1、 1 有理数的乘方及混合运算有理数的乘方及混合运算(基础基础) 撰稿:孙景艳 审稿:赵炜 【学习目标】【学习目标】 1理解有理数乘方的定义; 2.掌握有理数乘方运算的符号法则,并能熟练进行乘方运算; 3. 进一步掌握有理数的混合运算. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、有理数的乘方有理数的乘方 定义:求 n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power) 即有: n a aaa n 个 .在 n a中,a叫做底数, n 叫做指数. 要点诠释:要点诠释: (1)乘方与幂不同,乘方是几个相同因数的乘法运算,幂是乘方运算的结果 (2)底数一定是相同的因数,当底数不是单纯的一个
2、数时,要用括号括起来 (3)一个数可以看作这个数本身的一次方例如,5 就是 51,指数 1 通常省略不写 要点二、要点二、乘方乘方运算运算的符号法则的符号法则 (1)正数的任何次幂都是正数; (2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数; (3)0 的任何正整 数次幂都是 0; (4)任何一个数的偶次幂都是非负数,即 要点诠释:要点诠释: (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样,首先应确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值 (2)任何数的偶次幂都是非负数 要点三、要点三、有理数有理数的混合运算的混合运算 有理数混合运算的顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;
3、(3)如有括 号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行 要点诠释:要点诠释: (1)有理数运算分三级, 并且从高级到低级进行运算, 加减法是第一级运算, 乘除法是第二级运算, 乘方和开方(以后学习)是第三级运算; (2)在含有多重括号的混合运算中,有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行 (3)在运算过程中注意运算律的运用 【典型例题】【典型例题】 类型一、有理数乘方类型一、有理数乘方 1. 把下列各式写成幂的形式: (1) 2222 5555 ; (2)(-3.7)(-3.7)(-3.7)(-3.7)55; (3)xxxxxxyy 【答案与解析】 (1) 44 2
4、22222 555555 ; (2)(-3.7)(-3.7)(-3.7)(-3.7)55(-3.7)452; 2 (3) 62 xxxxxxyyx y 【总结升华】乘方时,当底数是分数、负数时,应加上括号. 【高清课堂:【高清课堂:有理数的乘方及混合运算有理数的乘方及混合运算 35684356849 9 有理数乘方有理数乘方的性质的性质】 2计算: (1 1) 3 ( 4) (2 2) 3 4 (3 3) 4 ( 3) (4 4) 4 3 (5) 3 3 5 (6) 3 3 5 (7) 2 2 223 3() (8) 2 2 223 3 【答案与解析】 (1) 3 ( 4)( 4) ( 4)
5、( 4)64 ; (2) 3 44 4 464 ; (3) 4 ( 3)( 3) ( 3) ( 3) ( 3)81 ; (4) 4 33 3 3 381 ; (5) 3 3 5 33327 555125 ; (6) 3 3 5 3 3 327 55 ; (7)3(2) 2 2 2 636; (8) 2 2 223 32 918 【总结升华】()na与 n a不同,()()() n n aaaa 个 ,而 n n aa aa 个 表示a的 n 次幂的相反数 举一反三:举一反三: 【变式 1】计算:(1)(-4)4 (2)2 3 (3) 2 2 5 (4)(-1.5)2 【答案】 (1)(-4)4
6、=(-4)(-4)(-4)(-4)=256; (2)23222=8; (3) 2 2224 55525 (4) (-1.5) 2=(-1.5)(-1.5)=2.25 【变式 2】比较(-5) 3与-53的异同 【答案】相同点:它们的结果相同,指数相同; 3 不同点:(-5) 3表示-5 的 3 次方,即(-5)(-5)(-5)-125,而-53表示 5 的 3 次方的相反数,即-53 -(555)因此,它们的底数不同,表示的意义不同 类型二、乘方的符号法则类型二、乘方的符号法则 3不做运算,判断下列各运算结果的符号 (-2)7,(-3)24,(-1.0009)2009, 5 5 3 ,-(-2
7、)2010 【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断,可得: (-2)7运算的结果是负;(-3)24运算的结果为正;(-1.0009)2009运算的结果是负; 5 5 3 运算的结果是 正;-(-2)2010运算的结果是负 【总结升华】 “一看底数,二看指数” ,当底数是正数时,结果为正;当底数是 0 时,结果是 0;当底 数是负数时,再看指数,若指数为偶数,结果为正;若指数是奇数,结果为负 举一反三:举一反三: 【变式】 (南充南充)计算:(-1)2009的结果是( ) A-l B1 C-2009 D2009 【答案】A 类型类型三、有理数的混合运算三、有理数的混合运算 【高清课堂:【高清课
8、堂:有理数的乘方及混合运算有理数的乘方及混合运算 356849356849 典型例题典型例题 1 1】 4.计算: (1 1) 2 21 1 1- 1-0.51- 1-0.5 2- -32- -3 3 3 (2 2) 3 3 4 4 1 1 -1 - -1 - 2- -32- -3 6 6 (3 3) 3 3 20112011 1111 (1+-2.75) (1+-2.75) (-24)+(-1)- -2(-24)+(-1)- -2 3838 (4 4) 3 3 3232 1111 -+|-2 -3|-+|-2 -3| (-0.1)(-0.2)(-0.1)(-0.2) 【答案与解析】 (1)法
9、一:原式 517 (1) ( 7)( 7) 666 ; 法二:原式= 1117 (1 1) (29)( 7) 2366 (2)原式= 1 1 -1- -1- 2- -272- -27 6 6 = 1 1 -1- -1- 2929 6 6 = 3535 - - 6 6 (3) 原式= 41114111 (+-) (+-) (-24)-1-8(-24)-1-8 384384 =-32-3+66-9=22 (4) 原式 1111 -+|-8-3|-+|-8-3| -0.0010.04-0.0010.04 = -1000-25+11= -1000-25+11= -1014= -1014 【总结升华】有
10、理数的混合运算,确定运算顺序是关键,细心计算是运算正确的前提 4 举一反三:举一反三: 【变式 1】计算: 42 1 1(1 0.5)2( 3) 3 【答案】原式 11115 1(29)1( 7)175 23666 【变式 2】计算: 2 42 1 ( 2)( 4)1 2 【答案】原式 111 16( 4)11612 444 【高清课堂:【高清课堂:有理数的乘方及混合运算有理数的乘方及混合运算 356849356849 典型例题典型例题 2 2(2 2) 】 5. 20032004 ( 2)( 2) ( ) (A)2 (B) 4007 ( 2) (C) 2003 2 (D) 2003 2 【答
11、案】C 【解析】逆用分配律可得: 20032004200320032003 ( 2)( 2)( 2)1 ( 2)( 2)2 ,所以答案为: C 【总结升华】当几项均为幂的形式,逆用分配律提出共同的因数时,要提指数较小的幂的形式. 举一反三:举一反三: 【变式】计算: 77 34 ()() 43 【答案】 777 3434 ()()() ()1 4343 类型四、探索规律类型四、探索规律 6.你见过拉面馆的师傅拉面吗?他们用一根粗的面条,第 1 次把两头捏在一起抻拉得到两根面 条,再把两头捏在一起抻拉,反复数次,就能拉出许多根细面条,如下图,第 3 次捏合抻拉得到 根 面条,第 5 次捏合抻拉得
12、到 根面条,第n次捏合抻拉得到 根面条,要想得到 64 根细面条, 需 次捏合抻拉. 第 1 次 第 2 次 第 3 次 【答案】8; 32; 2n; 6 【解析】由题意可知,每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的 2 倍,所以可得到: 第 1 次: 1 22;第 2 次: 2 24;第 3 次: 3 28;第n次:2n. 5 第 3 次捏合抻拉得到面条根数: 3 2,即 8 根;第 5 次得到: 5 2,即 32 根;第n次捏合抻拉得到2n; 因为 6 264,所以要想得到 64 根面条,需要 6 次捏合抻拉. 【总结升华】解答此类问题的方法一般是:从所给的特殊情形入手,再经过猜想归纳,从看似杂乱的 问题中找出内在的规律,使问题变得有章可循 举一反三:举一反三: 【变式】(2009肇庆)已知 212,224,238,2416,2532,观察上面的规律,试猜想 22008 的末位数字是_ 【答案】6