1、 【六年级奥数教程】 第 17 讲 排列组合 分类计数原理：完成一件工作有 n 种方式，用第 1 种方式完成有 m1种方法，用第 2 种方式完 成有 m2种方法用第 n 种方式完成有 mn种方法，那么，完成这件工作总共有(m1m2mn)种方 法，即 Nm1m2m3mn，分类计数原理又叫加法原理， 分步计数原理：完成一件工作共需 n 个步骤，完成第 1 个步骤有 m1 种方法，完成第 2 个步 骤有 m2种方法完成第 n 个步骤有 mn种方法，那么，完成这件工作共有 m1 m2 m3mn种方 法，即 Nm1 m2m3mn，分步计数原理又叫乘法原理 排列公式： m n Pn(n1)(n2)(nm1
2、) 组合公式： m n C (1)(1) ! m n m m Pnnnm Pm 区分排列组合的关键是有序、无序，即排列是有序，组合是无序， 例 1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中火车有 2 班，汽车有 5 班，轮船有 3 班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？ 思维点拨 乘三类交通工具的任何一种都可从甲地到乙地，即一步完成，符合加法原理：25 310(种) 例 2 图书室有 6 本不同的科技书，9 本不同的小说书，8 本不同的人物传记，从中任取科技书、 小说书、人物传记各 1 本，有多少种不同取法？ 思维点拨 从中任取科技书、小说书、人物
3、传记各 1 本这项工作需要 3 个步骤完成，即拿 1 本 科技书，还要再拿 1 本小说书，最后还要拿 1 本人物传记 符合乘法原理：698432(种) 例 3 一个口袋内装有 5 个小球，另一个口袋内装有 4个小球，所有这些小球的颜色互不相同 (1)从两个口袋内任取 1 个小球，有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋内各取 1 个小球，有多少种不同的取法？ 思维点拨 题(1)只要取 1 个小球就完成任务，即一个步骤，符合加法原理：549(种) 题(2)需要分别从两个口袋各取 1 个小球才完成任务，所以要分两个步骤完成，符合乘法原 理：5420(种) 例 4 从 6 个人中选出 3 人排成一排照
4、相，有几种不同的排法？ 思维点拨 从 6 人中选 3 人排成一排照相，因为位置不同，就是不同的排法，所以是有序的， 是排列问题来源:学_科_网 来源:Z#xx#k.Com 例 5 从 6 个人中选出 3 个代表去参加同一个会议，有几种不同的选法？ 思维点拨 从 6 人中选出 3 人，选出的 3 人去参加会议跟顺序无关，是组合问题 例 6 圆上有 12 个点(任意 3 个点都不在同一直线上)，以每 3 个点为顶点画一个三角形，一共 可以画多少个三角形？若以每 4 个点为顶点画一个四边形，可以画多少个？ 思维点拨 从 12 个点中选 3 个点即可组成一个三角形，选出的三点跟顺序无关，因此是组合问
5、题选 4 个点组成四边形同理 课内练习 1从 A 城到 B 城有三种交通工具：火车、汽车、飞机，坐火车每天有 2 个班次；坐汽车每天有 3 个班次；乘飞机每天只有 1 个班次，那么，从 A 城到 B 城共有几种方法可以选择？来源:学科网 2三条平行线上分别有两个点、三个点、四个点(且不在同一直线上的三点一定不共线)，在每 一条直线上取一个点，可以画出一个三角形，一共可以画几个三角形？ 3书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书来源:Z,xx,k.Com (1)从中任取 1 本书，有多少种不同的取法？ (2)从中取数学、语文书各 1 本，有多少种不同的取法？ 来源:Zxxk
6、.Com 4.7 名同学排成一排照相，共有多少种站法？ 5从 7 名男生和 5 名女生中选出 5 人，共有多少种选法？ 6从 2，4，6，8，10 ,12，14，16 中任取 2 数组成一道乘法算式，会有多少个不同的积？ 课外作业 1从 1 到 300 的自然数中，完全不含有数字 3 的有多少个？ 2某学生在小学、初中、高中时都分别有两个学校可以选择，那么他共有几种不同的由小学读 到高中的方式？ 3有三个袋子，其中一个袋子装有红色小球 20 个，每个球上标有 1 至 20 中的一个号码；一个 袋子装有白色小球 15 个，每个小球上标有 1 至 15 中的一个号码；第三个袋子装有 8 个黄色小球
7、，每 个球上标有 1 至 8 中的一个号码 (1)从袋子里任取 1 个小球，有多少种不同的取法？ (2)从袋子里任取红、白、黄色小球各 1 个，有多少种不同的取法？ 4.9 个人坐成一排，问：有多少种不同的坐法？ 5从编号为 19 的队员中选 6 人组成一个队，问：有多少种选法？ 6从 6 名学生中选出 3 人，另外从 3 名教师中选出 2 人组成一组一起去参加同一会议，有多少 种不同的参会方式？ 7在读书活动中，一名学生要从 2 本科技书、3 本文艺书、2 本外语书中任选一本，共有多少种 不同的选法？ 8资料室里有 8 本不同的语文杂志，6 本不同的数学杂志，大江从中任取语文、数学杂志各一
8、本，有多少种不同的取法？ 9用自然数 1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复的三位数？ 10.从 10，11，12，13，14 这五个数中任取 2 个数组成一道乘法算式，会出现多少种不同的积？ 你知道吗 0 是偶数吗? 奇数和偶数的判断标准是：凡是能被 2 整除的数就是偶数，不能被 2 整除的就是奇数所谓 整除的意思就是商是整数，而且没有余数显然 020没有余数，所以 0 是偶数而且 0 具有偶 数的性质，所有的数学理论都证明 0 是偶数 偶数一般可以表示为 2n 的形式(行是自然数) 凡是个位数字是偶数(即 0，2，4，6，8)的整数必为偶数. 两个偶数的和、差、积、商仍然是偶数. 第
9、17 讲 排列组合 培优教程 例 1 乘三类交通工具中的任何一种都可以从甲地直接到乙地，一步完成，是分类计算问题所以 有 25310(种)不同的走法， 例 2 从三类书中各取一本，要 3 步才能完成，是分步计算问题，共有 698432(种)不同的 取法 例 3 (1)有 549(种)取法 (2)从两个口袋中各取 1 个小球，例如从甲袋中取出 1 个，乙袋中的每一个球都可与它相对 应，即有 4 种取法现甲袋中有 5 个球，所以就有 5 个 4 种不同的取法，共有 5420(种)不同的 取法， 例 4 从 6 人中选 3 人照相，因位置不同就有不同的排法，是有次序的，是一排列问题 3 6 P654
10、120，有 120 种不同的排法. 例 5 从 6 人中选出 3 人去参加会议与顺序无关，是组合问题 3 6 C 6 5 4 3 2 1 20，有 20 种不同的选法. 例 6 圆上的 12 个点，没有任意 3 点是在一条直线上，因此任选 3 点均可构成一个三角形，与 三个点的先后顺序无关，任选 4 点即可构成一个四边形，也与顺序无关，因此是组合问题 3 12 C12 11 10 3 2 1 220， 4 12 C12 11 10 9 4 3 2 1 495， 所以可以构成 220 个三角形，495 个四边形 针对性训练 课内练习 1由加法原理：2316(种) 2.画一个三角形需要三个步骤，即
11、分别确定 3 个点，符合乘法原理：23424(个) 3(1)任取 1 本书，即一个步骤完成任务，用加法原理：6511(种) (2)各取 1 本书，即两个步骤完成任务，用乘法原理：6530(种) 4照相是有序的，是排列问题 7 7 P76543215040(种) 5从(75)人中选出 5 人，不排序，是组合问题。 5 12 C 5 12 5 5 P P 12 11 10 9 8 5 4 3 2 1 792(种) 6从 8 个数中任取 2 数组成一道乘法算式，因数的顺序与积无关，所以是组合问题 5 12 C 5 12 5 5 P P 8 7 2 1 28(个) 课外作业 1.1100 含有 3 的
12、数有 19 个，101200 含有 3 的数有 19 个，201300 含有 3 的数有 20 个， 所以不合 3 的数有 300191920242(个) 2从小学到高中需要三个步骤完成，符合乘法原理：2228(种) 3(1)用加法原理：2015843(种) (2)用乘法原理：201582400(种) 4.9 个人坐成一排，不同的顺序代表不同的坐法，是排列问题 9 9 P362880(种) 5从 9 人选 6 人组队，无顺序，是组合问题 6 9 C 6 9 6 6 P P 12 11 10 9 8 5 4 3 2 1 84(种) 6分两步完成：首先从 6 名学生中选 3 人，有 3 6 C种方
13、法，其次从 3 名教师中选 2 人，有 2 3 C种 方法，用乘法原理可以求出方法一共有 3 6 C 2 3 C 3 6 3 3 P P 2 3 2 2 P P 6 5 4 3 2 1 3 2 2 1 60(种) 7从科技书中选一本有 2 种不同的选法，在文艺书中选一本有 3 种不同的选法，从外语书中选 一本有 2 种不同的选法，所以共有 2327(种)不同的选法 8.8648(种)，有 48 种不同的取法 9三位数与数字的位置有关，是排列问题 3 5 P54360，可以组成 60 个不同的三位数 10从 10，11，12，13，14 这五个数中任取 2 个数组成一道乘法算式，因为乘数的位置不同不 影响积，所以是组合问题 2 5 C 5 4 2 1 10，有 10 种不同的积，
