1、 20202020 版版六年级奥数教程六年级奥数教程全集全集 第 1 讲 逻辑推理 我们常会见到这样一类题目，没有或很少给出什么数量关系，解决问题的主要方法不是依靠 数学概念、 法则、 公式进行运算， 且较少用到专门的数学知识， 而是根据条件和结论之间的逻辑关系， 进行合理的推理，最终找到问题的答案，这就是逻辑推理问题. 例 1 一次数学测验，A，B，C，D，E，F 中有一人得了 100 分，老师让他们猜一猜是谁得了 100 分 A：或者是 E，或者是 F B:是我得了 100 分 &nb
2、sp; C:是 D 得了 100 分 D:不会是 B 得了 100 分 E:不会是 C 得了 100 分 F:不会是我，也不会是 E 老师说：你们只有两个人猜对了那么，谁得了 100 分呢？ 思维点拨 从这六个人的话中可以看出，A 与 F 的话、B 与 D 的话相互矛盾，也就是说，每一对 中两个人的话必然是一真一假根据“只有两个人猜对了”这个条件，得出 C 与 E 必为假话，由 E 猜 错可知，是 C 得了 100 分 例 2 三块正方体，它们的六个面都按相同规律标有 1，2，3，4，5，6请你判断一下，2 的对
3、面是几?5 的对面是几?6 的对面是几？ (1) (2) (3) 思维点拨 从图(1)，(3)可看出，2 的对面不可能是 5，6，1，4，那么 2 的对面一定是 3从图 (1)，(2)可以看出，5 的对面不可能是 2，6，1，3，那么 5 的对面一定是 4剩下的 6 的对面一定是 1 例 3 位学者在几年前逝世， 逝世时的年龄数是他出生年份数的 1 29 ，这位学者在 1955 年主持学 术会议时是多少岁？ 思维点拨 由题意，出生年份数应是 29 的倍数，又因为他在 1955
4、 年主持过会议，因此出生的 年份应小于 1955.可以把小于 1955 且是 29 的倍数的数列举出来：1943，1914，1885，1856，可 以分析出生在 1885 年或 1943 年均不合理只有出生在 1914 年才符合事实 例 4 甲、乙、丙、丁四人进行有趣的会谈，用了汉、英、德、俄四种语言情况如下： (1)甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言； (2)有一种语言，四人中有三人都会； (3)甲会俄语，丁不会俄语，乙不会英语； (4)甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈； &nb
5、sp; (5)没有人既会俄语，又会德语. 问甲、乙、丙、丁各会何种语言. 来源:学科网 ZXXK 思维点拨 这是条件比较复杂的问题， 应使用列表法进行分析推理， 这样有助于解题， 列表格时， 在肯定的一格打“”在否定的一格打“” 例 5 已知在每个正方体的 6 个面上分别写着 1，2，3，4，5，6 这 6 个数，并且任意两个相对 的面上所写的两个数的和都等于 7，现在把 5 个这样的正方体一个挨着一个地连接起来(如图)，在紧 挨着的两个面上的两个数之和都等于 8，那么图中打“？”的这个面上所写的数是几？ &nbs
6、p;思维点拨 根据题意容易推出 1 的对面是 6，挨着 6 的面是 2；2 的对面是 5，挨着 5 的面是 3； 3 的对面是 4，6 的对面是 1因此第 3 个正方体左右两面只能是 2 与 5到底左端是 2 还是 5 呢？我 们不妨作出假设. 假设左端是 5，则其对面是 2，挨着 2 的面是 6，6 的对面是 1，挨着 1 的面(最右边一块的 左面)就应该是 7，与题意不符所以最左端只能是 2，2 的对面是 5，挨着 5 的面是 3，3 的对面是 4， 挨着 4 的面是 4，4 的对面是 3 例 6 有一次数学竞赛，共有 6 道题，均是是非题，正确的画“” ，错误的
7、画“” ，每题答对 得 2 分，不答得 1 分，答错得 0 分，王、张、赵、杨的答案如下表，杨得了多少分？ 思维点拨 由得分情况及答题数量知，张对 4 道，错 1 道，未答 1 道，王、赵各对 3 道，错 2 道， 未答 1 道，因为王、张有 3 道的答案不同，且王、张共错 3道，所以两人的错题只能是(3)(4)(6)3 道题，由此得到剩下 3 题的正确答案：(1)，(2)，(5)比较知赵的答案，(2)(5)题错，其余 已答的题都对，得(3)，(4)因为张只错 1 道，(4)题已错，故(6)题正确，故(6)，对照正确 答案，杨对 4 道，错 2 道，得
8、8 分 课内练习来源:学*科*网 Z*X*X*K 1某校运动会上，A，B，C，D，E，F 六人参加百米决赛，对于谁是冠军，甲、乙、丙、丁 四人有以下猜测： 甲说：冠军不是 A 就是 B. 乙说：冠军不是 C 丙说：D，E，F 都不可能是冠军 丁说：冠军是 D，E，F 中的一人， 比赛结果是，这四人中只有一人的猜测是正确的请你判断谁得了冠军 2如下图，3 块正方体按同样的规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿 6 种颜色请你判断黄、 白、红的对面分别涂什么颜色来源:Zxxk.Com
9、 (1) (2) (3) 3刘强、马明、李刚三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛事先规定： 兄妹不许搭档， 第一场：刘强和小丽对李刚和小英. 第二场：李刚和小红对刘强和马明的妹妹 问：三个男孩的妹妹分别是谁？ 4小秋的书架上有一些书，其中 1 7 是故事书，1 9 是文艺书，书的本数在 100150 之间，他 有多少本书？ 5 一个正方体木块放在桌子上， 每一面都有一个数
10、， 位于对面上的两个数之和都等于 13 小 张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数之和是 18.小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数 之和是 24.那么挨着桌子这个面的数是多少？ 6A，B，C，D，E 五入在一次满分为 100 分的考试中，得分都是大于 91 的整数，如果 A，B， C 的平均分为 95 分，B，C，D 的平均分为 94 分，A是第一名，E 是第三名，得 96 分那么 D 的得分 是多少？ 课外作业 1甲、乙、丙三人进行跑步比赛.A，B，C 三人对比赛结果进行预测 A 说：“甲肯定是第一名”
11、B 说：“甲不是最后一名” C 说：“甲肯定不是第一名” 其中只有一人对比赛结果的预测是对的是谁预测对了？ 2下图是标有 1，2，3，4,5，6 数字的同一正方体的三种不同摆法，求三个正方体朝左那 一面的数字之积是多少 (1) (2) (3) 来源:学科网 3甲、乙、丙在南京、上海、北京工作，他们的职业分别是工人、记者、教师现在知道： (1)甲不在南京工作； (2)乙
12、不在上海工作； (3)在南京工作的不是教师； (4)在上海工作的是工人； (5)乙不是记者. 三人各在什么地方工作？各是什么职业？ 4小糊涂对小博士说：“我想把 54 个围棋子放进 10 个盒子，每个盒子里都有围棋子，且 每个盒子中的棋子数各不相同 ” 小博士听了， 笑着说：“小糊涂你又糊涂了， 你说的情况根本办不到 ” 小博士为什么能判断出这种情况根本办不到？ 来源:Zxxk.Com 5下面的图是飞行棋的一颗骰子，根据图中 A，B，C 三种状态显示的数字，请你推出“？” 处
13、的点数是几 A B C 6 甲、 乙、 丙三名同学参加了一次标准化考试， 试题共 10 道， 都是判断题， 正确的画 “” ， 错误的画“” ，每道题 1 分，满分为 10 分，他们的答卷如下表： 成绩公布后，三人都得 7 分，请你给出各题的正确答案 7甲说：“我 13 岁，比乙小 2 岁，比丙大 1 岁” 乙说：“我不是年龄最小的，丙和我差 3 岁，丙是 16 岁”， 丙说：“我比甲年龄小，甲 14 岁，乙比甲大 3 岁”， 以上每人
14、所说的三句话中，都有一句是错误的请你确定甲、乙、丙三人的年龄 8A，B，C，D 四人进行乒乓球比赛，每两个人之间都要赛一场，结果 A 胜了 D，并且 A，B， C 三人胜的场数相同，问 D 胜了几场 9六(1)班共 44 人，从 A，B，C，D，E5 名候选人中选举班长，A 得票 23 张，B 得票占第 2 位，C，D 两人得票相同，E 得票最少，得 4 票那么 B 得票多少张？ 10已知 2 A ， 3 B ， 4 C 是 3 个最简真分数，A，B，C 都是自然数，如果每个
15、分数的分子都加 上 A，分母保持不变，得到的 3 个新数之和等于 2 1 6 ，那么 A,B,C 各为多少？ 参考答案 第 1 讲逻辑推理 培优教程 例 1 因为 A 与 F、B 与 D 互相矛盾，必是一真一假，所以其中已有 2 人的话是真的所以 C，E 的话必是错的，所以是 C 得了 100 分 例 2 2 的对面是 3，5 的对面是 4，6 的对面是 1 例 3 由题意，学者的出生年份是 29 的倍数，又学者在 1955 年主持过会议，所以出生年份应小 于 1955而小于 1955 且是 29 的倍数的年份有 1943，1914，1885
16、，若出生在 1943 年，则 1955 年才 12 岁，不可能主持会议若出生在 1914 年，则 1955 年时为 41 岁，主持学术会议是合理的若 出生在 1885 年， 则逝世时是 1885 1 29 65 岁， 而 1955 年时为 70 岁， 显然矛盾 所以该学者在 1955 年主持会议时为 41 岁 例 4 列表分析 先把已知的填入表内 由乙与丙可以直接交谈，他们只可能用汉语或德语交谈，又丙与丁、甲与丙不能直接交谈， 所以三人都会的只能是汉语，又甲与丙不能直接交谈，所以乙与丙的德语打“”，甲的汉语打 “”，丙的汉语打“”，乙、丁的汉语打“”由甲、乙、丙会两
17、种语言，甲的英语打“”， 乙的俄语打“”，丙的英语打“”，丁的英、德语打“” 所以，甲会汉语、俄语，乙会汉语、德语，丙会英语、德语，丁只会汉语 例 5 打“？”的这个面上所写的数是 3由题意，1 的对面是 6，紧挨着 6 的是 2，2 的对面是 5， 紧挨着 5 的是 3，3 的对面是 4，6 的对面是 1，所以第 3 个正方体左、右两面是 2 或 5，经分析可知 5 不合理故最左端的是 2，打“？”的面上是 3 例 6 从张、王、赵的答题和得分，推出各题的正确答案， 张对 4 题，错 1 题，未答 1 题.
18、 王对 3 题，错 2 题，未答 1 题 赵对 3 题，错 2 题，示答 1 题. 比较王、张两人的答题，有 3 道题答案不同，即(3)(4)(6)，且王、张共错 3 题，所以两人 错的只能是(3)(4)(6)， 则(1)(2)(5)题的答案正确， 即 (1)， (2)， (5) 比较赵的答案， (2)(5) 都答错了，其余都对，得到 (3)(4)的正确答案：(3)，(4)因张只错 1 道，第 4 题已错，所以 (6)题正确，(6)的正确答案是(6)对照正确答案，杨对 4 题，错 2 题，得 8 分. 针对性训练 课内练习 1C 得了冠军 2红黑 黄绿
19、白蓝 3刘强的妹妹是小红，马明的妹妹是小英，李刚的妹妹是小丽 4书的本数应是 7 和 9 的公倍数，7，963因为书的本数在 100150 之间，所以 632 126(本) 5将正方体的六个面分别记做上、下、左、右、前、后根据题意，(1824)是左、右、前、 后与上的 2 倍之和，所以上(1824)21328因此，挨着桌子这个面的数是 1385 6我们利用 A，B，C，D，E 分别表示 A，B，C，D，E 五人的得分由 ABC953285 和 BCD943282 知，AD3即 DA3由“A 是第一名，E 是第三名得 96 分”知，A 最少 应得 98 分(因为第二名最少得 97 分)取 A98
20、，则 D95,BC28295187，但 B,C 中有一个为 第二名得 97 分，另一个得分为 187 9790< 91，不合题意，取 A99，则 D96，这与 E 是第三 名得 96 分矛盾，故只有 A100，则 D100397.D 得 97 分 课外作业 1C 预测对了 2朝左的数字依次是 1，5，4，它们的积是 15420 3列表如下： 则甲是工人，在上海工作，乙是教师，在北京工作，丙是记者，在南京工作 4因为 10 个盒子中的棋子总和至少为 1231055(个)，而现在只有 54 个，所以办 不到 5由图 A，B 知，1 与 5，4，2，3 相
21、邻，所以 1 的对面是 6，图 C 是图 A 顺转 90，所以“？” 处应是 6 6乙与丙有 6 道题答案不一样，且都为 7 分，所以乙与丙答案一样的第 1，3，4，10 题都答对 了，而甲第 1，4，10 题错了，可知其余 7 题答案正确，因此正确答案为： 7甲 14 岁，乙 16 岁，丙 13 岁 8D场未胜.A，B，C，D 共进行 6 场比赛，有 6 个胜场假设 A，B，C 三人各胜一场，则 D 将 胜 3 场，即 D 胜 A，与题设矛盾，所以 A，B，C 各胜 2 场，D场未胜 9B，C，D 的选票共 4423417(张)可知 C，D 得票各为 5 张，如果
22、 C，D 各得票 6 张，则 B，C，D 三人得票至少有 19 张(因为 B 得票占第 2 位，比 C，D 多)，C，D 得票又多于 4 张(因为 E 得 票最少，是 4 张)，所以 C，D 各得票 5 张.B 得票 17527(张) 10由 2 A 是最简真分数可知 A1，则可得1 1 1113 2346 BC ，得 4B3C7，所以 B1， C1，故 ABC1
23、; 【六年级奥数教程】 第 2 讲 列方程解应用题 列方程解应用题是运用方程知识来解决实际问题，很多稍复杂的应用题，特别是需要逆向思 维的题，运用算术方法解答有一定的困难，列方程解答就比较容易 列方程解应用题的关键是正确地设立未知数，找出等量关系，从而建立方程 列方程解应用题的一般步骤是： 1弄清题意，找出未知数，并用 x 表示； 2找出应用题中数量之间的相等关系，列方程； 3解方程； 4检验，写出答案 例 1 六(1)班有 58
24、 人，六(2)班有 26 人，从六(1)班调多少人到六(2)班，才能使六(2)班人数 比六(1)班人数的 2 倍少9 人？ 思维点拨 我们可以设从六(1)班调 x 人到六(2)班，那么，调动后六(1)班有(58x)人，六(2) 班则有(26x)人再根据调动后“六(2)班人数比六(1)班人数的 2 倍少 9 人”这个条件，就可以列 出方程：26x2(58x)9 例 2 有甲、乙、丙三个数，乙数是甲数的 5 倍，丙数比乙数少 4，且三个数的和是 95，求这三 个数， 思维点拨 这道题中有三个未知量，根据数量关系，设甲数为 x，则乙为 5x，丙为 5x4，再根 据
25、三个数的和为 95，就可以列出方程了 例 3 光明小学体育器材室里，足球的个数是排球的 2 倍体育课上，每班借 8 个足球，5 个排 球，排球借完时，足球还有 48 个体育器材室原有足球、排球各多少个？ 思维点拨 我们如果设原有排球 x 个，则原有足球 2x 个，借出的足球有(2x48)个用借出的 球数除以每班借的球数就得到班级数，即班级数可以表示为(T5)，也可以表示为(21，48)8， 即可得方程 x5(2x48)8，这个方程解起来比较麻烦如果我们设光明小学有 x 个班，则排球 数为 5x，足球个数为( 8x48)，再根据“足球个数是排球的 2 倍”就可以列出方程：
26、5x28x 48 例 4 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字少 1，如果十位上的数字扩大到 4 倍，个位上 的数字减去 2，那么，所得的两位数比原来大 58，求原来的两位数. 思维点拨 要求原来的两位数，就 要先求出十位数字和个位数字，如果设两位数的个位数字是 x，则十位上的数字是(x1)，原来 这个两位数是 10(x1)x，把十位数字扩大到 4 倍，是 4(x1)，个位上的数字减去 2，是(x 2)，现在的两位数为 104(x1)(x2)，根据题意可列出方程. 例 5 有个水池，第一次放出全部水 2 5 ，第二次放出 40 立方米，第三次
27、又放出剩下水的 2 5 ， 池里还剩水 56 立方米，全池蓄水多少立方米？来源:学.科.网 思维点拨 如果用 x 表示全池的蓄水量，那么第一次放出的水应为 2 5 x，第二次放出的水是 40 立方米，第三次放出的水应是剩下的水的(x 2 5 x40) 2 5 有这样的等量关系：第一次放水量 第二次放水量第三次放水量剩余水量全池蓄水量 例 6 两座粮仓，甲仓装粮食 100 吨，如果从乙仓中运出 1 3 放到甲仓，这时，乙仓的粮食比甲仓 少 1 9 求乙仓原有粮食多少吨？ 思维点拨 设乙仓原有 x 吨粮食运出 1 3 x 吨给甲仓，甲仓就有(
28、100 1 3 x)吨，乙仓只剩下 2 3 x 吨，再根据“这时乙仓比甲仓少 1 9 ”这个条件，就可以列出方程了 课内练习 1甲仓有 86 吨货物，乙仓有 42 吨货物，从甲仓运多少吨货物到乙仓，才能使乙仓的货物 比甲仓的 2 倍还少 4 吨？ 2甲、乙、丙三个数的和为 112，丙数比乙数多 4，乙数是甲数的 4 倍，求这三个数 3某小学图书馆里科技书的本数是故事书的 3 倍，活动课上，每班借 7 本科技书，5 本故 事书，故事书借完时，科技书还剩 96 本，图书馆里有科技书和故事书各多少本？ &n
29、bsp;4一个两位数，个位数字与十位数字之和为 8，将个位数字与十位数字对调后，所得的新 数比原来的数大 54，求原来的两位数 5一辆汽车从甲地到乙地第一小时行了全程的 1 6 ，第二小时行了 80 千米，第三小时行 了剩下的 2 5 ，这时距乙地还有 100 千米，甲、乙两地相距多少千米？ 6 甲仓有货物 52 吨， 从乙仓运出 1 5 到甲仓， 这时乙仓比甲仓多 1 9 ， 求乙仓原有货物多少吨 课外作业 1甲布袋有 280 个玻璃球，乙布袋有 40 个玻璃球，从甲布袋取多少个放入
30、乙布袋，才能使 甲布袋的玻璃球比乙布袋的 2 倍还多 35 个？ 2希望小学的六年级有三个班，共有 153 人六(1)班人数是六(3)班的 1.12 倍，六(2)班 比六(3)班少 3 人，三个班各有多少人？ 3布袋里有红球和黄球若干个，红球比黄球的 3 倍多 6 个，若每次取出 8 个红球和 4 个黄 球，当黄球正好取完时，红球还剩 30 个，袋子里原有红球、黄球各多少个？ 4一个六位数的左边第一位数字是 1如果把这个数字移到最右边，那么所得的六位数是 原数的 3 倍，求原数来源:Z*xx*k.Co
31、m 5两个集镇之间的公路除了上坡就是下坡，没有平路，客车上坡的速度保持为每小时 15 千米，下坡则保持为每小时 30 千米现知客车在两地之间往返一次，需在路上行驶 6 小时，求两地之间的距离 6甲、乙两班各有一个图书室，共有 303 本书，已知甲班图书的 5 13 和乙班图书的 1 4 合在 一起是 95 本那么甲班图书有多少本？ 来源:学科网 7西红柿和黄瓜共有 180 千克，西红柿的 3 倍比黄瓜的 2 倍少 10 千克，西红柿和黄瓜 各多少千克？ 8第一个正方形的边长比第二个正方形边
32、长的 2 倍多 1 厘米，它们的周长之和是 88 厘米， 它们的面积之和是多少？ 9甲、乙、丙三个数的和是 218，已知甲数除以乙数、乙数除以丙数都是商 3 余 2，甲、乙、丙 三个数各是多少？来源:学科网 ZXXK 10.甲、乙、丙、丁四人共做零件 265 个，如果甲多做 15 个，乙少做 5 个，丙做的个数乘以 2， 丁做的个数除以 3，那么四个人做的零件数恰好相等，问：丙做了多少？ 你知道吗 列方程解应用题比阐算术方法解应用题有明显的优越性，即简单、快捷、正确.来源:Zxxk.Com 什么叫方程呢?方程就是含有未知数的等式
33、，把这个砉知数求出来，就叫做解方程方程中的未 知 43 通常都用 x，y，x 来表示，这是法国著名数学家、哲学家笛卡儿(RDescaxtes，15961650) 倡导使用的，常用 a，b，c 等表示已知量，用 x，y，z 等表示未知置 第 2 讲列方程解应用题 培优教程 例 1 设从六(1)班调 x 人到六(2)班，则 26x2(58x)9, 26x1162x9, 3x81, X27 所以，从六(1)班调 27 人到六(2)班，才能使六(2)班人数比六(1)班人数的 2
34、倍少 9 人 例 2 设甲为 x，则乙为 5x，丙为 5x4，则 x5x(5x4)95, 11x495, X9 则 5x45，5x441 所以甲数为 9，乙数为 45，丙数为 41 例 3 设光明小学有 x 个班级，则 5x28x48， 10 x8x48， 2x48, x24 5x524120, 1202240. 所以，排球有 120 个，足球有 240 个 例 4 设原来两位数的个位数字为 x， 则十位数字为(x1) 原来这个两位数便是 1
35、0(x1)x 根 据题意，现在的两位数为 104(x1)(x2).于是有方程 104(x1)(x2) 10(x1)x一 58， (40 x40 x2)(10 x10 x)58, 30 x90, x3 x12，10(x1)x23 原来的两位数是 23. 例 5 设全池的蓄水量为 x 立方米， 由第一次放水量第二次放水量第三次放水量剩余水量 全池蓄水量，得方程 2 5 x40(x2x40) 2 5 56x, x 2 5 x 2 5 x 4 25 x80， &nb
36、sp; 9 25 x80 x222 2 9 全池蓄水量为 222 2 9 立方米 例 6 设乙仓原有粮食 x 吨，根据题意，有 (100 1 3 x)(1 1 9 )(1 1 3 )x， (100 1 3 x) 8 9 2 3 x， 800 9 x 8 27 x 2 3 x, 10 27 x 800 9 ， x240 所以乙仓原有粮食 240 吨
37、针对性训练 课内练习 1设从甲仓运 x 吨货物到乙仓，则 42x(86x)24，x42应从甲仓运 42 吨货物到乙 仓 2设甲数为 x，则 x4x(4x4)112,x12. 甲数是 12，乙数是 48，丙数是 52 3设该校有 x 个班级，则 5x37x96，x12 科技书有 180 本，故事书有 60 本 4设原来两位数的十位数字为 x，则个位数字是(8x) 10 x(8x)5410(8x)x， x1 原来的两位数为 17 5设甲、乙两地相距 x 千米，则 1 6 x
38、80(x 1 6 x80) 2 3 100 x x296 甲、乙两地相距 296 千米 6设乙仓原有货物 x 吨，则 (52 1 5 x)(1 1 9 ) (1 1 5 )x， x100 乙仓原有货物 100 吨 课外作业 1设从甲布袋取 x 个球放入乙布袋，则 280 x(40 x)235,x55. 应从甲布袋取 55 个放入乙布袋 2设六(3)班有 x 人，则 1.12x(x3)x153,x50. 六(1
39、)班有 56 人，六(2)班有 47 人， 六(3)班有 50 人 3设取了 x 次，则 4x368x30，x6 红球有 78 个，黄球有 24 个 4 设这个六位数除去最左边的第一位数字 1 以后， 所剩下的数为 x， 那么原六位数是 100000 x， 新六位数是 10 x1，则 10 x13(100000 x),x42857. 原六位数是 142857 5设两地之间的距离为 x，则 15 x 30 x 6，x60 两地之间的距离
40、是 60 千米 6设甲班图书有 x 本，则 5 13 x 1 4 (303x)95, x143. 甲班有 143 本书 7设西红柿有 x 千克，则 3x(180 x)210, x70. 西红柿有 70 千克，黄瓜有 110 千克 8设第二个正方形的边长为 x 厘米，则 (2x1)44x88，x7这两个正方形的面积之和是 274 平方厘米 9设丙数为 x，则 (3x2)32(3x2)x218，x16 甲数为 152，乙数为 50，丙数为 16. 10.设相等的零件数为 x 个
41、，则 x15x50.5x3x265, x50 丙做了 25 个 【六年级奥数教程】 第 3 讲 巧计算 在做分数计算题时，一般的分数计算题，只要能正确利用分数的基本性质、四则运算法则及 定律，都能得到正确的结果，但有些稍难的分数计算题，若按常规的方法计算会很麻烦，而且很难得 出正确的结果，又浪费时间所以我们必须学会某些特殊的运算技巧，
42、合理选择巧妙的方法使运算简 便，从而节省时间，提高运算速度和解题的正确率 例 1 计算： 1111111 (1) () 3453456 1111111 (1) () 3456345 思维点拨 用一般的通分方法计算可以算出结果，但实在是太麻烦了仔细观察会发现每个括号 内都有 111 345 ，我们可以先把它看成一个整体，用一个字母来表示，使运算简化. 例 2 计算： 1111111 261220304256 思维点拨 我们先仔细观察每个分数，它们的分子都是 1，分母都可分解为两个连续自然数的
43、积于是每个分数都可拆分成两个分数的差： 1111 21 212 ， 1111 62 323 ， 1111 123 434 ， 1111 204 545 . 例 3 计算： 222221 11 1313 1515 1717 1919 2121 思维点拨 仔细观察后很容易发现，每个分数的分子都是 2，而分母都是两个相邻奇数的乘积， 并且分子恰好等于分母的两个相邻奇数的差，则有 211 11 131113 ，
44、211 13 151315 , 211 15 171517 ， 211 17 191719 ， 211 19 211921 . 来源:Zxxk.Com 例 4 计算： 111111 1 44 77 1010 1313 1616 19 思维点拨 仔细观察后很容易发现，每个分数的分子都是 1，而分母是两个差为 3 的自然数组成 的乘积形式 我们可以将 1 4 7 写成 13111 () 34 7347 的形式， 再运用乘法分配律把 1 3 提取出来， 就
45、可以进行简便计算了 例 5 计算： 1111 1 121231234123420 . 思维点拨 本题先用等差数列求和公式将各分数的分母化简，再运用其他公式计算. 例 6 计算： 1111111 248163264128 . 思维点拨 仔细观察本题的特一点，每一个分数总是其后一个相邻分数的 2 倍据此特点可设原 式为 A， 将 A 扩大 2 倍后得到 2A 111111 1 248163264 ， 再用 2AA， 便可以得到 A 的值了 课内练习 1计算： 1
46、1111111111111 (1) ()(1) () 24624682468246 2计算： 111111111 2612203042567290 3计算： 22222 10 1212 1414 1616 1818 20 4计算： 111111 1 55 1010 1515 2020 2525 30 5计算： 1111 11 1212123123440 6计算： 111111
47、111 248163264128256512 课外作业 1.计算： 1111111111111111 () ()() () 357957911357911579 来源:学&科&网Z&X&X&K 2计算： 11111111 1 36101521283645 3计算： 111111 11 1313 1515 1717 1919 2121 23 来源:Z|xx|k.Com 4计算：1 1 5 &nbs
48、p;1 45 1 117 1 221 1 357 来源:学.科.网 5. 计算: 1 1 12 1 123 1 1234 1 . 123450 6计算： 111111 1. 392781243729 来源:Zxxk.Com 7计算： 8751323321 (464 ) (1) 100231050523 8计算：(3 1 3 5 2 4 7 3 5 9 4 6 )(1 2 3
49、2 3 4 3 4 5 4 5 6 ). 9.计算： 7 8 9 10 11 3 4 5 6 7 7 8 9 10 11 . 10.计算: 22222 1 2 32 3 43 4 519 20 2120 21 22 . 你知道吗 传说德国伟大的数学家、物理学和天文学家高斯(CFGauss，17771855)很小的时候就 表现出了非凡的数学才能，他在 10 岁的那年还在读小
50、学，一次老师出了一道 123100? 的数学题目，老师刚说完，高斯就能答出等于 5050令同伴们都惊讶不已! 高斯不仅喜欢数学，还非常喜欢古代语，他在大学一年级发明了二次互反律，二年级得出正 十七边形的尺规作图法， 并给出了可用尺规作出的正多边形的条件， 解决了两千年来悬而未决的难题， 高斯的数学成就遍及数学的各个领域，被誉为历史上伟大的数学家之一 高斯还在天文学和物理学方面作出许多重要贡献 第 3 讲巧算 培优教程 例 1 1 3 1 4 1 5 A，则 &nbs
51、p;原式(1A)(A 1 6 ) (1A 1 6 )A A 1 6 A 21 6 AAA 21 6 A 1 6 例 2 先把分母分解为两个连续自然数的积，再把每个分数拆成两个分数的差： 111 1 21 22 ， 1111 62 323 ， 1111 123 434 , 1111 204 545 , 111 3056 ,
52、111 4267 , 111 5678 , 这样原式化为： 原式( 11111111111111 ()()()()()()() 12233445566778 1 1 8 7 8 记住：形如 1 (1)n n 的分数(n0)，可拆成( 11 1nn )的形式， 即 1 (1)n n 11 1nn ， 例 3 把每一项拆成两项： 211 11 131113 ， 2
53、11 13 151315 ， 211 15 171517 ， 211 17 191719 ， 211 19 211921 ，所以， 原式( 11 1113 )( 11 1315 ) ( 11 1517 )( 11 1719 ) ( 11 1921 ) 1 21 1 11 例 4 注意到每个分数的分子都是 1，而分母是两个差为 3 的自然数的乘积，可将每一项分拆， 例如 113111 () 4 734 73
54、47 所以， 原式 11111111111111111 (1)()()()()() 343473710310133131631619 111111111111 (1) 3447710101313161619 11 (1) 319 16 19 . 记住：当 n，d 都是非零自然数时，有 11 11 () ()n ndd nnd )； 当分母是 3 个连续自然数的乘积，而分子为 1 时，可将其分拆为两项的差，有公式 1 (1)(2)n nn
55、 111 2(1)(1)(2)nnnn ， 例如 1111 () 2 3 42 2 33 4 用此公式也可以巧算一类数学题. 例 5 先用等差数列求和公式化简分母 原式11 (12)2 2 1 (1 3) 3 2 1 (14)4 2 1 (120)20 2 22222 1 22 33 44 520 21 11111 2 () 1 22
56、33 44 520 21 111111111 2(1)()()()() 22334452021 1 2 (1) 21 40 21 . 例 6 注意到每一个分数是其后一个相邻分数的 2 倍，令原式A. 则 2A2 1111111 () 248163264128 111111 1 248163264 ， A2AA 111111 (
57、1) 248163264 1111111 () 248163264128 1 1 128 127 128 ， 针对性训练 课内练习 1 1 8 (设 1 2 1 4 1 6 A) 2.190. 3.110. 4.370. 5.80. 6设原式A， 则 2AA1 1 512 511 512 课外作业 1 1 33 (设 1 5 1 7 1 9 A) 2原式 222
58、2 1 2 33 44 59 10 11111111 12 ()()()() 233445910 114 12 ()1 2105 . (吉一击) 3原式 111111111111 ()()()()() 21113131515171921212346 1 22 4原式 11111 1 () 1 55 99 1313 171721
59、1111111111 1(1)()()()() 455991313171721 11 1(1) 421 16 21 5原式 111 1 (12)2(1 3) 3(1 50) 5 222 222 1 () 2 33 450 51 111111 12 ()()() 23345051 2 51 . 6设原式A，则 &nb
60、sp; 3AA3 1 729 2186 729 ， A 2186 729 2 364 1 729 7原式(4 87 100 23 5 6 13 100 23 5 23 5 ) 2 23 23 5 (4 87 100 6 13 100 1) 2 23 23 5 10 2 23 4 8原式 102238585111929 ()() 34563456 2 51119295111929 2()() 34563456 2 9原式 7 8 9 10 113 4 5 6 7 7 8 9 10 117 8 9 10 11 1 1 22 21 22 10由公式 1 (1)(2)n nn 111 2(1)(1) (2)nnnn ， 原式 1111111111 ()()()()() 1 22
