1、 中山纪念中学高一年级中山纪念中学高一年级 20202020- -20212021 学年度上学期学年度上学期 1010 月份月考月份月考 数学科试卷数学科试卷 满分：150 分 考试用时：120 分钟 第第 I I 卷（选择题）卷（选择题） 一、一、单选题（只有一个选项正确，每题单选题（只有一个选项正确，每题 5 分，共分，共 40 分分） 1. 已知全集0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U，集合0,1,3,85,A，集合2,4,5,86,B， 则()() UU ABCC （ ） A. 5,8 B. 7,9 C. 0,1,3 D. 2,4,6 2. 命题：“xR，x2x10”的否定是 （
2、） A. 不存在xR，x2x10 B. x0R，x02x010 C. x0R，x02x010 D. xR，x2x10 3. 已知函数 2 1 ( ) 2 f x x ，则( )f x的值域是 （ ） A. 1 | 2 y y B. 1 | 2 y y C. 1 |0 2 yy D. |0y y 4. 已知aR，则“a1”是“ 1 a 1”的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 5.若函数 yf(x)的定义域为0,2，则函数 g(x) (2 ) 1 fx x 的定义域是 （ ） A. 0,1 B. 0,1) C.0,1)(1,4 D.
3、(0,1) 6. 已知不等式 2 50axxb的解集为2 |3xx ，则不等式 2 50bxxa的解集为 （ ） A. 11 | 3 2 x xx 或 B. 11 | 3 2 xx C. 2 |3xx D. |32x xx或 7. 设集合1,2,4A， 2 4|0Bx xxm. 若 AB1，则 B （ ） A. 1,3 B. 1,0 C. 1,5 D. 1,3 8. 设 ,01 ( ) 2(1),1 xx f x xx ，若( )(1)f af a，则 1 ( )f a （ ） A.2 B.4 C.6 D.8 二、二、多多选题选题（至少有（至少有 2 2 个选项正确，多选，错选不得分，漏选得个
4、选项正确，多选，错选不得分，漏选得 3 3 分，分，每题每题 5 5 分，共分，共 2020 分分） 9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A( ) |f xx与 2 ( )g xx B( )1f xx与 2 1 ( ) 1 x g x x C | ( ) x f x x 与 1,0 ( ) 1,0 x g x x D 2 ( )1f xx与( )11g xxx 10. 函数( )f x是定义在 R 上奇函数，下列说法正确的是（ ） A(0)0f B若( )f x在0,)上有最小值1，则( )f x在(,0上有最大值 1 C若( )f x在1,)上为增函数，则( )f x在(,1
5、上为减函数 D若 x0 时， 2 ( )2f xxx，则 x0 时， 2 ( )2f xxx 11. 对于实数 a、b、c，下列命题中正确的是（ ） A若ab，则acbc B若0ab，则 22 aabb C若0cab，则 ab cacb D若ab， 11 ab ，则0a，0b 12. 下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ） A若0 x， 111 ()2 ()2xxx xxx ， 故0 x时， 1 x x 的最大值是2 B当1x 时， 22 2 11 xx xx ，当且仅当 2 1 x x 取等，解得x1 或 2 又由1x ，所以取x2，故1x 时，原式的最小值为 2 24 2 1 C由于
6、222 222 999 442 (4)42 444 xxx xxx ， 故 2 2 9 4 x x 的最小值为 2 D当,0 x y ，且42xy时，由于24244xyxyxy， 1 2 xy ，又 111 122 24 1 2 xyx yxy ，故当,0 x y ，且42xy时， 11 xy 的最小值为 4 第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题） 三、填空题三、填空题（每题每题 5 5 分，共分，共 2020 分分） 13设函数 2 1 21, 2 ( ) 1 (2), 2 xxx f x f xx ，则 f(3) 14函数 f(x) 2 245 (1) 1 xx x x 的最小值是
7、15下图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距 80km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的 路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息： 骑自行车者比骑摩托车者早出发 3h，晚到 1h； 骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； 骑摩托车者在出发 1.5h 后追上了骑自行车者； 骑摩托车者在出发 1.5h 后与骑自行车者速度一样 其中，正确信息的序号是_ 16若函数 f(x) 2 (2) ,0 (21)1,0 xa x x axax 在 R 上为增函数，则 a 的取值范围为_ 四、解答题四、解答题（1717 题题 1010 分，分，1818，191
8、9，2020，2121，2222 每题每题 1212 分，共分，共 7070 分）分） 17已知全集 UR，集合 2 |2150Ax xx，集合 2 |(21)()0Bxxaxa （1）若 a1，求 UA 和 B； （2）若ABA，求实数 a 的取值范围 18.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的 处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y（元）与月处理量 x（吨）之间的函数关系可近似的表 示为：y 1 2 x2200 x80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元 （1）该单位每月处理量为多少吨时，
9、才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使 该单位不亏损？ 19已知函数 f(x) 2 1 axb x 是定义在(1,1)上的奇函数，且 f( 1 2 ) 2 5 （1）求函数 f(x)的解析式； （2）判断函数 f(x)在(1,1)上的单调性，并用定义证明； （3）解关于 t 的不等式，f(t 1 2 )f(t 1 2 )0 20函数 f(x)的定义域为 R，且对任意 x，yR，有 f(xy)f(x)f(y)，且当 x0 时 f(x)0，f(1)2. （1）证明：f(x)是奇函数； （2）证明：f(x)在 R
10、上是减函数； （3）求 f(x)在区间3，3上的最大值和最小值. 21已知 f(x)ax2xa，aR. （1）若 a1，解不等式 f(x)1； （2）若不等式 f(x)2x23x12a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）若 a0，解不等式 f(x)1. 22已知幂函数 f(x) 2 31 22 2 33)( pp pxp 满足 f(2)f(4) （1）求函数 f(x)的解析式； （2）若函数 g(x)f 2(x)mf(x)，x1,9，是否存在实数 m 使得 g(x)的最小值为 0？若存在，求出 m 的值； 若不存在，说明理由； （3）若函数 h(x)nf(x3)，是否存在
11、实数 a，b(ab)，使函数 h(x)在a,b上的值域为a,b？若存在，求 出实数 n 的取值范围；若不存在，说明理由 参考答案参考答案 一、选择题：一、选择题： 1.B 2. C 3. C 4. A 5. B 6.A 7. D 8.C 二、二、多项多项选择题：选择题： 9. AC 10. ABD 11. BCD 12. BCD 三、填空题：三、填空题： 13.0 14. 26 15， 16.1,2 四、解答题：四、解答题： 17解：（1）若 a1，则集合 Ax|x22x150 x|3x5， UAx|x3 或 x5， 若 a1，则集合 Bx|（x2a1）（xa2）0 x|（x1）20， （2）
12、因为 ABA，所以 BA， 当 B时，a22a1，解 a1， 当 B时，即 a1 时，Bx|2a1xa2， 又由（1）可知集合 Ax|3x5， 2 213 5 a a ，解得1a5，且 a1， 综上所求，实数 a 的取值范围为：1a5 18解：（1）由题意可知， 二氧化碳的每吨平均处理成本为： y x 1 2 x 80000 x 2002 180000 2 x x 200200， 当且仅当 1 2 x 80000 x ，即 x400 时， 才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元 （2）设该单位每月获利为 S， 则 S100 xy， 100 x( 1 2 x2200 x800000
13、) 1 2 x2300 x800000 1 2 (x300)235000， 因为 400 x600，所以当 x400 时，S 有最大值40000 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40000 元，才能不亏损 19解：（1）由奇函数的性质可知，f（0）0， b0，f（x） 2 1 ax x ， f（ 1 2 ） 1 2 1 1 4 a 2 5 a1，f（x） 2 1 x x ； （2）函数 f（x）在（1，1）上是增函数 证明：任取1x1x21， 则 f（x1）f（x2） 1212 22 12 ()(1) (1)(1) xxx x xx 0，f（x1）f（x2）， 所以函数 f（x）在（1，
14、1）上是增函数； （3）由 f（t 1 2 ）f（t 1 2 ）f（t 1 2 ）f（ 1 2 t）， 11 22 1 11 2 1 11 2 tt t t 0 31 22 13 22 t t t 1 2 t0， 故不等式的解集为（ 1 2 ，0） 20解：（1）证明：令 xy0， f（0）f（0）f（0）， 可得 f（0）0 f（xy）f（x）f（y），得 f（xx）f（x）f（x） 即 f（x）f（x）f（0）0 f（x）f（x）， 即函数 yf（x）是奇函数， （2）设 x1x2，则 x1x20，f（x1x2）0， 而 f（xy）f（x）f（y）， f（x1）f（x1x2x2）f（x1x
15、2）f（x2）f（x2） 函数 yf（x）是 R 上的减函数； （3）由函数 yf（x）是 R 上的单调减函数， yf（x）在3，3上也为单调减函数 yf（x）在3，3上的最大值为 f（3），最小值为 f（3） f（3）（12）f（1）f（2）f（1）f（1）f（1）3f（1）6， 同理，f（3）3f（1）6， 因此，函数 yf（x）在3，3 上的值域为6，6 21解：（1）当 a1，不等式 f（x）1 即 x2x11，即（x2）（x1）0， 解得 x2，或 x1， 故不等式的解集为x|x2，或 x1 （2）由题意可得 （a2）x24xa10 恒成立， 当 a2 时，显然不满足条件， 20 1
16、64(2)(1)0 a aa 解得 a2，故 a 的范围为（2，） （3）若 a0，不等式为 ax2xa10，即 （x1）（x 1a a ）0 1（ 1a a ） 21a a ， 当 1 2 a0 时，1 1a a ，不等式的解集为 x|1x 1a a ； 当 a 1 2 时，1 1a a ，不等式即（x1）20，它的解集为； 当 a 1 2 时，1 1a a ，不等式的解集为 x| 1a a x1 22解：（1）f（x）是幂函数， 得 p23p31，解得：p1 或 p2 当 p1 时，f（x） 1 x ，不满足 f（2）f（4） 当 p2 时，f（x）x，满足 f（2）f（4） 故得 p2，
17、函数 f（x）的解析式为 f（x）x； （2）由函数 g（x）f 2（x）mf（x），即 g（x）(x)2mx， 令 tx， x1，9， t1，3， 记 k（x）t2mt， 其对称轴在 t 2 m ， 当 2 m 1，即 m2 时，则 k（x）mink（1）1m0，解得：m1； 当 1 2 m 3 时，即6m2，则 k（x）mink（ 2 m ） 2 4 m 0，解得：m0，不满足， 舍去； 当 2 m 3 时，即 m6 时，则 k（x）mink（3）3m90，解得：m3，不满足，舍去； 综上所述，存在 m1 使得 g（x）的最小值为 0； （3）由函数 h（x）nf（x3）n3x在定义域内为单调递减函数， 若存在实数存在实数 a，b（ab），使函数 h（x）在a，b上的值域为a，b 则 h（x） 3(1) 3(2) nab nba 两式相减：可得：3a3bab（a3）（b3） 3a3b1 将代入得，na3ba13a 令 t3a， ab， 0t 1 2 ， 得：nt2t2（t 1 2 ）2 9 4 ， 故得实数 n 的取值范围（ 9 4 ，2
