1、. 高考中档大题规范练高考中档大题规范练 (一一)三角函数与平面向量三角函数与平面向量 1(2015 广东)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m? ? ? ? 2 2 ， 2 2 ，n(sin x，cos x)， x? ? ? ? 0， 2 . (1)若 mn，求 tan x 的值； (2)若 m 与 n 的夹角为 3，求 x 的值 解 (1)因为 m? ? ? ? 2 2 ， 2 2 ，n(sin x，cos x)，mn. 所以 m n0，即 2 2 sin x 2 2 cos x0， 所以 sin xcos x，所以 tan x1. (2)因为|m|n|1，所以 m ncos 3 1
2、 2， 即 2 2 sin x 2 2 cos x1 2，所以 sin? ? ? ? x 4 1 2， 因为 0x 2，所以 4x 4 4， 所以 x 4 6，即 x 5 12. 2(2016 山东)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2(tan Atan B)tan A cos B tan B cos A. (1)证明：ab2c； (2)求 cos C 的最小值 (1)证明 由题意知 2? ? ? ? sin A cos A sin B cos B sin A cos Acos B sin B cos Acos B， 化简得 2(sin Acos Bsin Bcos
3、 A)sin Asin B，即 2sin(AB)sin Asin B，因为 ABC ，所以 sin(AB)sin(C)sin C，从而 sin Asin B2sin C，由正弦定理得 ab2c. (2)解 由(1)知 cab 2 ，所以 cos Ca 2b2c2 2ab a2b2? ? ? ? ab 2 2 2ab 3 8? ? ? ? a b b a 1 4 1 2，当且仅 . 当 ab 时，等号成立，故 cos C 的最小值为1 2. 3(2016 北京)在ABC 中，a2c2b2 2ac. (1)求 B 的大小； (2)求 2cos Acos C 的最大值 解 (1)由 a2c2b2 2
4、ac 得， a2c2b2 2ac. 由余弦定理得， cos Ba 2c2b2 2ac 2ac 2ac 2 2 . 又 0B，所以 B 4. (2)ACB 4 3 4 ， 所以 C3 4 A,0A3 4 . 所以 2cos Acos C 2cos Acos? ? ? ? 3 4 A 2cos Acos3 4 cos Asin 3 4 sin A 2cos A 2 2 cos A 2 2 sin A 2 2 sin A 2 2 cos Asin? ? ? ? A 4 . 因为 0A3 4 ， 所以 4A 4，故当 A 4 2， 即 A 4时， 2cos Acos C 取得最大值 1. 4(2016
5、 天津)已知函数 f(x)4tan xsin? ? ? ? 2x cos? ? ? ? x 3 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论 f(x)在区间? ? ? ? 4， 4 上的单调性 解 (1)f(x)的定义域为x|x 2k，kZ f(x)4tan xcos xcos? ? ? ? x 3 3 . 4sin xcos? ? ? ? x 3 3 4sin x? ? ? ? 1 2cos x 3 2 sin x 3 2sin xcos x2 3sin2x 3 sin 2x 3(1cos 2x) 3 sin 2x 3cos 2x2sin? ? ? ? 2x 3 . 所以 f(
6、x)的最小正周期 T2 2 . (2)令 z2x 3，则函数 y2sin z 的单调递增区间是? ? ? ? 22k， 22k ，kZ. 由 22k2x 3 22k，kZ， 得 12kx 5 12k，kZ. 设 A? ? ? ? 4， 4 ，Bx| 12kx 5 12k，kZ，易知 AB? ? ? ? 12， 4 . 所以当 x? ? ? ? 4， 4 时，f(x)在区间? ? ? ? 12， 4 上单调递增，在区间? ? ? ? 4， 12 上单调递减 5(2016 浙江)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bc2acos B. (1)证明：A2B； (2)若A
7、BC 的面积 Sa 2 4 ，求角 A 的大小 (1)证明 由正弦定理得 sin Bsin C2sin Acos B，故 2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin B sin Acos Bcos Asin B， 于是 sin Bsin(AB)又 A，B(0，)，故 0AB，所以 B(AB)或 BAB， 因此 A(舍去)或 A2B，所以 A2B. (2)解 由 Sa 2 4得 1 2absin C a2 4 ， 故有 sin Bsin C1 2sin A 1 2sin 2Bsin Bcos B， 由 sin B0，得 sin Ccos B. 又 B，C(0，)，所以 C 2 B. 当 BC 2时，A 2； 当 CB 2时，A 4. 综上，A 2或 A 4.
