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2019届高考数学二轮复习第二部分专项专题二 第2讲 解三角形(教师版).docx

1、 正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理 在ABC 中, a sin A b sin B c sin C2R(R 为ABC 的外接圆半径); 变形:a2Rsin A,sin A a 2R, abcsin Asin Bsin C 等 (2)余弦定理 在ABC 中,a2b2c22bccos A; 变形:b2c2a22bccos A,cos Ab 2c2a2 2bc (3)三角形面积公式 SABC1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B 热点一 利用正(余)弦定理进行边

2、角计算 【例 1】 (2018 株洲质检)在?中, 角?、 ?、 ?的对边分别是?、 ?、 ?, 已知cos2? = ? 1 3, ? = 3, sin? = 6sin? ()求?的值; ()若角?为锐角,求?的值及?的面积 解()由cos2? = 1 ? 2sin2?得sin2? = 2 3, 因为? (0,?),sin? = 6 3 , 由sin? = 6sin?,sin? = 1 3, 考向预测考向预测 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 热点热点题型题型 专题二专题二 第第 2 2 讲讲 解解三角三角形形 三角三角函数、函数、解三角形、平面向量解三角形、平面向量与与数列数列 由正弦定理

3、? sin? = ? sin?得? = 32 ()角?为锐角,则cos? = 3 3 , 由余弦定理得?2? 2? ? 15 = 0即? = 5,或? = ?3(舍去) , 所以?的面积?= 1 2?sin? = 52 2 探究提高 1高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算,或将两个定理与 三角恒等变换相结合综合解三角形 2关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变 换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的 突破口 【训练 1】 (2017 全国卷)ABC 的内

4、角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin(AC)8sin2B 2 (1)求 cos B; (2)若 ac6,ABC 面积为 2,求 b 解 (1)由题设及 ABC,得 sin B8sin2B 2,故 sin B4(1cos B) 上式两边平方,整理得 17cos2B32cos B150, 解得 cos B1(舍去),cos B15 17 (2)由 cos B15 17,得 sin B 8 17, 故 SABC1 2acsin B 4 17ac 又 SABC2,则 ac17 2 由余弦定理及 ac6 得 b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)362 17 2

5、? ? ? ? 115 17 4 所以 b2 热点二 应用正、余弦定理解决实际问题 【例 2】 (2017 衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度: 在 C 处(点 C 在水平地面下方,O 为 CH 与水平地面 ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观 察点 A,B 两地相距 100 米,BAC60 ,其中 A 到 C 的距离比 B 到 C 的距离远 40 米A 地测得该仪器在 C 处的俯角为OAC15 ,A 地测得最高点 H 的仰角为HAO30 ,则该仪器的垂直弹射高度 CH 为( ) A210( 6 2)米 B140 6米 C210

6、2米 D20( 6 2)米 解析 由题意,设 ACx 米,则 BC(x40)米, 在ABC 内,由余弦定理:BC2BA2CA22BA CA cosBAC, 即(x40)2x210 000100x,解得 x420 米 在ACH 中,AC420 米,CAH30 15 45 ,CHA90 30 60 , 由正弦定理: CH sinCAH AC sinAHC 可得 CHAC sinCAH sinAHC140 6(米) 答案 B 探究提高 1实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理 求解 2实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作

7、出这些三角形,先解够 条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得 出所要求的解 【训练 2】 (2018 衡水中学)如图,一山顶有一信号塔CD(CD所在的直线与地平面垂直) ,在山脚A处测得 塔尖C的仰角为?,沿倾斜角为?的山坡向上前进l米后到达B处,测得C的仰角为? (1)求BC的长; (2)若24l ?, 45?, 75?, 30?,求信号塔CD的高度 解 ( 1 ) 在ABC中 ,CAB?,?ABC?,ACB? 由 正 弦 定 理 , ? ? sin sin BCl ? ? ? ? ? (2) 由 (1) 及条件知, ? ? ?

8、sin 1262 sin BCl ? ? ? ? ? ,9015BCD?,45CBD?, 120BDC? 由正弦定理得 sin45 248 3 sin120 CDBC ? ? ? 热点三 解三角形与三角函数的交汇问题 【例 3】 (2017 长沙质检)已知函数 f(x)2 3sin xcos x2cos2x1,xR (1)求函数 f(x)的最小正周期和最小值; (2)在ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c 3,f(C)0,sin B2sin A,求 a,b 的值 解 (1)f(x) 3sin 2x2cos2x1 3sin 2x(cos 2x1)1 3sin 2xcos 2

9、x22sin? ? ? ? 2x 6 2, 所以函数 f(x)的最小正周期 T2 2 ,最小值为4 (2)因为 f(C)2sin? ? ? ? 2C 6 20, 所以 sin? ? ? ? 2C 6 1,又 C(0,), 知 62C 6 11 6 ,所以 2C 6 2,得 C 3 因为 sin B2sin A,由正弦定理得 b2a, 由余弦定理得,c2a2b22abcos Ca24a22a23a2,又 c 3,所以 a1,b2 探究提高 1解三角形与三角函数的综合题,其中,解决与三角恒等变换有关的问题,优先考虑角与角之间 的关系;解决与三角形有关的问题,优先考虑正弦、余弦定理 2求解该类问题,

10、易忽视 C 为三角形内角,未注明 C 的限制条件导致产生错解 【训练 3】(2018 聊城一中)已知?(?) = ? ? ? ? ? 1,其中向量? ? = (sin2?,2cos?),?= (3,cos?),(? ?) (1)求?(?)的最小正周期和最小值; (2)在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为?、?、?,若3 4 A f ? ? ? ? ,13a ?,4b ?,求边长?的值 解 (1) f(x)=(sin2x,2cosx) (3,cosx)-1=3sin2x+cos2x=2sin(2x? 6) , f(x)的最小正周期为 ,最小值为-2 (2) f(? 4)=2sin( ? 2

11、 ? 6)=3sin( ? 2 ? 6) 3 2 , ? 2 ? 6 ? 3 或 2? 3 A? 3或? = ? (舍去) , 由余弦定理得 a2b2c22bccosA,即 1316c2-4c,即 c2-4c+3=0, 从而 c =1 或 c=3 1(2018 全国 II 卷)在?中,cos ? 2 = 5 5 ,BC=1,AC=5,则 AB=( ) A42 B30 C29 D25 【解题思路】先根据二倍角余弦公式求 cosC,再根据余弦定理求 AB 【答案】因为cos? = 2cos2 ? 2 ? 1 = 2 ( 5 5 )2? 1 = ? 3 5, 所以?2= ?2+ ?2? 2?cos?

12、 = 1 + 25 ? 2 1 5 (? 3 5) = 32, ? = 42,选 A 点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间 的关系,从而达到解决问题的目的 2(2017 全国卷)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0,a2, c 2,则 C( ) A 12 B 6 C 4 D 3 【解题思路】 由BA C?消去角B,再化简即可得到A,再利用正弦定理求C 【答案】 由题意得 sin(AC)sin A(sin Ccos C)0, sin Acos Ccos Asin Csi

13、n Asin Csin Acos C0, 则 sin C(sin Acos A) 2sin Csin? ? ? ? A 4 0, 因为 sin C0,所以 sin? ? ? ? A 4 0, 又因为 A(0,),所以 A 4,所以 A 3 4 由正弦定理 a sin A c sin C,得 2 sin 3 4 2 sin C, 则 sin C1 2,得 C 6故选 B 3(2018 全国 III 卷) ?的内角? , ? , ?的对边分别为?,?,?,若 ?的面积为? 2+?2?2 4 , 则? =( ) A 2 B 3 C 4 D 6 【解题思路】利用面积公式?= 1 2?和余弦定理? 2

14、+ ?2? ?2= 2?进行计算可得 【答案】由题可知?= 1 2? = ?2+?2?2 4 ,所以?2+ ?2? ?2= 2absinC 由余弦定理?2+ ?2? ?2= 2?,所以sinC = cosC 限时训练限时训练 (45 分钟) 经典常规题 C (0,), C = ? 4,故选 C 点睛:本题主要考查解三角形,考查了三角形的面积公式和余弦定理。 4(2018 全国 I 卷)?的内角? , ? , ?的对边分别为? , ? , ?,已知?sin? + ?sin? = 4?sin?sin?, ?2+ ?2? ?2= 8,则?的面积为_ 【解题思路】 首先利用正弦定理将题中的式子化为si

15、n?sin? + sin?sin? = 4sin?sin?sin?, 化简求得sin? = 1 2, 利用余弦定理,结合题中的条件,可以得到2?cos? = 8,可以断定 A 为锐角,从而求得cos? = 3 2 ,进一步求 得? = 83 3 ,利用三角形面积公式求得结果 【答案】因为?sin? + ?sin? = 4?sin?sin?, 结合正弦定理可得sin?sin? + sin?sin? = 4sin?sin?sin?, 可得sin? = 1 2,因为? 2 + ?2? ?2= 8, 结合余弦定理?2= ?2+ ?2? 2?, 可得2?cos? = 8, 所以 A 为锐角,且cos? = 3 2 , 从而求得? = 83 3 , 所以?的面积为? = 1 2?sin? = 1 2 ? 83 3 ? 1 2 = 23 3 ,故答案是23 3 5(2018 全国 I 卷)在平面四边形?中,? = 90,? = 45,? = 2,? = 5 (1)求cos?; (2)若? = 22,求? 【解题思路】(1)根据正弦定理可以得到 ? sin? = ? sin?,根据题设条件,求得sin? = 2 5 ,结合角的范围, 利用同角三角函数关系式,求得co

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