1、 1 三湘名校教育联盟2020 年下学期高一期中考试试题 数学 本试卷共 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A2，3，4，6，7，B2，3，5，
2、7，则 AB A.2，3，5 B.2，3，7 C.2，3，5，7 D.2，3，4，5，6，7 2.“ac 且 bd”是“abcd”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.中文“函数(function)”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译， 他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数” ，即函数指一个量随着另一个 量的变化而变化，下列选项中两个函数相等的是 A.f(x)x与 g(x)|x| B.f(x)x(xR)与 g(x)x(xZ) C.f(x)|x|与 g(x) x0 xx0 ， ， D.f(x)x1 与 g(x
3、) 2 x1 x1 4.设 ab0，c0，则下列结论中正确的是 A.ac2b2c C. 11 abbc D. cc ab 5.函数 y 2 x3x2的单调递增区间为 A.(， 3 2 B. 3 2 ，) C. 3 2 ，2 D.1， 3 2 2 6.若不等式 x212mx 在 R 上恒成立，则实数 m 的取值范围是 A.(，1)(1，) B.(，11，) C.1，1 D.(1，1) 7.已知函数 f(x) 2 x4axx1 2a3 x4a5x1 ， ， ，若 f(x)在 R 上是增函数，则实数 a 的取值范 围是 A.( 1 2 ，1 B. 1 2 ， 3 2 C.( 1 2 ，) D.1，2
4、 8.在 R 上定义运算：AB(A2)B，若不等式(tx)(xt)0，Bx|x22x30，则 A.AB2，1) B.AB(3，3) C.A( R B)(1，3) D.A( R B)(，3(2，) 10.下列命题正确的是 A.“x1，x2 1 2 ”是“ 1 a 0 时，x 1 x 2 B.当 x3 时，x 1 x 的最小值是 2 C.当 x0，y0，且 2xy1，则 21 xy 的最小值是 9 12.已知 aZ，关于 x 的一元二次不等式 x28xa0 的解集中有且仅有 3 个整数，则 a 的 值可以是 A.13 B.14 C.15 D.17 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共
5、20 分。 13.幂函数 f(x)的图像过点(3，9)，则 f(4)的值为 。 14.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)3x2，则 f(3) 。 15.已知 f(x 1)2x3，则 f(x)的解析式为 。 16.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x)在0，)上是增函数，若 f(a1)f(3)，则 a 的取值范围是 。 四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10 分) 已知集合 Ax|2x3，Bx|k1x3k。 (1)当 k1 时，求 AB； (2)若 ABB，求实数 k 的取值范围。 18.(12 分) (1)已
6、知函数 f(x)的定义域为(0，2)，求 f(x3)的定义域； (2)已知函数 f(x2)x24x8，求 f(x)的解析式，并求函数 f(x)在区间2，7上的最大值 与最小值。 19.(12 分) 2020 年是不平凡的一年，由于世界疫情的影响，就业岗位竞争激烈，为了鼓励大学毕业生自 主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售， 成本价与出厂价之间的差价由政府承担。某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能 设备。 已知这种节能设备的成本价为每件 20 元， 出厂价为每件 24 元， 每天的销售量 p(单位： 件)与销售单价 x(25x0)(单位：元)，
7、写出 y 关于 x 的函数解析式； (2)求当每件节能设备的销售单价 x 定为多少时， 该大学毕业生每天获得的销售利润最大？最 大销售利润为多少? 20.(12 分) 已知 x0，y0，4xy3。 (1)求 xy 的最大值； (2)求 312 xy 的最小值。 21.(12 分) 已知函数 f(x) 2 2 a2 xxb 1 1x 是定义在 R 上的奇函数。 (1)求 f(x)的解析式； (2)证明：f(x)在(1，)上是减函数； (3)求不等式 f(13x2)f(2xx25)0 的解集。 22.(12 分) 定义在 R 上的函数 f(x)满足：x，yR，f(xy)f(x)f(y)，且当 x0
8、，f(2) 4。 (1)判断函数 f(x)的奇偶性并证明； (2)若x2，2，a3，4，f(x)3at5 恒成立，求实数 t 的取值范围。 5 高一数学高一数学参考答案参考答案 选择题（本大题共选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 题号题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 1111 1212 答案答案 B A C A D D B C BD BC AD ABC 1.B 【详解】由集合2,3,4,6,7A，集合2,3,5,7B ，则AB2,3,7. 本题考查了集合的并运算，考查了基本概念的理
9、解，属于基础题. 2.A 详解：由不等式的性质可以推出 考点：充分条件与必要条件的判定 3.C 详解：判断两个函数是同一函数的依据是：定义域和对应关系相同。A，B，D 中的定义 域不同，所以不是同一函数 4.A 详解：B 中当0,0ab时不成立,C 中当0,0ab，则不等式不成立，D 中当 0,0ab 时不成立. 5.D 详解：函数的定义域为1,2,配方后得到单调递增区间为 D. 6.D 详解：一元二次不等式 2-2 10 xmx 在 R 上恒成立，等价于 6 2 2 =24011,1mmm 7.B 详解：先保证每一段在定义域内单调递增，再保证在1x 时的单调性保持一致，即 21 13 230
10、 22 1 42345 a aa aaa . 8.C 【详解】()(t2)()xtxtxxt ，即 ()(t2)()4xtxxttx 对任意实数x恒成立， 22 2240 xxtt对任 意实数x恒成立，所以0 ，解得13t ，故选：C 9.BD 解析： =| 23 ,B| 31=, 31, R AxxxxB ，C， 再由集合 的运算可知 BD 正确. 10.BC 解析：选项 A: 根据命题的否定可知：“1x , 2 1x ”的否定是 “1x , 2 1x ”，A 错误； 选项 B: 1 2 a 等价于0a或 1 2 a ，由小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围可以 判断 选项 C: 由0a
11、能推出0ab,由0ab不能推出0a,所以 C 正确； 选项 D:根据不等式的性质可知：由1x且1y 能推出 22 2xy,本选项是不正确的；故 选 BC. 11.AD 解析：对于选项 A，当0 x时，0 x ， 11 22xx xx ，当且仅当 1x 时取等号，结论成立，故 A 正确； 对于选项 B，当3x 时， 11 22xx xx ，当且仅当1x 时取等号，但 3x ，等号取 不到，因此 1 x x 的最小值不是 2，故 B 错误； 对于选项 C，因为 3 2 x ，所以3 20 x，则 7 444 2132223222 233232 yxxx xxx ，当且仅当 4 32 32 x x
12、，即 1 2 x 时取等号，故 C 错误； 对于选项 D，因为0 x，0y ，则 2222 25 2 =9 1 52 12yxyx xy xyxyxyxy ，当且仅当 22yx xy ，即 1 3 xy时，等号成立，故 D 正确.故选：AD. 12.12.ABC 解析：设 f(x)x28xa，其对称轴为 x4，3 个整数解为 3，4，5，f(2)0 且 f(3)0，即 12a15，a13，14，15，故选 ABC. 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.16 14. 29 15. 2 =2451f xxxx 16
13、. , 42, U 13.16 解析：设幂函数的解析式为 a f xx，再代点求出2a，算出 416f 14.-29 解 析 ： f x为 定 义 在R上 的 奇 函 数 ， fxf x， 3 3(3)(32)29ff. 15. 2 =2451f xxxx 解析：利用换元法求解析式：令 1 1tx ，得到 2 1xt，得到 2 2 2132451f tttxt. 16. , 42, U 解析：函数 yf x是R上的偶函数，且 f x在0,上是 增函数， 不等式 1-3f af等价为 |1|3faf，即|1| 3a，解得4a或2a， 所以实数a的取值范围是 , 42, U. 8 四、解答题（本大
14、题共四、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.【答案】(1)| 24ABxx ;(2)0k . 解： （1）当1k 时，|-24Bxx，则|-24ABxx （4 分） （2） ABB，则BA （5 分） （1）当B时，-1 3kk ，解得2k ； （7 分） （2）当B时，由 BA得 -13 -12 33 kk k k ，即 2 1 0 k k k ，解得02k （9 分） 综上，k的取值范围是0,) （10 分） 18.解： （1）( )f x的定义域为(0,2)，02x ，032
15、x，31x ， 即 ( )f x的定义域为( 3, 1).（5 分） （2）令2tx，则2xt 2 (2)48f xxx， 2 ( )(2)4(2)8f ttt 2 820tt， 2 ( )820f xxx f x的对称轴为直线4x ，开口方向向上， f x在2,4上递减，在4,7上递增， 当4x 时， min ( )(4)4f xf， 426743 ， max( 2)f xf，当2x时，240f . max40f x.（12 分） 19.解： （1）依题意可知每件的销售利润为(20)x元，每月的销售量为( 10420)x件， 所以每月获得的利润y与销售单价x的函数关系为(20)( 10420
16、)yxx （3 分） 9 y0,2042,x又2545,xxN，2542,xxN（5 分） (20)( 10420)yxx (2542,)xxN（6 分） （2）由（1）得 2 106208400(2542,)yxxxxN （7 分） 所以 2 10(31)1210(2542,)yxxxN ， （9 分） 则当31x 时， max 1210y （11 分） 即当每件的销售价定为 31 元时，每天可获得最大的销售利润，最大销售利润为 1210 元（12 分） 20.解： （1）42 4xyxy，32 4xy， （2 分） 当且仅当4xy时取等号，即 33 , 82 xy时取等号.（4 分） 9
17、16 xy ， （5 分） 所以xy的最大值为 9 16 .（6 分） （2） 4 1 3 xy ， （7 分） 31241616 82816 33 xyxyx y xyyxyx ， （10 分） 当且仅当 16xy yx 时取等号，即 33 , 82 xy时取等号.（11 分） 所以 312 xy 的最小值为16.（12 分） 21.【答案】 （1） 2 ( ) 1 x f x x ； （2）证明见解析； （3）| 21xx . 【详解】 （1）函数 2 2 21 ( ) 1 axxb f x x 为定义在R上的奇函数， (0)0f，即2,1ab ， 2 ( ) 1 x f x x .（4
18、分） 10 （2）证明：设 12 ,(1,)x x ，且 12 xx ， 则 12 12 22 12 11 xx f xf x xx ， 22 1221 1212 2222 1212 11 1 1111 xxxx xxx x xxxx ， 12 0 xx， 2 1 10 x， 2 2 10 x， 1 2 10 x x， 12 0f xf x，( )f x在(1,)上是减函数.（8 分） （3）由 22 1 3250fxfxx， 得 22 1 325fxfxx .( )f x是奇函数， 22 1 325fxf xx.（9 分） 又 2 1 31x， 22 25(1)41xxx，且 ( )f x在
19、(1,)上为减函数， 22 1 325xxx，即 2 2240 xx，解得21x ， （11 分） 不等式 22 1 3250fxfxx的解集是| 21xx .（12 分） 22.解：(1) f x的定义域为R，令0 xy，则 000fff， 00f， 令y x ，则 f xxf xfx， 00f xfxf， fxf x， f x是奇函数. （4 分） (2) 设 21 xx， 由 f xyf xfy得： 2121 f xf xf xx， 且当且当0 x 时时 0,f x 12 0 xx 21 0 xx， 21 0f xx， 21 0f xf x，即 21 f xf x， f x在R上为减函数（7 分） 因为函数 f x在区间2 2 ,上是减函数，且24f ， 要使得对于任意的2,2x ，3,4a 都有 35f xat恒成立， 只需对任意的3,4a ，354at 恒成立. 11 令31yat ，此时y可以看作a的一次函数，且在3,4a 时，0y 恒成立. 因此只需 910 1210 t t ，解得 11 912 t ， 所以实数t的取值范围是 11 , 9 12 .（12 分）
