1、 第 1 页(共 18 页) 2020-2021 学年山东省德州市高三(上)期中数学试卷学年山东省德州市高三(上)期中数学试卷 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 8 小题,每题小题,每题 5 分,共分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的)项是符合要求的) 1 (5 分)已知集合|1 28 x AxN,集合 2 |By yx,则AB等于( ) A0,1,2 B0,1,2,3 C1,2 D1,2,3 2 (5 分)若 2 :(1)40pax是 2 :60q xx的充分不必要条件,则a的值为( ) A1 B1 C 3 3 或 3
2、 3 D1 或1 3 (5 分)若平面向量a与b的夹角为120,| 2a ,(2 ) (3 )3abab,则| (b ) A 1 2 B 1 3 C2 D3 4 (5 分) 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表,其中方田一章给出计算弧田 面积所用的公式为:弧田面积 1 2 (弦矢矢矢) 其中弧田由圆弧和其所对弦围成,公 式中的“弦”指的是圆弧所对弦长,矢等于半径长与圆心到弦的距离之差如图,现有圆心 角为 2 3 的弧田,其弦与半径构成的三角形面积为4 3,按照上述公式计算,所得弧田面积 是( ) A4 32 B4 23 C2 34 D2 24 5 (5 分)已知函数 ,0 ( ) 2 ,0 x
3、 lnx x f x x ,若f(a) 1 2 ,则实数a的值为( ) A1 Be C1或 2 e D1或e 6(5 分) 在ABC中, 内角A,B,C所对边分别为a,b,c 若 3 A ,4AC ,3 3 ABC S, 则( sinsin ab AB ) A4 7 B 4 57 3 C 4 21 3 D 2 39 3 7 (5 分)正整数的排列规则如图所示,其中排在第i行第j列的数记为 , i j a,例如 4,3 9a, 第 2 页(共 18 页) 则 64,5 a等于( ) A2019 B2020 C2021 D2022 8 (5 分) 已知定义在R上的函数 2| | ( ) x f x
4、x e, 3 (log5)af, 3 1 (log) 2 bf,( 3)cf ln, 则a,b,c的大小关系是( ) Acab Bbca Cabc Dcba 二、多选题(本题共二、多选题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分,在每小题给出的选项中,有多项符合分,在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对得题目要求,全部选对得 5 分,部分选对得分,部分选对得 3 分,有选错的不得分)分,有选错的不得分) 9 (5 分)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使 用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号,并逐渐被数学界接受,不等
5、号 的引入对不等式的发展影响深远若实数ab,则下列不等式不一定成立的是( ) A1 a b B 22 2 ab ab C2 ba ab D 11 ab 10 (5 分)已知函数( )2sin()cos() 66 f xxx ,则( ) A( )f x的最小正周期为2 B函数( )f x的图象关于( 6 ,0)对称 C 12 x 是函数( )f x图象的一条对称轴 D将函数 22 ( )cossing xxx的图象向右平移 5 12 个单位后得到函数( )f x的图象 11 (5 分)已知等比数列 n a公比为q,前n项和为 n S,且满足 63 8aa,则下列说法正确 的是( ) A n a为
6、单调递增数列 B 6 3 9 S S C 3 S, 6 S, 9 S成等比数列 D 1 2 nn Saa 12(5 分) 已知函数( )f x的定义域为(0,), 其导函数( )fx满足 1 ( )fx x , 且f(1)1, 则下列结论正确的是( ) Af(e)2 B 1 ( )0f e 第 3 页(共 18 页) C(1, )xe ,( )2f x D 1 (x e ,1), 1 ( )( )20f xf x 三、填空题(共三、填空题(共 4 小题,每题小题,每题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)已知(1,2)a ,(2, 2)b ,(1, )c,若(2 )cab,则 1
7、4 (5 分)函数 1 ( )sin cossin()cos 22 f xxxxx ,则( )f x的最小值为 15(5分) 若点(2,1)A在直线10mxny 上, 且0m ,0n 则 11 mn 的取值范围为 16 (5 分)已知函数( )333 xx f x ,若函数( ) |( )|log (2)(0 a g xf xxa且1)a 在区 间 1,1上有 4 个不同的零点,则实数a的取值范围是 四、解答题(本大题共四、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 (10 分)在函数( )f
8、 x的图象关于点( 6 ,)b对称; 函数( )f x在 4 , 4 上的最小值为 1 2 ; 函数( )f x的图象关于直线 12 x 对称 这三个条件中任选两个补充在下面的问题中,再解答这个问题 已知函数( )sin(2)(|) 2 f xxb ,若满足条件_与_ (1)求函数( )f x的解析式; (2)若将函数( )yf x的图象上点的横坐标缩短到原来的 1 2 ,纵坐标不变,再将所得图象 向右平移 8 个单位,得到函数( )yg x的图象,求函数( )g x的单调递减区间 18(12 分) 已知数列 n a为等差数列, 数列 n b是各项均为正数的等比数列, 满足 21 3ab, 5
9、9 26aa, 314 ba (1)求数列 n a, n b的通项公式; (2)求数列 nn a b的前n项和 n T 19 (12 分)已知函数 32 ( )2 2 a f xxxbx (1)若函数( )f x在点(1,f(1))处的切线方程为3210 xy ,求a,b的值; (2) 当02a,0b 时, 记( )f x在区间0,1上的最大值为M, 最小值为N, 求MN 的取值范围 20 (12 分)ABC的内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,且1a , 第 4 页(共 18 页) cos2sincoscABC (1)求A; (2)若A,B,C成等差数列,求ABC的面积 21 (12
10、分)已知数列 n a前n项和 n S满足 11 3,1 44,2 n n n S aan (1)设 1 2 nnn baa ,求数列 n b的通项公式; (2)若 2 log 5 2 n n b C ,数列 1 1 nn C C 的前n项和为 n T,求证: 4 2 3 n T 22 (12 分)设函数 2 ( )(2)f xxaxalnx,( )24g xalnxxb,其中0a ,bR (1)讨论函数( )f x的单调性; (2)若2a 且方程( )( )f xg x在(1,)上有两个不相等的实数根 1 x, 2 x,求证: 12 ()0 2 xx f 第 5 页(共 18 页) 2020-
11、2021 学年山东省德州市高三(上)期中数学试卷学年山东省德州市高三(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 8 小题,每题小题,每题 5 分,共分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的)项是符合要求的) 1 (5 分)已知集合|1 28 x AxN,集合 2 |By yx,则AB等于( ) A0,1,2 B0,1,2,3 C1,2 D1,2,3 【解答】解:集合|1 28 1 x AxN,2,集合 2 | |0By yxy y, 则1AB ,2 故选:C 2 (5 分)若
12、2 :(1)40pax是 2 :60q xx的充分不必要条件,则a的值为( ) A1 B1 C 3 3 或 3 3 D1 或1 【解答】解:由 2 60 xx,解得:3x 或2x , 2x 时,1a , 3x 时,方程无解, 综上:1a 或1, 故选:D 3 (5 分)若平面向量a与b的夹角为120,| 2a ,(2 ) (3 )3abab,则| (b ) A 1 2 B 1 3 C2 D3 【解答】解:平面向量a与b的夹角为120,| 2a ,(2 ) (3 )3abab, 可得 222 642|cos1206|3aa bbbb, 可得 2 6| 10bb ,解得 1 | 3 b , 1 |
13、 2 b (舍去) 故选:B 4 (5 分) 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表,其中方田一章给出计算弧田 面积所用的公式为:弧田面积 1 2 (弦矢矢矢) 其中弧田由圆弧和其所对弦围成,公 式中的“弦”指的是圆弧所对弦长,矢等于半径长与圆心到弦的距离之差如图,现有圆心 第 6 页(共 18 页) 角为 2 3 的弧田,其弦与半径构成的三角形面积为4 3,按照上述公式计算,所得弧田面积 是( ) A4 32 B4 23 C2 34 D2 24 【解答】解:由题意, 2 3 AOB ,则 3 COA , 可得 1 2 3 AB AC OCOC ,解得:2 3ABOC, 又因为弦与半径构成的三角
14、形面积为 11 4 32 22 ABOC3OCOC, 解得2OC , 所以4 3AB , 所以弧田面积 1 (4 3222)4 32 2 故选:A 5 (5 分)已知函数 ,0 ( ) 2 ,0 x lnx x f x x ,若f(a) 1 2 ,则实数a的值为( ) A1 Be C1或 2 e D1或e 【解答】解:函数 ,0 ( ) 2 ,0 x lnx x f x x , 当0a 时,f(a) 1 2 lnaae, 当0a时,f(a) 1 21 2 a a , 即实数a的值为1或e 故选:D 6(5 分) 在ABC中, 内角A,B,C所对边分别为a,b,c 若 3 A ,4AC ,3 3
15、 ABC S, 则( sinsin ab AB ) 第 7 页(共 18 页) A4 7 B 4 57 3 C 4 21 3 D 2 39 3 【解答】解:因为 3 A ,4AC , 113 3 3sin4 222 ABC SAC ABAAB , 解得3cAB, 所以由余弦定理可得 22 1 4323413 2 aBC , 则 132 39 sinsinsin33 2 aba ABA 故选:D 7 (5 分)正整数的排列规则如图所示,其中排在第i行第j列的数记为 , i j a,例如 4,3 9a, 则 64,5 a等于( ) A2019 B2020 C2021 D2022 【解答】解:根据题
16、意,第 1 行第 1 列的数为 1,此时 1,1 1 (1 1) 11 2 a , 第 2 行第 1 列的数为 2,此时 2,1 2(21) 12 2 a , 第 3 行第 1 列的数为 4,此时 3,1 3 (3 1) 14 2 a , 据此分析可得:第 64 行第 1 列的数为 64,1 64(641) 12017 2 a ,则 64,5 2021a; 故选:C 8 (5 分) 已知定义在R上的函数 2| | ( ) x f xx e, 3 (log5)af, 3 1 (log) 2 bf,( 3)cf ln, 则a,b,c的大小关系是( ) Acab Bbca Cabc Dcba 【解答
17、】解:0 x 时, 2 ( ) x f xx e是增函数,且()( )fxf x, 33 ( log 2)(log 2)bff, 3333 012531loglogloglog,31lnlne, 第 8 页(共 18 页) 33 352lnloglog, 33 ( 3)(5)(2)f lnf logf log, cab 故选:A 二、多选题(本题共二、多选题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分,在每小题给出的选项中,有多项符合分,在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对得题目要求,全部选对得 5 分,部分选对得分,部分选对得 3 分,有选错的不得分)分
18、,有选错的不得分) 9 (5 分)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使 用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号,并逐渐被数学界接受,不等号 的引入对不等式的发展影响深远若实数ab,则下列不等式不一定成立的是( ) A1 a b B 22 2 ab ab C2 ba ab D 11 ab 【解答】解:对于A,比如2a ,1b ,此时A不成立,当0ab,A成立,所以A不 正确; 对于B, 22 2 ab ab ,是重要不等式的变形,正确; 对于C,不满足基本不等式成立的条件,所以C不正确; 对于D,反例2a ,1b ,此时D不成立,当0ab,D成立,所以D不正
19、确; 故选:ACD 10 (5 分)已知函数( )2sin()cos() 66 f xxx ,则( ) A( )f x的最小正周期为2 B函数( )f x的图象关于( 6 ,0)对称 C 12 x 是函数( )f x图象的一条对称轴 D将函数 22 ( )cossing xxx的图象向右平移 5 12 个单位后得到函数( )f x的图象 【解答】解:由函数( )2sin()cos()sin(2) 663 f xxxx , 可得周期 2 2 T ,故A错误; 令 6 x ,可得()sin(2)0 663 f , 函数( )f x的图象关于( 6 ,0)对称,故B正确; 第 9 页(共 18 页)
20、 令2 32 xk ,kZ,可得 15 212 xk , 当2k 时,可得 12 x , 12 x 是函数( )f x图象的一条对称轴,故C正确; 由函数 22 ( )cossincos2sin(2) 2 g xxxxx 的图象向右平移 5 12 个单位, 得到 5 sin2()sin(2) 1223 yxx ,即得到函数( )f x的图象,故D正确; 故选:BCD 11 (5 分)已知等比数列 n a公比为q,前n项和为 n S,且满足 63 8aa,则下列说法正确 的是( ) A n a为单调递增数列 B 6 3 9 S S C 3 S, 6 S, 9 S成等比数列 D 1 2 nn Sa
21、a 【解答】解:由 63 8aa,可得 3 33 8q aa,则2q , 当首项 1 0a 时,可得 n a为单调递减数列,故A错误; 由 6 6 3 3 12 9 12 S S ,故B正确; 假设 3 S, 6 S, 9 S成等比数列,可得 2 693 SSS, 即 6 239 (1 2 )(1 2 )(1 2 )不成立, 显然 3 S, 6 S, 9 S不成等比数列,故C错误; 由 n a公比为q的等比数列,可得 11 1 2 2 121 nn nn aa qaa Saa q 1 2 nn Saa,故D正确; 故选:BD 12(5 分) 已知函数( )f x的定义域为(0,), 其导函数(
22、 )fx满足 1 ( )fx x , 且f(1)1, 则下列结论正确的是( ) Af(e)2 B 1 ( )0f e C(1, )xe ,( )2f x D 1 (x e ,1), 1 ( )( )20f xf x 【解答】解:函数( )f x的定义域为(0,), 设( )( )F xf xlnx,则 1 ( )( )F xfx x , 第 10 页(共 18 页) 因为 1 ( )fx x ,所以( )0F x,函数( )F x是减函数, f(1)1,F(1)f(1)11ln, 所以F(1)F(e)f(e)1,可得f(e)2,所以A不正确C正确; 11 ( )( )1FfF ee (1) ,
23、所以 1 ( )0f e 1 (x e ,1),( 1,0)lnx , 可知 1 x x , 所以 1 ( )( )F xF x , 11 ( )( )f xlnxfln xx , 所以 1 ( )( )2220f xflnx x 所以D正确 故选:BCD 三、填空题(共三、填空题(共 4 小题,每题小题,每题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)已知(1,2)a ,(2, 2)b ,(1, )c,若(2 )cab,则 5 2 【解答】解:(1,2)a ,(2, 2)b ,2(5, 2)ab,(1, )c, (2 )cab, 可得520,解得 5 2 故答案为: 5 2 14 (
24、5 分)函数 1 ( )sin cossin()cos 22 f xxxxx ,则( )f x的最小值为 2 2 【解答】解:因为 1 ( )sin cossin()cos 22 f xxxxx 11cos21 sin2 222 x x 2 sin(2) 24 x , 所以当22 42 xk ,kZ,即 8 xk ,kZ时, 2 ( ) 2 min f x ,即( )f x的最 小值为 2 2 故答案为: 2 2 15 (5 分)若点(2,1)A在直线10mxny 上,且0m ,0n 则 11 mn 的取值范围为 32 2,) 第 11 页(共 18 页) 【解答】解:根据题意,点(2,1)A
25、在直线10mxny 上,则有21mn, 11112 ()(2)3 mn mn mnmnnm , 又由0m ,0n ,则 22 22 2 mnmn nmnm ,当且仅当2nm时等号成立, 则有 11 32 2 mn , 故 11 mn 的取值范围为32 2,), 故选:32 2,) 16 (5 分)已知函数( )333 xx f x ,若函数( ) |( )|log (2)(0 a g xf xxa且1)a 在区 间 1,1上有 4 个不同的零点,则实数a的取值范围是 27,) 【解答】 解: 函数( ) |( )|log (2) a g xf xx的零点即为函|( )|yf x与log (2)
26、 a yx在 1, 1上有四个交点, 易知偶函数( )33 xx f x f(1) 11 33 33 , 1 ( 1) 3 f ,函数log (2 a yx恒过点( 1,0), 显然当01a时,函数|( )|yf x与log (2) a yx在 1,1上没有交点 当 1 log 3 3 a ,即 3 log3a,解得27a, 故函数|( )|yf x与log (2) a yx在 1,1上有四个交点,则27a, 故a取值范围为:27,) 故答案为:27,) 四、解答题(本大题共四、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分,解答题应写出文字说明
27、、证明过程或演算步骤) 第 12 页(共 18 页) 17 (10 分)在函数( )f x的图象关于点( 6 ,)b对称; 函数( )f x在 4 , 4 上的最小值为 1 2 ; 函数( )f x的图象关于直线 12 x 对称 这三个条件中任选两个补充在下面的问题中,再解答这个问题 已知函数( )sin(2)(|) 2 f xxb ,若满足条件_与_ (1)求函数( )f x的解析式; (2)若将函数( )yf x的图象上点的横坐标缩短到原来的 1 2 ,纵坐标不变,再将所得图象 向右平移 8 个单位,得到函数( )yg x的图象,求函数( )g x的单调递减区间 【解答】解: (1)若选,
28、 因为函数( )f x的图象关于点( 6 ,)b对称, 所以2() 6 k , 3 k ,kZ, 又| 2 , 所以 3 , 因为 44 x 剟,所以 5 2 636 x 剟, 所以 1 sin(2) 1 23 x 剟, 所以 11 ( ) 22 min f xb ,解得1b , 所以( )sin(2)1 3 f xx 若选, 因为函数( )f x的图象关于直线 12 x 对称, 所以2 122 k ,解得 3 k ,kZ, 又| 2 , 所以 3 , 因为 44 x 剟,所以 5 2 636 x 剟, 第 13 页(共 18 页) 所以 1 sin(2) 1 23 x 剟, 所以 11 (
29、) 22 min f xb ,解得1b , 所以( )sin(2)1 3 f xx (2)sin(2)1 3 yx 横坐标缩短到原来的 1 2 ,纵坐标不变,可得函数sin(4)1 3 yx 的 图象, 再将所得图象向右平移 8 个单位,得到函数( )sin(4)1 6 yg xx 的图象, 令 3 242 262 kxk 剟,kZ,解得 115 26212 kxk 剟,kZ, 所以函数( )g x的单调递减区间为 1 2 6 k , 15 212 k ,kZ 18(12 分) 已知数列 n a为等差数列, 数列 n b是各项均为正数的等比数列, 满足 21 3ab, 59 26aa, 314
30、 ba (1)求数列 n a, n b的通项公式; (2)求数列 nn a b的前n项和 n T 【解答】解: (1)设等差数列 n a的公差为d,等比数列 n b的公比为q,(0)q , 由题意可得 2 59 3 26 a aa ,即 1 1 3 21226 ad ad ,解得 1 1a ,2d , 1 (1)21 n aandn, 又 1 314 3 27 b ba ,解得 2 9q , 3q, 1 1 3 nn n bbq , (2)(21) 3n nn a bn, 23 1 33 35 3(21) 3n n Tn , 2341 31 33 35 3(21) 3n n Tn , 两式相减
31、可得 2341 232(3333 )(21) 3 nn n Tn , 11 339(21) 3 nn n , 第 14 页(共 18 页) 1 6(22 )3nn , 1 3(1)3n n Tn 19 (12 分)已知函数 32 ( )2 2 a f xxxbx (1)若函数( )f x在点(1,f(1))处的切线方程为3210 xy ,求a,b的值; (2) 当02a,0b 时, 记( )f x在区间0,1上的最大值为M, 最小值为N, 求MN 的取值范围 【解答】解: (1)由题意知: 2 ( )3f xxaxb,f(1)2, 3 (1) 2 f , 即 3 3 2 122 2 ab a
32、b ,解得 1 1 2 a b (2)当02a,0b 时, 32 1 ( ) 2 f xxax,故 2 ( )3f xxax, 令( )0fx,即 2 30 xax,解得0 3 a x 由于02a, 所以 2 01 33 a 所以函数( )f x爱(0,) 3 a 上单调递减,在(,1) 3 a 上单调递增, 所以 3 ( )( )2 354 min aa f xf, 即 3 2 54 a N , 由于(0)2f,f(1)3 2 a ,(0)ff(1) 2 0 2 a , 所以 33 ( )321 254542 max aaaa f x 令g(a) 3 1(02) 542 aa a, 所以:
33、22 19 ( ) 18218 aa g a ,即函数g(a)在(0,2)上单调递减, 所以g(2)g(a)(0)g,即 4 ( )1 27 g a, 所以MN的取值范围为 4 (,1) 27 20 (12 分)ABC的内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,且1a , 第 15 页(共 18 页) cos2sincoscABC (1)求A; (2)若A,B,C成等差数列,求ABC的面积 【解答】解: (1)因为1a ,cos2sincoscABC, 所以cos2 sincoscAaBaC, 由正弦定理可得sincos2sinsinsincosCAABAC, 所以sincossincos2s
34、insinCAACAB,即sin2sinsinBAB, 因为sin0B , 所以 2 sin 2 A , 又(0, )A, 所以 4 A ,或 3 4 (2)因为A,B,C成等差数列,则2BAC, 又ABC, 所以 3 B , 4 A , 在ABC中,由正弦定理 sinsin ab AB ,可得 1 23 22 b ,解得 6 2 b , 又 23162 sinsin()sin()sincoscossin() 3434342224 CAB , 所以 1166233 sin1 22248 ABC SabC 21 (12 分)已知数列 n a前n项和 n S满足 11 3,1 44,2 n n n
35、 S aan (1)设 1 2 nnn baa ,求数列 n b的通项公式; (2)若 2 log 5 2 n n b C ,数列 1 1 nn C C 的前n项和为 n T,求证: 4 2 3 n T 【解答】 (1)解:1n 时, 11 3aS, 当2n 时, 21112 44Saaaa, 21 4416aa, 121 210baa, 第 16 页(共 18 页) 当2n时, 11 44 nn Saa , 11 44 nn Saa , 11 44 nnn aaa ,即 11 22() nnnn aaaa , 即 1 2 nn bb , n b是以 10 为首项,以 2 为公比的等比数列,
36、1 10 25 2 nn n b (2)证明: 22 loglog 2 5 2 n n b C 1 2 1 2 n n , 1 1111 1111 ()() 2222 nn C C nnnn , 12231 111111111111 2 111111111 11221 222222222 n nn T CCC CC C nnnn , 1n, 12 0 1 3 2 n , 41 22 1 3 2 n ,即 4 2 3 n T 22 (12 分)设函数 2 ( )(2)f xxaxalnx,( )24g xalnxxb,其中0a ,bR (1)讨论函数( )f x的单调性; (2)若2a 且方程(
37、 )( )f xg x在(1,)上有两个不相等的实数根 1 x, 2 x,求证: 12 ()0 2 xx f 【解答】解: (1) 2(1)() 2 ( )2(2)(0) a xx a fxxax xx , ( )1 2 a i即02a时,令( )0fx,解得:0 2 a x或1x , 令( )0fx,解得:1 2 a x, 故( )f x在(0,) 2 a 和(1,)递增,在( 2 a ,1)递减, ( )1 2 a ii即2a 时, 2 2(1) ( )0 x fx x 恒成立, ( )f x在(0,)递增, 第 17 页(共 18 页) ()1 2 a iii即2a 时, 令( )0fx
38、,解得:01x或 2 a x , 令( )0fx,解得:1 2 a x, 故( )f x在(0,1)和( 2 a ,)递增,在(1, ) 2 a 递减, 综上:( )02ia时,( )f x在(0,) 2 a 和(1,)递增,在( 2 a ,1)递减, ( )2ii a 时,( )f x在(0,)递增, ()2iii a 时,( )f x在(0,1)和( 2 a ,)递增,在(1, ) 2 a 递减; (2) 证明: 方程( )( )f xg x即 2 (2)xaxalnxb在(1,)上有两个不相等的实数根 1 x, 2 x, 不妨设 12 1xx,则 2 111 (2)xaxalnxb, 2
39、 222 (2)xaxalnxb, 得: 22 1122 1122 22xxxx a xlnxxlnx ,2a ,由(1)知: ( )f x在(1, ) 2 a 递减,在( 2 a ,)递增, 即(1,) 2 a x时,( )0fx,( 2 a x,)时,( )0fx, 故若证 12 ()0 2 xx f ,只需证明 12 22 xxa , 即证 12 axx, 只需证明 22 1122 12 1122 22xxxx xx xlnxxlnx , 12 xx, 1122 xlnxxlnx, 即需证 22 1122121122 22()()xxxxxxxlnxxlnx, 整理得: 12 12 12 2()xx lnxlnx xx , 即证 1 12 1 2 2 2(1) 1 x xx ln x x x ,令 1 2 (0,1) x t x , 2(1) ( ) 1 t h tlnt t , 2 2 (1) ( )0 (1) t h t t t ,显然( )h t在(0,1)递增, 第 18 页(共 18 页) 故( )h th(1)0, 故 12 ()0 2 xx f ,得证