象重合,且在( 3 , 3 ) 4 上单调 (1)求( )f x的解析式; (2)当 1 x, 2 2 ( 3 x ,) 3 且 12 xx时,若有 12 ()()f xf x,求 12 ()f xx 【解答】解: (1)数( )2sin()(0f xxA,0,|) 2 的图象过点(0, 1)B, 第 14 页(共 16 页) 所

31、以 6 , 又( )f x的图象向左平移个单位之后与原图象重合,所以nT, 整理得 2 n ,所以2n, 且在( 3 , 3 ) 4 上单调所以 3112 4322 T , 所以 12 5 ,则2 则( )2sin(2) 6 f xx , (2)由(1)得:( )2sin(2) 6 f xx , 令2() 62 xkkZ ,解得() 23 k xkZ , 当1k 时, 2 (,) 23633 x , 所以 12 2() 63 xx 故 12 2 ()()2sin()1 336 f xxf 21 (12 分) 在ABC中, 内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且 sinsin sinsin B

32、Ca ACbc (1)求tan B; (2)若ABC是锐角三角形,且ABC的面积为2 3,求边c的取值范围 【解答】解: (1)因为 sinsin sinsin BCa ACbc , 所以由正弦定理可得 bca acbc ,整理可得()()()bc bca ac,即 222 acbac, 在ABC中,由余弦定理可得 222 1 cos 222 acbac B acac , 又0B, 可得 3 B ,可得tan3B (2)因为ABC是锐角三角形, 所以 0 2 0 2 2 0 32 A B CA , 第 15 页(共 16 页) 可得 62 A , 因为 113 sinsin2 3 2234 A

33、BC SacBacac , 所以8ac , 设ABC的外接圆半径为R,则 2 4sinsin8acRAC, 所以 2 8 4 sinsin R AC , 所以 2 222 31 sin()cossin sin4 3 322 4sin88884 sinsinsinsinsintan AAA sin CC cRC ACAAAA , 因为 62 A , 所以 3 tan 3 A , 所以 1 03 tan A , 所以 4 3 4416 tan A , 所以 2 416c, 所以24c 22 (12 分)已知函数( )2()f xlnxa xa (1)讨论( )f x的单调性; (2)若 1 x,

34、212 ()xxx是 2 ( )( )g xf xxax的两个极值点,证明: 21 ()g xx 【解答】解: (1)( )f x的定义域是(0,), 22 ( ) ax fxa xx , 当0a时,( )0fx,( )f x在(0,)递增, 当0a 时,若 2 (0,)x a ,则( )0fx,若 2 (x a ,),则( )0fx, 故( )f x在 2 (0,) a 递增,在 2 ( a ,)递减; (2)证明: 22 ( )( )2()g xf xxaxlnxxa, 则 2 2(1) ( ) xax g x x , 由题意可知 1 x, 2 x是方程 2 10 xax 的根,故 12 xxa , 12 1x x , 第 16 页(共 16 页) 由 1 0 x , 2 0 x , 12 xx,故 12 01xx , 2 2 1 ax x , 要证 21 ()g xx,只需证明 2 1 () 1 g x x , 22 22222222 12 ()1 ()2()2 g x x g xx lnxx xax lnx xx , 令 1 ( )2(1)h xxlnxx x ,则 2 1 ( )220h xlnx x , 故( )h x在(1,)递增,故( )h xh(1)1, 故 2 1 ()g x x ,即 21 ()g xx

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