1、 正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理 在ABC 中， a sin A b sin B c sin C2R(R 为ABC 的外接圆半径)； 变形：a2Rsin A，sin A a 2R， abcsin Asin Bsin C 等 (2)余弦定理 在ABC 中，a2b2c22bccos A； 变形：b2c2a22bccos A，cos Ab 2c2a2 2bc (3)三角形面积公式 SABC1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B 热点一 利用正(余)弦定理进行边
2、角计算 【例 1】 (2018 株洲质检)在?中， 角?、 ?、 ?的对边分别是?、 ?、 ?， 已知cos2? = ? 1 3， ? = 3， sin? = 6sin? （）求?的值； （）若角?为锐角，求?的值及?的面积 解（）由cos2? = 1 ? 2sin2?得sin2? = 2 3， 因为? (0，?)，sin? = 6 3 ， 由sin? = 6sin?，sin? = 1 3， 考向预测考向预测 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 热点热点题型题型 专题二专题二 第第 2 2 讲讲 解解三角三角形形 三角三角函数、函数、解三角形、平面向量解三角形、平面向量与与数列数列 由正弦定理
3、? sin? = ? sin?得? = 32 （）角?为锐角，则cos? = 3 3 ， 由余弦定理得?2? 2? ? 15 = 0即? = 5，或? = ?3（舍去） ， 所以?的面积?= 1 2?sin? = 52 2 探究提高 1高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与 三角恒等变换相结合综合解三角形 2关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变 换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的 突破口 【训练 1】 (2017 全国卷)ABC 的内
4、角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin(AC)8sin2B 2 (1)求 cos B； (2)若 ac6，ABC 面积为 2，求 b 解 (1)由题设及 ABC，得 sin B8sin2B 2，故 sin B4(1cos B) 上式两边平方，整理得 17cos2B32cos B150， 解得 cos B1(舍去)，cos B15 17 (2)由 cos B15 17，得 sin B 8 17， 故 SABC1 2acsin B 4 17ac 又 SABC2，则 ac17 2 由余弦定理及 ac6 得 b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)362 17 2
5、? ? ? ? 115 17 4 所以 b2 热点二 应用正、余弦定理解决实际问题 【例 2】 (2017 衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度： 在 C 处(点 C 在水平地面下方，O 为 CH 与水平地面 ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观 察点 A，B 两地相距 100 米，BAC60 ，其中 A 到 C 的距离比 B 到 C 的距离远 40 米A 地测得该仪器在 C 处的俯角为OAC15 ，A 地测得最高点 H 的仰角为HAO30 ，则该仪器的垂直弹射高度 CH 为（ ） A210( 6 2)米 B140 6米 C210
6、2米 D20( 6 2)米 解析 由题意，设 ACx 米，则 BC(x40)米， 在ABC 内，由余弦定理：BC2BA2CA22BA CA cosBAC， 即(x40)2x210 000100x，解得 x420 米 在ACH 中，AC420 米，CAH30 15 45 ，CHA90 30 60 ， 由正弦定理： CH sinCAH AC sinAHC 可得 CHAC sinCAH sinAHC140 6(米) 答案 B 探究提高 1实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理 求解 2实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作
7、出这些三角形，先解够 条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得 出所要求的解 【训练 2】 (2018 衡水中学)如图，一山顶有一信号塔CD（CD所在的直线与地平面垂直） ，在山脚A处测得 塔尖C的仰角为?，沿倾斜角为?的山坡向上前进l米后到达B处，测得C的仰角为? （1）求BC的长； （2）若24l ?， 45?， 75?， 30?，求信号塔CD的高度 解 （ 1 ） 在ABC中 ，CAB?，?ABC?，ACB? 由 正 弦 定 理 ， ? ? sin sin BCl ? ? ? ? ? （2） 由 （1） 及条件知， ? ? ?
8、sin 1262 sin BCl ? ? ? ? ? ，9015BCD?，45CBD?， 120BDC? 由正弦定理得 sin45 248 3 sin120 CDBC ? ? ? 热点三 解三角形与三角函数的交汇问题 【例 3】 (2017 长沙质检)已知函数 f(x)2 3sin xcos x2cos2x1，xR (1)求函数 f(x)的最小正周期和最小值； (2)在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c 3，f(C)0，sin B2sin A，求 a，b 的值 解 (1)f(x) 3sin 2x2cos2x1 3sin 2x(cos 2x1)1 3sin 2xcos 2
9、x22sin? ? ? ? 2x 6 2， 所以函数 f(x)的最小正周期 T2 2 ，最小值为4 (2)因为 f(C)2sin? ? ? ? 2C 6 20， 所以 sin? ? ? ? 2C 6 1，又 C(0，)， 知 62C 6 11 6 ，所以 2C 6 2，得 C 3 因为 sin B2sin A，由正弦定理得 b2a， 由余弦定理得，c2a2b22abcos Ca24a22a23a2，又 c 3，所以 a1，b2 探究提高 1解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间 的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理 2求解该类问题，
10、易忽视 C 为三角形内角，未注明 C 的限制条件导致产生错解 【训练 3】(2018 聊城一中)已知?(?) = ? ? ? ? ? 1，其中向量? ? = (sin2?，2cos?)，?= (3，cos?)，(? ?) （1）求?(?)的最小正周期和最小值； （2）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为?、?、?，若3 4 A f ? ? ? ? ，13a ?，4b ?，求边长?的值 解 (1) f(x)=(sin2x，2cosx) (3，cosx)-1=3sin2x+cos2x=2sin（2x? 6） ， f(x)的最小正周期为 ，最小值为-2 (2) f(? 4)=2sin（ ? 2
11、 ? 6）=3sin（ ? 2 ? 6） 3 2 ， ? 2 ? 6 ? 3 或 2? 3 A? 3或? = ? （舍去） ， 由余弦定理得 a2b2c22bccosA，即 1316c2-4c，即 c2-4c+3=0， 从而 c =1 或 c=3 1(2018 全国 II 卷)在?中，cos ? 2 = 5 5 ，BC=1，AC=5，则 AB=（ ） A42 B30 C29 D25 【解题思路】先根据二倍角余弦公式求 cosC，再根据余弦定理求 AB 【答案】因为cos? = 2cos2 ? 2 ? 1 = 2 ( 5 5 )2? 1 = ? 3 5， 所以?2= ?2+ ?2? 2?cos?
12、 = 1 + 25 ? 2 1 5 (? 3 5) = 32， ? = 42，选 A 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间 的关系，从而达到解决问题的目的 2(2017 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2， c 2，则 C( ) A 12 B 6 C 4 D 3 【解题思路】 由BA C?消去角B，再化简即可得到A，再利用正弦定理求C 【答案】 由题意得 sin(AC)sin A(sin Ccos C)0， sin Acos Ccos Asin Csi
13、n Asin Csin Acos C0， 则 sin C(sin Acos A) 2sin Csin? ? ? ? A 4 0， 因为 sin C0，所以 sin? ? ? ? A 4 0， 又因为 A(0，)，所以 A 4，所以 A 3 4 由正弦定理 a sin A c sin C，得 2 sin 3 4 2 sin C， 则 sin C1 2，得 C 6故选 B 3(2018 全国 III 卷) ?的内角? ， ? ， ?的对边分别为?，?，?，若 ?的面积为? 2+?2?2 4 ， 则? =（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 【解题思路】利用面积公式?= 1 2?和余弦定理? 2
14、+ ?2? ?2= 2?进行计算可得 【答案】由题可知?= 1 2? = ?2+?2?2 4 ，所以?2+ ?2? ?2= 2absinC 由余弦定理?2+ ?2? ?2= 2?，所以sinC = cosC 限时训练限时训练 （45 分钟） 经典常规题 C (0，)， C = ? 4，故选 C 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。 4(2018 全国 I 卷)?的内角? ， ? ， ?的对边分别为? ， ? ， ?，已知?sin? + ?sin? = 4?sin?sin?， ?2+ ?2? ?2= 8，则?的面积为_ 【解题思路】 首先利用正弦定理将题中的式子化为si
15、n?sin? + sin?sin? = 4sin?sin?sin?， 化简求得sin? = 1 2， 利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2?cos? = 8，可以断定 A 为锐角，从而求得cos? = 3 2 ，进一步求 得? = 83 3 ，利用三角形面积公式求得结果 【答案】因为?sin? + ?sin? = 4?sin?sin?， 结合正弦定理可得sin?sin? + sin?sin? = 4sin?sin?sin?， 可得sin? = 1 2，因为? 2 + ?2? ?2= 8， 结合余弦定理?2= ?2+ ?2? 2?， 可得2?cos? = 8， 所以 A 为锐角，且cos? = 3 2 ， 从而求得? = 83 3 ， 所以?的面积为? = 1 2?sin? = 1 2 ? 83 3 ? 1 2 = 23 3 ，故答案是23 3 5(2018 全国 I 卷)在平面四边形?中，? = 90，? = 45，? = 2，? = 5 （1）求cos?； （2）若? = 22，求? 【解题思路】(1)根据正弦定理可以得到 ? sin? = ? sin?，根据题设条件，求得sin? = 2 5 ，结合角的范围， 利用同角三角函数关系式，求得co
