1、 高一数学试题参考答案及评分标准 2019.012019.01 一、选择题一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B D C B C A D BC ABD BC AC 二、填空题二、填空题 13. 2 14. 三、解答题三、解答题 1 2 15. 2 ； p 3 （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 16. (- ,8 17. 解：（1）由角a 的终边过点 ( 3 , 4) P - ， 5 5 3 4 得 cosa = - , sina = .2 分 5 5 sina 4 所以 = = - .4 分 cosa 3 tana (或显然点 3 4 P(- , )在单
2、位圆上，所以 5 5 4 4 5 tan a = = - 3 3 5 - .) 24 （2）由（1）得sin 2a = 2 sina cosa = - , 25 2 2 7 cos 2a = cos a - sin a = - . 7 分 25 p 由题意 b =a + ， 4 p p p 所以 cos(a + b ) = cos(2a + ) = cos 2a cos - sin 2a sin 4 4 4 2 2 7 24 17 2 = (cos 2a - sin 2a ) = (- + ) = .10 分 2 2 25 25 50 18.解： （1 ）Q g (x)开口方向向上，抛物线 y
3、 = g (x)的对称轴为直线 x =1， 在2, 3上单调递增. 2 分 g (x) g (x) = g ( )= a - a + + b = 2 4 4 1 1 min g (x) = g ( ) = a - a + + b = 3 9 6 1 4 max 高一数学答案 第 1 页 共 4 页 解得 a =1且b = 0 . 6 分 （2）Q f (x)- k 0 在 x (2, 5上恒成立， ( ) 只需k f x min f (x) = g x ( ) x - 2 x2 - 2x +1 1 1 = = x + = x - 2 + + 2 x - 2 x - 2 x - 2 4 .10
4、分 1 当且仅当 x - 2 = ，即 x = 3时等号成立. x - 2 k 4. 12 分 19.解：（1） 1 3 p f (x) = sin 2x + cos 2x +1 sin(2 ) 1 = x + + .3 分 2 2 3 p p p 5p p 由 2kp - 2x + 2kp + ，得 kp - x kp + . 2 3 2 12 12 5 p p k ,k ,k p - p + Z Z . 6 分 所以， f (x) 的单调递增区间是 12 12 p （2） f (x) = sin(2x + ) +1， 3 p p p p 5p 由 x - , ，得 2x + - , ， 8
5、 分 4 4 3 6 6 p p p p 当 2x + = ，即 x = 时， f (x) 有最大值 f ( ) =1+1= 2；10 分 3 2 12 12 p p = - p 时， f (x) 有最小值 ( p ) 1 1 1 当 2x + = - ，即 x f - = - + = .12 分 3 6 4 4 2 2 20 解： （1 ）由题意，当 0 x 20时， v(x) =100；2 分 当 20 x 220 时，设 v(x) = ax +b ， 因为 v(20) = 20a +b =100， v(220) = 220a +b = 0， 1 a = ,b =110 . 5 分 所以
6、2 100, 0 x 20, v x ( ) = 1 所以 . 6 分 - x +110, 20 x 220 2 （2）依题意，并由（1）得 高一数学答案 第 2 页 共 4 页 100 x, 0 x 20, f x = ( ) 1 - x +110 x, 20 x 220 2 2 . 8 分 当 0 x 20时， f (x) 的最大值为 f (20) = 2000 ； 9 分 当 20 x 200 时， 1 f (x) = - (x - 110) + 6050 ； 2 2 当 x =110 时， f (x) 的最大值为 f (110) = 6050 .11 分 综上，当车流密度为 110 辆
7、/千米时，车流量最大，最大值为 6050 辆/时.12 分 21 解：（1 ） 因 f (x)的图象上相邻两个最高点的距离为p ， 所 以 f (x)的最小正周期T =p ， 2p 从而w = = 2 . 2 分 T p 又因 f (x)的图象关于直线 x = 对称， 3 p j p p p j p 所以 2 + = k + ,k = 0,1,2,L ,因为 - ，得 k = 0 3 2 2 2 p 2p p 解得 j = - = - .5 分 2 3 6 p f x x 因此所求解析式为 ( ) = 3 sin 2 - .6 分 6 （2）由（1）得 f a a p 3 ，所以sin p 1
8、 - = . = - = 3 sin 2 2 2 6 4 a 6 4 p a p 2 由 6 3 p p 得 0 a - 0 ，所以 a = 12 分 1 （2）该函数 f (x) = e + 在 (0,+ ) 上单调递增，证明如下 x e x 设任意 x x + ，且 1, 2 (0, ) x x ，则 1 2 1 1 1 1 f (x ) - f (x ) = (ex + ) - (ex + ) = (ex - ex ) + ( - ) 1 2 1 2 1 2 x x x x e e e e 1 2 1 2 e - e (e - e )(e e - 1) x x x x x x 2 1 1
9、 2 1 2 = (e - e ) + = . 5 分 x x 1 2 e e e e x x x x 1 2 1 2 因为 0 x x ，所以 e 1,e 2 1 x x x x 1 2 1 2 所以 (e - e )(e e - 1) x x x x 1 2 1 2 0 ，即 f (x ) - f (x ) 0 ，即 1 2 f (x ) f (x ) . 1 2 e e x x 1 2 1 故函数 f (x) = e + 在 (0,+ ) 上单调递增8 分 x e x （3）由（2）知函数 f (x) 在 (0,+ ) 上递增，而函数 f (x) 是偶函数， 若存在实数 m ，使得对任意的 t R R ，不等式 f (t - 2) f (2t - m) 恒成立 则 t - 2 2t - m 恒成立，即 2 2 t - 2 0 对任意的 t R R 恒成立， 则 D= (4m - 4)2 - 12(m2 - 4) 0 ， 得到 (m - 4)2 0 ，故 m ，所以不存在12 分 高一数学答案 第 4 页 共 4 页
