有理数的乘方及混合运算（基础）知识讲解.doc

1、 1 有理数的乘方及混合运算有理数的乘方及混合运算（基础基础） 撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1理解有理数乘方的定义； 2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 3. 进一步掌握有理数的混合运算. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、有理数的乘方有理数的乘方 定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power) 即有： n a aaa n 个 .在 n a中，a叫做底数， n 叫做指数. 要点诠释：要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果 （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个

2、数时，要用括号括起来 （3）一个数可以看作这个数本身的一次方例如，5 就是 51，指数 1 通常省略不写 要点二、要点二、乘方乘方运算运算的符号法则的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0 的任何正整 数次幂都是 0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 要点诠释：要点诠释： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值 (2)任何数的偶次幂都是非负数 要点三、要点三、有理数有理数的混合运算的混合运算 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；

3、(3)如有括 号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 要点诠释：要点诠释： (1)有理数运算分三级， 并且从高级到低级进行运算， 加减法是第一级运算， 乘除法是第二级运算， 乘方和开方(以后学习)是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行 (3)在运算过程中注意运算律的运用 【典型例题】【典型例题】 类型一、有理数乘方类型一、有理数乘方 1. 把下列各式写成幂的形式： (1) 2222 5555 ； (2)(-3.7)(-3.7)(-3.7)(-3.7)55； (3)xxxxxxyy 【答案与解析】 (1) 44 2

4、22222 555555 ； (2)(-3.7)(-3.7)(-3.7)(-3.7)55(-3.7)452； 2 (3) 62 xxxxxxyyx y 【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号. 【高清课堂：【高清课堂：有理数的乘方及混合运算有理数的乘方及混合运算 35684356849 9 有理数乘方有理数乘方的性质的性质】 2计算： （1 1） 3 ( 4) （2 2） 3 4 （3 3） 4 ( 3) （4 4） 4 3 （5） 3 3 5 （6） 3 3 5 （7） 2 2 223 3（） （8） 2 2 223 3 【答案与解析】 （1） 3 ( 4)( 4) ( 4)

5、( 4)64 ； （2） 3 44 4 464 ； （3） 4 ( 3)( 3) ( 3) ( 3) ( 3)81 ； （4） 4 33 3 3 381 ； （5） 3 3 5 33327 555125 ； （6） 3 3 5 3 3 327 55 ； （7）3（2） 2 2 2 636； （8） 2 2 223 32 918 【总结升华】()na与 n a不同，()()() n n aaaa 个 ，而 n n aa aa 个 表示a的 n 次幂的相反数 举一反三：举一反三： 【变式 1】计算：(1)(-4)4 (2)2 3 (3) 2 2 5 (4)(-1.5)2 【答案】 (1)(-4)4

6、=(-4)(-4)(-4)(-4)=256； (2)23222=8； (3) 2 2224 55525 (4) (-1.5) 2=(-1.5)(-1.5)=2.25 【变式 2】比较(-5) 3与-53的异同 【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同； 3 不同点：(-5) 3表示-5 的 3 次方，即(-5)(-5)(-5)-125，而-53表示 5 的 3 次方的相反数，即-53 -(555)因此，它们的底数不同，表示的意义不同 类型二、乘方的符号法则类型二、乘方的符号法则 3不做运算，判断下列各运算结果的符号 (-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009， 5 5 3 ，-(-2

7、)2010 【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得： (-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负； 5 5 3 运算的结果是 正；-(-2)2010运算的结果是负 【总结升华】 “一看底数，二看指数” ，当底数是正数时，结果为正；当底数是 0 时，结果是 0；当底 数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负 举一反三：举一反三： 【变式】 （南充南充）计算：(-1)2009的结果是( ) A-l B1 C-2009 D2009 【答案】A 类型类型三、有理数的混合运算三、有理数的混合运算 【高清课堂：【高清课

8、堂：有理数的乘方及混合运算有理数的乘方及混合运算 356849356849 典型例题典型例题 1 1】 4.计算： （1 1） 2 21 1 1- 1-0.51- 1-0.5 2- -32- -3 3 3 （2 2） 3 3 4 4 1 1 -1 - -1 - 2- -32- -3 6 6 （3 3） 3 3 20112011 1111 (1+-2.75) (1+-2.75) (-24)+(-1)- -2(-24)+(-1)- -2 3838 （4 4） 3 3 3232 1111 -+|-2 -3|-+|-2 -3| (-0.1)(-0.2)(-0.1)(-0.2) 【答案与解析】 （1）法

9、一：原式 517 (1) ( 7)( 7) 666 ； 法二：原式= 1117 (1 1) (29)( 7) 2366 （2）原式= 1 1 -1- -1- 2- -272- -27 6 6 = 1 1 -1- -1- 2929 6 6 = 3535 - - 6 6 (3) 原式= 41114111 (+-) (+-) (-24)-1-8(-24)-1-8 384384 =-32-3+66-9=22 (4) 原式 1111 -+|-8-3|-+|-8-3| -0.0010.04-0.0010.04 = -1000-25+11= -1000-25+11= -1014= -1014 【总结升华】有

10、理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提 4 举一反三：举一反三： 【变式 1】计算： 42 1 1(1 0.5)2( 3) 3 【答案】原式 11115 1(29)1( 7)175 23666 【变式 2】计算： 2 42 1 ( 2)( 4)1 2 【答案】原式 111 16( 4)11612 444 【高清课堂：【高清课堂：有理数的乘方及混合运算有理数的乘方及混合运算 356849356849 典型例题典型例题 2 2（2 2） 】 5. 20032004 ( 2)( 2) （ ） （A）2 （B） 4007 ( 2) （C） 2003 2 （D） 2003 2 【答

11、案】C 【解析】逆用分配律可得： 20032004200320032003 ( 2)( 2)( 2)1 ( 2)( 2)2 ，所以答案为： C 【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式. 举一反三：举一反三： 【变式】计算： 77 34 ()() 43 【答案】 777 3434 ()()() ()1 4343 类型四、探索规律类型四、探索规律 6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第 1 次把两头捏在一起抻拉得到两根面 条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第 3 次捏合抻拉得到 根 面条，第 5 次捏合抻拉得

12、到 根面条，第n次捏合抻拉得到 根面条，要想得到 64 根细面条， 需 次捏合抻拉. 第 1 次 第 2 次 第 3 次 【答案】8; 32; 2n; 6 【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的 2 倍，所以可得到： 第 1 次： 1 22；第 2 次： 2 24；第 3 次： 3 28；第n次：2n. 5 第 3 次捏合抻拉得到面条根数： 3 2，即 8 根；第 5 次得到： 5 2，即 32 根；第n次捏合抻拉得到2n； 因为 6 264，所以要想得到 64 根面条，需要 6 次捏合抻拉. 【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的 问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循 举一反三：举一反三： 【变式】(2009肇庆)已知 212，224，238，2416，2532，观察上面的规律，试猜想 22008 的末位数字是_ 【答案】6