1、函数单调性的判函数单调性的判定和定和证明方法证明方法 （一） 、定义法定义法 步骤：取值取值，设设 x 1 x 2 , 并是某个区间上任意二并是某个区间上任意二值值; 作差作差：；或或作作商：商： , ,0； 变形变形 向有利于判断差值符号的方向变形；向有利于判断差值符号的方向变形；, ,0 向向有有 利于判断商的值是否大于利于判断商的值是否大于 1 1 方向方向变形变形； （常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解； 2、 通分， 当原函数是分式函数时， 作差后往往进行通分再进行因式分解； 3、 配方， 当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子
2、有理化，当原函 数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等） ； 定号定号，判断，判断的正负符号，的正负符号，当符号不确定时，当符号不确定时，需需进行进行分类讨论分类讨论； 下结论下结论，根据函数单调性的定义下结论。，根据函数单调性的定义下结论。 作差法： 例例 1 1.判断函数在(1，)上的单调性，并证明 解：解：设1x1x2， 则 f(x1)f(x2) 1x1x2， x1x20，x210. 当a0 时，f(x1)f(x2)0， 即f(x1)f(x2)， 函数yf(x)在(1，)上单调递增 当a0， 即f(x1)f(x2)， 函数yf(x)在(1，)上单调递减 例例 2.证明函数在区间和上是
3、增函数；在 上为减函数。 （增两端，减中间）（增两端，减中间） 证明：设，则 因为，所以, 所以， 所以 所以 设 则， 因为， 所以， 所以 所以 同理，可得 作商法： 例例 3 3. . 设函数 y=f（x）定义在 R 上，对于任意实数 m，n，恒有 f（m+n）=f（m）f（n） 且当 x0 时，0f（x）1 （1）求证：f（0）=1 且当 x0 时，f（x）1 （2）求证：f（x）在 R 上是减函数 证明：（1）对于任意实数 m，n，恒有 f（m+n）=f（m）f（n）， 令 m=1，n=0，可得 f（1）=f（1）f（0）， 当 x0 时，0f（x）1，f（1）0 f（0）=1 令
4、m=x0，n=-x0， 则 f（m+n）=f（0）=f（-x）f（x）=1， f（-x）f（x）=1， 又-x0 时，0f（-x）1， f(x)= 1 f(-x) 1 （1）设 x1x2，则 x1-x20， 根据（1）可知 f（x1-x2）1，f（x2）0 f（x1）=f（x1-x2）+x2=f（x1-x2）f（x2）f（x2）， 函数 f（x）在 R 上单调递减 （二） 、（二） 、运算性质法运算性质法. 函 数 函数表达式 单调区间 特殊函数图像 一 次 函 数 )0(kbkxy 当0k时，y在 R 上是增函数； 当0k时，y在 R 上是减函数。 二 次 函 数 cbxaxy 2 ), 0
5、(Rcbaa 当0a时， a b x 2 时y单调减, a b x 2 时y单调增； 当0a时， a b x 2 时y单调增， a b x 2 时y单调减。 反 比 例 函 数 x k y Rk (且0k) 当0k时,y在0 x时单调减，在 0 x时单调减； 当0k时,y在0 x时单调增，在 0 x时单调增。 指 数 函 数 x ay 当1a时，y在 R 上是增函数； 当10 a，时y在 R 上是减函数。 对 数 函 数 xy a log 当1a时，y在), 0( 上是增函数； 当10 a时，y在), 0( 上是减函 数。 关于函数单调的性质可总结如下几个结论： )(xf与)(xf+C单调性相
6、同。 （C为常数） 当0k时，)(xf与)(xkf具有相同的单调性；当0k时， )(xf与)(xkf具有相反的 单调性。 当)(xf恒不等于零时，)(xf与 )( 1 xf 具有相反的单调性。 ) 1, 0(aa ) 1, 0(aa 当)(xf、)(xg在D上都是增（减）函数时，则)(xf)(xg在D上是增（减）函数。 当)(xf、)(xg在D上都是增（减）函数且两者都恒大于 0 时，)(xf)(xg在D上是增 （减） 函数； 当)(xf、)(xg在D上都是增 （减） 函数且两者都恒小于 0 时，)(xf)(xg 在D上是减（增）函数。 设)(xfy ,Dx为严格增 （减） 函数， 则f必有反
7、函数 1 f， 且 1 f在其定义域)(Df 上也是严格增（减）函数。 例例 4.判断5) 1(2log)( 213 2 3 xxxxxf x 的单调性。 解:函数)(xf的定义域为), 0( ， 由简单函数的单调性知在此定义域内 3 2 3 log,xxx 均为增函数，因为02 1 x ,01 2 x 由性质可得) 1(2 21 x x 也是增函数； 由单调函数的性质知xxx 2 3 log为增函数， 再由性质知函数) 1(2log)( 213 2 3 xxxxxf x +5 在), 0( 为单调递增 函数。 例例 5.设函数设函数)0()( ba bx ax xf，判断，判断)(xf在其定
8、义域上的单调性。在其定义域上的单调性。 解:函数 bx ax xf )(的定义域为),(),(bb. 先判断)(xf在),(b内的单调性，由题可把 bx ax xf )(转化为 bx ba xf 1)(，又0 ba故0ba由性质可得 bx 1 为减函数；由性质可得 bx ba 为减函数； 再由性质可得 bx ba xf 1)(在),(b内是减函数。 同 理 可 判 断)(xf在),(b内 也 是 减 函 数 。 故 函 数 bx ax xf )(在 ),(),(bb内是减函数。 （三）（三） 、图像法图像法. . 根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。 例例 6 6. .求函数的单 调区间
9、。 解：解： 在同一坐标系下作出函数的图像得 所以函数的单调增区间为 减区间为. （四） 、（四） 、同增异减法（同增异减法（复合函数复合函数法法）. . 定理 1：若函数)(ufy 在U内单调，)g(xu 在X内单调，且集合u)g(xu ， XxU （1）若)(ufy 是增函数，)g(xu 是增（减）函数，则)(xgfy 是增（减）函数。 （2）若)(ufy 是减函数，)g(xu 是增（减）函数，则)(xgfy 是减（增）函数。 归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减） 复合函数单调性的四种情形可列表如下： 第种情形 第种情形 第种情形 第种情形 内层函数)(xgu 外层函数)(uf
10、y 复合函数)(xgfy 显然对于大于 2 次的复合函数此法也成立。 推论：若函数)(xfy 是 K(K2),NK )个单调函数复合而成其中有Km 个减函数： 是减函数时，则当)(12xfykm； 是增函数时，则当)(2xfykm。 判断复合函数)(xgfy 的单调性的一般步骤： 合理地分解成两个基本初等函数)(),(xguufy； 分别解出两个基本初等函数的定义域； 分别确定单调区间； 若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 )(xgfy 为增函数，若为一增一减，则)(xgfy 为减函数（同增异减） ； 求出相应区间的交集，既是复合函数)(xgfy 的单调区间。
11、 以上步骤可以用八个字简记“一分” ， “二求” ， “三定” ， “四交” 。利用“八字”求法可 以解决一些复合函数的单调性问题。 例例 7.7.求)253(log)( 2 xxxf a （0a且1a）的单调区间。 解：由题可得函数)253(log)( 2 xxxf a 是由外函数uy a log和内函数 253 2 xxu符合而成。由题知函数)(xf的定义域是), 3 1 ()2,(。内函数 253 2 xxu在), 3 1 (内为增函数，在)2,(内为减函数。 若1a，外函数uy a log为增函数，由同增异减法则，故函数)(xf在 ), 3 1 ( 上 是增函数；函数)(xf在2,上是
12、减函数。 若10 a， 外函数uy a log为减函数， 由同增异减法则， 故函数)(xf在 ), 3 1 ( 上 是减函数；函数)(xf在2,上是增函数。 例例 8 8. . 求函数的单调区间 解 原函数是由外层函数和内层函数复合而成的； 易知是外层函数的单调增区间； 令，解得的取值范围为； 由于是内层函数的一个单调减区间， 于是便是原函 数的一个单调区间； 根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调减区间。 例例 9. 求函数的单调区间. 解 原函数是由外层函数和内层函数复合而成的； 易知和都是外层函数的单调减区间； 令，解得的取值范围为； 结合二次函数的图象可知不是内层函数的一
13、个单调区间， 但 可以把区间划分成内层函数的两个单调子区间和， 其中是其单 调减区间，是其单调增区间； 于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调增区间， 是原函数的单调减区间。 同理，令，可求得是原函数的单调增区间，是 原函数的单调减区间。 综上可知， 原函数的单调增区间是和， 单调减区间是和. （五） 、五） 、含参数函数的单调性问题含参数函数的单调性问题. 例例 1010.设 （先分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论（先分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.） 解：解：由题意得原函数的定义域为 ， 当上为减函数；
14、当上为增函数。 （六）（六） 、抽象函数的单调性抽象函数的单调性. 抽象函数问题是指没有给出解析式， 只给出一些特殊条件的函数问题。 常采用的方法有： 定义法定义法. 通过作差作差(或者作商作商)，根据题目提出的信息进行变形，然后与 0（或者 1）比较大小关系 来判断其函数单调性。通常用凑差、添项、增量、放缩法求解。 例例 11.已知函数 )(xf 对任意实数m、n均有 )()()(nfmfnmf ，且当 0m 时， 0)(mf ，试讨论函数 )(xf 的单调性。 此题多种方法解答如下： 凑差凑差法法：根据单调函数的定义，设法从题目中“凑出” “ )()( 21 xfxf ”的形式，然后比 较
15、 )()( 21 xfxf 与 0 的大小关系。 解：由题得 )()()(nfmfnmf ， 令 mxnmx 21 , ，且 21 xx ， 0 21 xxn 又由题意当 0m 时， 0)(mf0)()()( 21 nfxfxf ， 所以函数 )(xf 为增函数。 添项添项法法 ： 采用加减添项或乘除添项， 以达到判断 “ )()( 12 xfxf ” 与 0 大小关系的目的。 解:任取 2121 ,xxRxx ，则 0 12 xx ， )()( 12 xfxf)()( 1112 xfxxxf 由题意函数 )(xf 对任意实数m、n均有 )()()(nfmfnmf ， 且当 0m 时， 0)(
16、mf0)()()( 1212 xxfxfxf ， 所以函数 )(xf 为增函数。 增量法增量法 ：由单调性的定义出发， 任取 2121 ,xxRxx设)0( 12 xx,然后联系题 目提取的信息给出解答。 解：任取 2121 ,xxRxx设)0( 12 xx由题意函数)(xf对任意实数m、n均有 )()()(nfmfnmf， )()()()()( 1112 fxfxfxfxf， 又由题当0m时， 0)(mf)0(0)()()( 12 fxfxf， 所以函数)(xf为增函数。 例例 1313.已知函数)(xf的定义域为（0，+） ，对任意正实数m、n均有 )()()(nfmfmnf，且当1m时1
17、)(0mf，判断函数)(xf的单调性. 此题用放缩法放缩法， 先判断)( 1 xf与)( 2 xf的大小关系， 从而得)(xf在其定义域内的单调性。 解： 设 21 0 xx ，则1 1 2 x x 又当1m时1)(0mf，故1)(0 1 2 x x f 再由)()()(nfmfmnf中 令1m，1n得1) 1 (f 当10 x时，1 1 x ，由) 1 ()() 1 ( x fxff易知此时1)(xf， 故0)(xf恒成立。 因此)()(1)()()()( 111 1 2 1 1 2 2 xfxfxf x x fx x x fxf)()( 12 xfxf 即)(xf在（0，+）上为单调递减函数。 列表法列表法 对于比较复杂的复合函数，除了用复合函数单调性判断法外，还可以用列表，将各个函 数的单调性都列出来，然后再判断复合函数单调性。 例 15.已知)(xfy 在 R 上是偶函数，且在0,+）上是增函数，求)2( 2 xf是 减函数的区间 解：列表如下 函数 表达式 单调性 )2,( )0 ,2 )2, 0 ),2 2 2xy )(ufy )2( 2 xfy 由表知)2( 2 xf是减函数的区间)2,(，)2, 0。
