2020-2021学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的）项是符合要求的） 1 （5 分）已知集合|1 28 x AxN，集合 2 |By yx，则AB等于( ) A0，1，2 B0，1，2，3 C1，2 D1，2，3 2 （5 分）若 2 :(1)40pax是 2 :60q xx的充分不必要条件，则a的值为( ) A1 B1 C 3 3 或 3

2、 3 D1 或1 3 （5 分）若平面向量a与b的夹角为120，| 2a ，(2 ) (3 )3abab，则| (b ) A 1 2 B 1 3 C2 D3 4 （5 分） 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，其中方田一章给出计算弧田 面积所用的公式为：弧田面积 1 2 （弦矢矢矢） 其中弧田由圆弧和其所对弦围成，公 式中的“弦”指的是圆弧所对弦长，矢等于半径长与圆心到弦的距离之差如图，现有圆心 角为 2 3 的弧田，其弦与半径构成的三角形面积为4 3，按照上述公式计算，所得弧田面积 是( ) A4 32 B4 23 C2 34 D2 24 5 （5 分）已知函数 ,0 ( ) 2 ,0 x

3、 lnx x f x x ，若f（a） 1 2 ，则实数a的值为( ) A1 Be C1或 2 e D1或e 6（5 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对边分别为a，b，c 若 3 A ，4AC ，3 3 ABC S， 则( sinsin ab AB ) A4 7 B 4 57 3 C 4 21 3 D 2 39 3 7 （5 分）正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为 , i j a，例如 4,3 9a， 第 2 页（共 18 页） 则 64,5 a等于( ) A2019 B2020 C2021 D2022 8 （5 分） 已知定义在R上的函数 2| | ( ) x f x

4、x e， 3 (log5)af， 3 1 (log) 2 bf，( 3)cf ln， 则a，b，c的大小关系是( ) Acab Bbca Cabc Dcba 二、多选题（本题共二、多选题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的不得分）分，有选错的不得分） 9 （5 分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使 用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等

5、号 的引入对不等式的发展影响深远若实数ab，则下列不等式不一定成立的是( ) A1 a b B 22 2 ab ab C2 ba ab D 11 ab 10 （5 分）已知函数( )2sin()cos() 66 f xxx ，则( ) A( )f x的最小正周期为2 B函数( )f x的图象关于( 6 ，0)对称 C 12 x 是函数( )f x图象的一条对称轴 D将函数 22 ( )cossing xxx的图象向右平移 5 12 个单位后得到函数( )f x的图象 11 （5 分）已知等比数列 n a公比为q，前n项和为 n S，且满足 63 8aa，则下列说法正确 的是( ) A n a为

6、单调递增数列 B 6 3 9 S S C 3 S， 6 S， 9 S成等比数列 D 1 2 nn Saa 12（5 分） 已知函数( )f x的定义域为(0,)， 其导函数( )fx满足 1 ( )fx x ， 且f（1）1， 则下列结论正确的是( ) Af（e）2 B 1 ( )0f e 第 3 页（共 18 页） C(1, )xe ，( )2f x D 1 (x e ，1)， 1 ( )( )20f xf x 三、填空题（共三、填空题（共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知(1,2)a ，(2, 2)b ，(1, )c，若(2 )cab，则 1

7、4 （5 分）函数 1 ( )sin cossin()cos 22 f xxxxx ，则( )f x的最小值为 15（5分） 若点(2,1)A在直线10mxny 上， 且0m ，0n 则 11 mn 的取值范围为 16 （5 分）已知函数( )333 xx f x ，若函数( ) |( )|log (2)(0 a g xf xxa且1)a 在区 间 1，1上有 4 个不同的零点，则实数a的取值范围是 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在函数( )f

8、 x的图象关于点( 6 ，)b对称； 函数( )f x在 4 ， 4 上的最小值为 1 2 ； 函数( )f x的图象关于直线 12 x 对称 这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，再解答这个问题 已知函数( )sin(2)(|) 2 f xxb ，若满足条件_与_ （1）求函数( )f x的解析式； （2）若将函数( )yf x的图象上点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，再将所得图象 向右平移 8 个单位，得到函数( )yg x的图象，求函数( )g x的单调递减区间 18（12 分） 已知数列 n a为等差数列， 数列 n b是各项均为正数的等比数列， 满足 21 3ab， 5

9、9 26aa， 314 ba （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）求数列 nn a b的前n项和 n T 19 （12 分）已知函数 32 ( )2 2 a f xxxbx （1）若函数( )f x在点(1，f（1）)处的切线方程为3210 xy ，求a，b的值； （2） 当02a，0b 时， 记( )f x在区间0，1上的最大值为M， 最小值为N， 求MN 的取值范围 20 （12 分）ABC的内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且1a ， 第 4 页（共 18 页） cos2sincoscABC （1）求A； （2）若A，B，C成等差数列，求ABC的面积 21 （12

10、分）已知数列 n a前n项和 n S满足 11 3,1 44,2 n n n S aan （1）设 1 2 nnn baa ，求数列 n b的通项公式； （2）若 2 log 5 2 n n b C ，数列 1 1 nn C C 的前n项和为 n T，求证： 4 2 3 n T 22 （12 分）设函数 2 ( )(2)f xxaxalnx，( )24g xalnxxb，其中0a ，bR （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若2a 且方程( )( )f xg x在(1,)上有两个不相等的实数根 1 x， 2 x，求证： 12 ()0 2 xx f 第 5 页（共 18 页） 2020-

11、2021 学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷学年山东省德州市高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的）项是符合要求的） 1 （5 分）已知集合|1 28 x AxN，集合 2 |By yx，则AB等于( ) A0，1，2 B0，1，2，3 C1，2 D1，2，3 【解答】解：集合|1 28 1 x AxN，2，集合 2 | |0By yxy y， 则1AB ，2 故选：C 2 （5 分）若

12、2 :(1)40pax是 2 :60q xx的充分不必要条件，则a的值为( ) A1 B1 C 3 3 或 3 3 D1 或1 【解答】解：由 2 60 xx，解得：3x 或2x ， 2x 时，1a ， 3x 时，方程无解， 综上：1a 或1， 故选：D 3 （5 分）若平面向量a与b的夹角为120，| 2a ，(2 ) (3 )3abab，则| (b ) A 1 2 B 1 3 C2 D3 【解答】解：平面向量a与b的夹角为120，| 2a ，(2 ) (3 )3abab， 可得 222 642|cos1206|3aa bbbb， 可得 2 6| 10bb ，解得 1 | 3 b ， 1 |

13、 2 b （舍去） 故选：B 4 （5 分） 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，其中方田一章给出计算弧田 面积所用的公式为：弧田面积 1 2 （弦矢矢矢） 其中弧田由圆弧和其所对弦围成，公 式中的“弦”指的是圆弧所对弦长，矢等于半径长与圆心到弦的距离之差如图，现有圆心 第 6 页（共 18 页） 角为 2 3 的弧田，其弦与半径构成的三角形面积为4 3，按照上述公式计算，所得弧田面积 是( ) A4 32 B4 23 C2 34 D2 24 【解答】解：由题意， 2 3 AOB ，则 3 COA ， 可得 1 2 3 AB AC OCOC ，解得：2 3ABOC， 又因为弦与半径构成的三角

14、形面积为 11 4 32 22 ABOC3OCOC， 解得2OC ， 所以4 3AB ， 所以弧田面积 1 (4 3222)4 32 2 故选：A 5 （5 分）已知函数 ,0 ( ) 2 ,0 x lnx x f x x ，若f（a） 1 2 ，则实数a的值为( ) A1 Be C1或 2 e D1或e 【解答】解：函数 ,0 ( ) 2 ,0 x lnx x f x x ， 当0a 时，f（a） 1 2 lnaae， 当0a时，f（a） 1 21 2 a a ， 即实数a的值为1或e 故选：D 6（5 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对边分别为a，b，c 若 3 A ，4AC ，3 3

15、 ABC S， 则( sinsin ab AB ) 第 7 页（共 18 页） A4 7 B 4 57 3 C 4 21 3 D 2 39 3 【解答】解：因为 3 A ，4AC ， 113 3 3sin4 222 ABC SAC ABAAB ， 解得3cAB， 所以由余弦定理可得 22 1 4323413 2 aBC ， 则 132 39 sinsinsin33 2 aba ABA 故选：D 7 （5 分）正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为 , i j a，例如 4,3 9a， 则 64,5 a等于( ) A2019 B2020 C2021 D2022 【解答】解：根据题

16、意，第 1 行第 1 列的数为 1，此时 1,1 1 (1 1) 11 2 a ， 第 2 行第 1 列的数为 2，此时 2,1 2(21) 12 2 a ， 第 3 行第 1 列的数为 4，此时 3,1 3 (3 1) 14 2 a ， 据此分析可得：第 64 行第 1 列的数为 64,1 64(641) 12017 2 a ，则 64,5 2021a； 故选：C 8 （5 分） 已知定义在R上的函数 2| | ( ) x f xx e， 3 (log5)af， 3 1 (log) 2 bf，( 3)cf ln， 则a，b，c的大小关系是( ) Acab Bbca Cabc Dcba 【解答

17、】解：0 x 时， 2 ( ) x f xx e是增函数，且()( )fxf x， 33 ( log 2)(log 2)bff， 3333 012531loglogloglog，31lnlne， 第 8 页（共 18 页） 33 352lnloglog， 33 ( 3)(5)(2)f lnf logf log， cab 故选：A 二、多选题（本题共二、多选题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的不得分）分

18、，有选错的不得分） 9 （5 分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使 用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号 的引入对不等式的发展影响深远若实数ab，则下列不等式不一定成立的是( ) A1 a b B 22 2 ab ab C2 ba ab D 11 ab 【解答】解：对于A，比如2a ，1b ，此时A不成立，当0ab，A成立，所以A不 正确； 对于B， 22 2 ab ab ，是重要不等式的变形，正确； 对于C，不满足基本不等式成立的条件，所以C不正确； 对于D，反例2a ，1b ，此时D不成立，当0ab，D成立，所以D不正

19、确； 故选：ACD 10 （5 分）已知函数( )2sin()cos() 66 f xxx ，则( ) A( )f x的最小正周期为2 B函数( )f x的图象关于( 6 ，0)对称 C 12 x 是函数( )f x图象的一条对称轴 D将函数 22 ( )cossing xxx的图象向右平移 5 12 个单位后得到函数( )f x的图象 【解答】解：由函数( )2sin()cos()sin(2) 663 f xxxx ， 可得周期 2 2 T ，故A错误； 令 6 x ，可得()sin(2)0 663 f ， 函数( )f x的图象关于( 6 ，0)对称，故B正确； 第 9 页（共 18 页）

20、 令2 32 xk ，kZ，可得 15 212 xk ， 当2k 时，可得 12 x ， 12 x 是函数( )f x图象的一条对称轴，故C正确； 由函数 22 ( )cossincos2sin(2) 2 g xxxxx 的图象向右平移 5 12 个单位， 得到 5 sin2()sin(2) 1223 yxx ，即得到函数( )f x的图象，故D正确； 故选：BCD 11 （5 分）已知等比数列 n a公比为q，前n项和为 n S，且满足 63 8aa，则下列说法正确 的是( ) A n a为单调递增数列 B 6 3 9 S S C 3 S， 6 S， 9 S成等比数列 D 1 2 nn Sa

21、a 【解答】解：由 63 8aa，可得 3 33 8q aa，则2q ， 当首项 1 0a 时，可得 n a为单调递减数列，故A错误； 由 6 6 3 3 12 9 12 S S ，故B正确； 假设 3 S， 6 S， 9 S成等比数列，可得 2 693 SSS， 即 6 239 (1 2 )(1 2 )(1 2 )不成立， 显然 3 S， 6 S， 9 S不成等比数列，故C错误； 由 n a公比为q的等比数列，可得 11 1 2 2 121 nn nn aa qaa Saa q 1 2 nn Saa，故D正确； 故选：BD 12（5 分） 已知函数( )f x的定义域为(0,)， 其导函数(

22、 )fx满足 1 ( )fx x ， 且f（1）1， 则下列结论正确的是( ) Af（e）2 B 1 ( )0f e C(1, )xe ，( )2f x D 1 (x e ，1)， 1 ( )( )20f xf x 【解答】解：函数( )f x的定义域为(0,)， 设( )( )F xf xlnx，则 1 ( )( )F xfx x ， 第 10 页（共 18 页） 因为 1 ( )fx x ，所以( )0F x，函数( )F x是减函数， f（1）1，F（1）f（1）11ln， 所以F（1）F（e）f（e）1，可得f（e）2，所以A不正确C正确； 11 ( )( )1FfF ee （1） ，

23、所以 1 ( )0f e 1 (x e ，1)，( 1,0)lnx ， 可知 1 x x ， 所以 1 ( )( )F xF x ， 11 ( )( )f xlnxfln xx ， 所以 1 ( )( )2220f xflnx x 所以D正确 故选：BCD 三、填空题（共三、填空题（共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知(1,2)a ，(2, 2)b ，(1, )c，若(2 )cab，则 5 2 【解答】解：(1,2)a ，(2, 2)b ，2(5, 2)ab，(1, )c， (2 )cab， 可得520，解得 5 2 故答案为： 5 2 14 （

24、5 分）函数 1 ( )sin cossin()cos 22 f xxxxx ，则( )f x的最小值为 2 2 【解答】解：因为 1 ( )sin cossin()cos 22 f xxxxx 11cos21 sin2 222 x x 2 sin(2) 24 x ， 所以当22 42 xk ，kZ，即 8 xk ，kZ时， 2 ( ) 2 min f x ，即( )f x的最 小值为 2 2 故答案为： 2 2 15 （5 分）若点(2,1)A在直线10mxny 上，且0m ，0n 则 11 mn 的取值范围为 32 2，) 第 11 页（共 18 页） 【解答】解：根据题意，点(2,1)A

25、在直线10mxny 上，则有21mn， 11112 ()(2)3 mn mn mnmnnm ， 又由0m ，0n ，则 22 22 2 mnmn nmnm ，当且仅当2nm时等号成立， 则有 11 32 2 mn ， 故 11 mn 的取值范围为32 2，)， 故选：32 2，) 16 （5 分）已知函数( )333 xx f x ，若函数( ) |( )|log (2)(0 a g xf xxa且1)a 在区 间 1，1上有 4 个不同的零点，则实数a的取值范围是 27，) 【解答】 解： 函数( ) |( )|log (2) a g xf xx的零点即为函|( )|yf x与log (2)

26、 a yx在 1， 1上有四个交点， 易知偶函数( )33 xx f x f（1） 11 33 33 ， 1 ( 1) 3 f ，函数log (2 a yx恒过点( 1,0)， 显然当01a时，函数|( )|yf x与log (2) a yx在 1，1上没有交点 当 1 log 3 3 a ，即 3 log3a，解得27a， 故函数|( )|yf x与log (2) a yx在 1，1上有四个交点，则27a， 故a取值范围为：27，) 故答案为：27，) 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答题应写出文字说明

27、、证明过程或演算步骤） 第 12 页（共 18 页） 17 （10 分）在函数( )f x的图象关于点( 6 ，)b对称； 函数( )f x在 4 ， 4 上的最小值为 1 2 ； 函数( )f x的图象关于直线 12 x 对称 这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，再解答这个问题 已知函数( )sin(2)(|) 2 f xxb ，若满足条件_与_ （1）求函数( )f x的解析式； （2）若将函数( )yf x的图象上点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，再将所得图象 向右平移 8 个单位，得到函数( )yg x的图象，求函数( )g x的单调递减区间 【解答】解： （1）若选，

28、 因为函数( )f x的图象关于点( 6 ，)b对称， 所以2() 6 k ， 3 k ，kZ， 又| 2 ， 所以 3 ， 因为 44 x 剟，所以 5 2 636 x 剟， 所以 1 sin(2) 1 23 x 剟， 所以 11 ( ) 22 min f xb ，解得1b ， 所以( )sin(2)1 3 f xx 若选， 因为函数( )f x的图象关于直线 12 x 对称， 所以2 122 k ，解得 3 k ，kZ， 又| 2 ， 所以 3 ， 因为 44 x 剟，所以 5 2 636 x 剟， 第 13 页（共 18 页） 所以 1 sin(2) 1 23 x 剟， 所以 11 (

29、) 22 min f xb ，解得1b ， 所以( )sin(2)1 3 f xx （2）sin(2)1 3 yx 横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，可得函数sin(4)1 3 yx 的 图象， 再将所得图象向右平移 8 个单位，得到函数( )sin(4)1 6 yg xx 的图象， 令 3 242 262 kxk 剟，kZ，解得 115 26212 kxk 剟，kZ， 所以函数( )g x的单调递减区间为 1 2 6 k ， 15 212 k ，kZ 18（12 分） 已知数列 n a为等差数列， 数列 n b是各项均为正数的等比数列， 满足 21 3ab， 59 26aa， 314

30、 ba （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）求数列 nn a b的前n项和 n T 【解答】解： （1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q，(0)q ， 由题意可得 2 59 3 26 a aa ，即 1 1 3 21226 ad ad ，解得 1 1a ，2d ， 1 (1)21 n aandn， 又 1 314 3 27 b ba ，解得 2 9q ， 3q， 1 1 3 nn n bbq ， （2）(21) 3n nn a bn， 23 1 33 35 3(21) 3n n Tn ， 2341 31 33 35 3(21) 3n n Tn ， 两式相减

31、可得 2341 232(3333 )(21) 3 nn n Tn ， 11 339(21) 3 nn n ， 第 14 页（共 18 页） 1 6(22 )3nn ， 1 3(1)3n n Tn 19 （12 分）已知函数 32 ( )2 2 a f xxxbx （1）若函数( )f x在点(1，f（1）)处的切线方程为3210 xy ，求a，b的值； （2） 当02a，0b 时， 记( )f x在区间0，1上的最大值为M， 最小值为N， 求MN 的取值范围 【解答】解： （1）由题意知： 2 ( )3f xxaxb，f（1）2， 3 (1) 2 f ， 即 3 3 2 122 2 ab a

32、b ，解得 1 1 2 a b （2）当02a，0b 时， 32 1 ( ) 2 f xxax，故 2 ( )3f xxax， 令( )0fx，即 2 30 xax，解得0 3 a x 由于02a， 所以 2 01 33 a 所以函数( )f x爱(0,) 3 a 上单调递减，在(,1) 3 a 上单调递增， 所以 3 ( )( )2 354 min aa f xf， 即 3 2 54 a N ， 由于(0)2f，f（1）3 2 a ，(0)ff（1） 2 0 2 a ， 所以 33 ( )321 254542 max aaaa f x 令g（a） 3 1(02) 542 aa a， 所以：

33、22 19 ( ) 18218 aa g a ，即函数g（a）在(0,2)上单调递减， 所以g（2）g（a）(0)g，即 4 ( )1 27 g a， 所以MN的取值范围为 4 (,1) 27 20 （12 分）ABC的内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且1a ， 第 15 页（共 18 页） cos2sincoscABC （1）求A； （2）若A，B，C成等差数列，求ABC的面积 【解答】解： （1）因为1a ，cos2sincoscABC， 所以cos2 sincoscAaBaC， 由正弦定理可得sincos2sinsinsincosCAABAC， 所以sincossincos2s

34、insinCAACAB，即sin2sinsinBAB， 因为sin0B ， 所以 2 sin 2 A ， 又(0, )A， 所以 4 A ，或 3 4 （2）因为A，B，C成等差数列，则2BAC， 又ABC， 所以 3 B ， 4 A ， 在ABC中，由正弦定理 sinsin ab AB ，可得 1 23 22 b ，解得 6 2 b ， 又 23162 sinsin()sin()sincoscossin() 3434342224 CAB ， 所以 1166233 sin1 22248 ABC SabC 21 （12 分）已知数列 n a前n项和 n S满足 11 3,1 44,2 n n n

35、 S aan （1）设 1 2 nnn baa ，求数列 n b的通项公式； （2）若 2 log 5 2 n n b C ，数列 1 1 nn C C 的前n项和为 n T，求证： 4 2 3 n T 【解答】 （1）解：1n 时， 11 3aS， 当2n 时， 21112 44Saaaa， 21 4416aa， 121 210baa， 第 16 页（共 18 页） 当2n时， 11 44 nn Saa ， 11 44 nn Saa ， 11 44 nnn aaa ，即 11 22() nnnn aaaa ， 即 1 2 nn bb ， n b是以 10 为首项，以 2 为公比的等比数列，

36、1 10 25 2 nn n b （2）证明： 22 loglog 2 5 2 n n b C 1 2 1 2 n n ， 1 1111 1111 ()() 2222 nn C C nnnn ， 12231 111111111111 2 111111111 11221 222222222 n nn T CCC CC C nnnn ， 1n， 12 0 1 3 2 n ， 41 22 1 3 2 n ，即 4 2 3 n T 22 （12 分）设函数 2 ( )(2)f xxaxalnx，( )24g xalnxxb，其中0a ，bR （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若2a 且方程(

37、 )( )f xg x在(1,)上有两个不相等的实数根 1 x， 2 x，求证： 12 ()0 2 xx f 【解答】解： （1） 2(1)() 2 ( )2(2)(0) a xx a fxxax xx ， ( )1 2 a i即02a时，令( )0fx，解得：0 2 a x或1x ， 令( )0fx，解得：1 2 a x， 故( )f x在(0,) 2 a 和(1,)递增，在( 2 a ，1)递减， ( )1 2 a ii即2a 时， 2 2(1) ( )0 x fx x 恒成立， ( )f x在(0,)递增， 第 17 页（共 18 页） ()1 2 a iii即2a 时， 令( )0fx

38、，解得：01x或 2 a x ， 令( )0fx，解得：1 2 a x， 故( )f x在(0,1)和( 2 a ，)递增，在(1, ) 2 a 递减， 综上：( )02ia时，( )f x在(0,) 2 a 和(1,)递增，在( 2 a ，1)递减， ( )2ii a 时，( )f x在(0,)递增， ()2iii a 时，( )f x在(0,1)和( 2 a ，)递增，在(1, ) 2 a 递减； （2） 证明： 方程( )( )f xg x即 2 (2)xaxalnxb在(1,)上有两个不相等的实数根 1 x， 2 x， 不妨设 12 1xx，则 2 111 (2)xaxalnxb， 2

39、 222 (2)xaxalnxb， 得： 22 1122 1122 22xxxx a xlnxxlnx ，2a ，由（1）知： ( )f x在(1, ) 2 a 递减，在( 2 a ，)递增， 即(1,) 2 a x时，( )0fx，( 2 a x，)时，( )0fx， 故若证 12 ()0 2 xx f ，只需证明 12 22 xxa ， 即证 12 axx， 只需证明 22 1122 12 1122 22xxxx xx xlnxxlnx ， 12 xx， 1122 xlnxxlnx， 即需证 22 1122121122 22()()xxxxxxxlnxxlnx， 整理得： 12 12 12 2()xx lnxlnx xx ， 即证 1 12 1 2 2 2(1) 1 x xx ln x x x ，令 1 2 (0,1) x t x ， 2(1) ( ) 1 t h tlnt t ， 2 2 (1) ( )0 (1) t h t t t ，显然( )h t在(0,1)递增， 第 18 页（共 18 页） 故( )h th（1）0， 故 12 ()0 2 xx f ，得证