1、江苏江苏 福建福建 广东广东 河北河北 辽宁辽宁 湖北湖北 湖南湖南 重庆等八省市重庆等八省市 2021 届高三新高考统一适应性考试届高三新高考统一适应性考试 数学试题数学试题 考试时间：考试时间：120 分钟分钟 一一 单选题单选题(共共 40 分分) 1. 已知全集U R， 2 20Ax xx，1Bx x，则 U AB （ ） A. 0 x x B. 1x x C. 2x x D. 01xx 2. 设 5 3a ， 3 log 0.2b ， 2 log 3c ，则（ ） A. abc B. cba C. acb D. cab 3. 已知 2 6 sin 7 ， 10 cos 5 ，且 3
2、0 4 ， 3 0 4 ，则sin（ ） A. 9 15 35 B. 11 10 35 C. 15 35 D. 10 35 4. 已知直线l与曲线 x f xe和 lng xx分别相切于点 11 ,A x y， 22 ,B x y.有以下命题： （1） 90AOB(O为原点)； （2） 1 1,1x ； （3） 当 1 0 x 时， 21 221xx.则真命题的个数为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”为弘扬中 国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识
3、讲座，共连续安 排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐 器互不相邻的概率为（ ） A. 1 360 B. 1 6 C. 7 15 D. 1 15 6. 九章算术与几何原本并称现代数学的两大源泉.在九章算术卷五商功篇中介绍了羡除（此处 是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA 是铅垂面，下宽3mAA，上宽4mBD ，深3m，平面 BDEC是水平面，末端宽5mCE ，无深，长 6m（直线CE到BD的距离） ，则该羡除的体积为（ ） A. 3 24m B. 3 30m C. 3 36m D.
4、 3 42m 7. 已知 1 F， 2 F分别是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点） ，若 存在以 2 2 c为半径的圆内切于 12 PFF，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. 1 0, 3 B. 2 0, 3 C. 12 , 33 D. 2 ,1 3 8. 2019 年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID 19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很 快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武 汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从 2 月 7日起举全市之力
5、入户上门排查确诊的新 冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四 类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户 6 口之家被确认为“与确诊患者的密 切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该 家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0 1p ）且相互独立，该家庭至少 检测了 5个人才能确定为“感染高危户”的概率为( )f p，当 0 pp时，( )f p最大，则 0 p （ ） A. 6 1 3 B. 6 3 C. 1 2 D. 3 1 3 二二 多选题多
6、选题(共共 20 分分) 9. 甲罐中有 4个红球，3个白球和 3 个黑球；乙罐中有 5 个红球，3个白球和 2个黑球先从甲罐中随机取 出一球放入乙罐，分别以 1 A， 2 A和 3 A表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取 出一球，以M表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ） A. 1 2 P M B. 1 6 11 P M A C. 事件M与事件 1 A不相互独立 D. 1 A， 2 A， 3 A是两两互斥的事件 10. 定义空间两个向量一种运算 sin,ababa b， 则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立 的有（ ） A. abab
7、B. a bba C. abcacbc D. 若 11 ,ax y， 22 ,bxy，则 122 abx yx y 11. 已知等比数列 n a的公比为 q，前 n 项和0 n S ，设 21 3 2 nnn baa ，记 n b的前 n项和为 n T，则下 列判断正确的是（ ） A. 若1q ，则 nn TS B. 若2q ，则 nn TS C. 若 1 4 q ，则 nn TS D. 若 3 4 q ，则 nn TS 12. 关于函数 ecos x f xax，,x 下列说法正确是（ ） A. 当1a 时， f x在0 x处的切线方程为y x B. 若函数 f x在,上恰有一个极值，则0a
8、 C. 对任意0a， 0f x 恒成立 D. 当1a 时， f x在,上恰有 2个零点 三三 填空题填空题(共共 20 分分) 13. 若 17217 01217 (2)(1)(1)(1)xaaxaxax，则 012316 aaaaa_. 14. 已知ABC的外心为,3 4O AO BCBO ACCO BA，则cosB的取值范围是_. 15. 九章算术 中记载： 将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵， 将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开， 得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形 的四面体）.在如图所示的堑堵 111 ABCABC中， 1 2
9、3,2,4,BBBCABAC且有鳖臑 C1-ABB1和 鳖臑 1 CABC，现将鳖臑 1 CABC沿线 BC1翻折，使点 C与点 B1重合，则鳖臑 1 CABC经翻折后，与 鳖臑 11 CABB拼接成的几何体的外接球的表面积是_. 16. 对于正整数 n， 设 n x是关于 x的方程 2 1 2 1 log3 n n xnn x 的实数根.记 1 2 n n a x ， 其中 x表示不 超过 x 的最大整数，则 1 a _；设数列 n a的前 n项和为 n S则 2020 S_. 四四 解答题解答题(共共 70 分分) 17. 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 2 n nn S ，
10、数列 n b满足： 2 log nn ab， * nN . （1）求数列 n a， n b通项公式； （2）设 1 ,? (2) 2 ,? n n n n a n c n b 为奇数 为偶数 ， n T为数列 n c的前n项和，求 2n T. 18. 已如函数 2 2 3sin sin2cos1 2 f xxxx （1）求函数 f x的单调递增区间； （2）在锐角ABC中，内角 A，B，C对边分别为 a，b，c，已知 2f A ，2a，求ABC面积的 最大值 19. 第 13 届女排世界杯于 2019 年 9 月 14 日在日本举行，共有 12 支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用 球 MIK
11、SA-V200W ， 已知这种球的质量指标 (单位:g )服从正态分布 N (270， 2 5 ).比赛赛制采取单循环方式， 即每支球队进行 11 场比赛(采取 5 局 3 胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以 3:0 或 3:1 取胜的球队积 3 分，负队积 0 分;而在比赛中以 3:2 取胜的球队积 2 分，负队积 1 分.已知第 10 轮中国队对抗 塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为 p(0p1). （1）如果比赛准备了 1000 个排球，估计质量指标在(260，265内的排球个数(计算结果取整数). （2）第 10 轮比赛中，记中国队 3:1 取胜的概率为 fp.
12、 （i）求出 f(p)的最大值点 0 p; （ii）若以 0 p作为 p 的值记第 10 轮比赛中，中国队所得积分为 X，求 X 的分布列. 参考数据: N(u， 2 )，则 p(-X+)0.6826，p(-2X 0 x，则 11 0 xx，有 11 0 xx ee ，此时0OA OB . 所以根据数量积定义知，cos0AOB，即90AOB，故正确； 命题中，由 1 1 2 12 1 1ln1 x x e x exx 得 1 211 111 ln111 0 111 x xxx e xxx ，得 1 1x 或 1 1x ，故错 误； 命题中，因为 21 ln 2111 xx xxexex ，由知
13、， 1 1 1 1 1 x x e x ， 1 1x 或 1 1x ， 故当 1 0 x 时，即 1 1x ，设 1 1 1 1 ( ) 1 x x F xe x ，则 1 2 1 2 ( )0 1 x F xe x ，故 ( )F x在, 1 是增函数，而 2 1 ( 2)0 3 Fe， 3 2 31 0 25 Fe ，故 1 1 1 1 ( )0 1 x x F xe x 的 根 1 3 2, 2 x ，因为 21 ln 2111 xx xxexex ，故构造函数( ) x h xex ， 3 2, 2 x ，则 10 x h xe ，故( )h x在 3 2, 2 上单调递减，所以 3
14、2 333 ( )52 22 222 x h xexge ，故 21 221xx，故正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用导数几何意义求曲线的切线，考查了利用函数的单调性研究函数的零点问题，属 于函数的综合应用题，属于难题. 5. 琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”为弘扬中 国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安 排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐 器互不相邻的概率为（ ） A. 1 360 B. 1 6 C. 7 15 D.
15、1 15 【答案】B 【分析】先求出全部的结果总数为 8 10 A，再求出琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的基本 事件总数为 53 76 A A，再利用古典概型的概率求解. 【详解】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为 8 10 A从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器 中挑五种全排列，有 5 7 A种情况，再从排好的五种乐器形成的 6个空中挑 3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐 器，有 3 6 A种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为 53 76 A A 所以所求的概率 53 76 8 10 1 6 A A P A ，故选：B 【点睛】方法点睛：
16、排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特 殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法. 6. 九章算术与几何原本并称现代数学的两大源泉.在九章算术卷五商功篇中介绍了羡除（此处 是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA 是铅垂面，下宽3mAA，上宽4mBD ，深3m，平面 BDEC是水平面，末端宽5mCE ，无深，长 6m（直线CE到BD的距离） ，则该羡除的体积为（ ） A. 3 24m B. 3 30m C. 3 36m D. 3 42m 【答案】C 【分析】在BD，
17、CF上分别取点 B ， C ，使得3mBBCC，连接A B ，AC ，BC ，把几何体 分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算 【详解】如图，在BD，CF上分别取点 B ， C ，使得3mBBCC，连接A B ，AC ，BC ，则 三 棱 柱A B CA B C是 斜 三 棱 柱 ， 该 羡 除 的 体 积VV 三棱柱 A B CABC V四棱锥 ABD E C 3 1112 363633 6m 232 .故选：C 【点睛】思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不 规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算考查了空间想象能力、
18、逻辑思维能力、运算求解能 力 7. 已知 1 F， 2 F分别是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点） ，若 存在以 2 2 c为半径的圆内切于 12 PFF，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. 1 0, 3 B. 2 0, 3 C. 12 , 33 D. 2 ,1 3 【答案】A 【分析】根据三角形的面积关系，可得 121 222 222 p accc y，再根据| | P yb可得关于 , a c的不等 式，从而可求得离心率的取值范围. 【详解】 12 PFF的面积关系可得： 121 222 222 p accc y， 22 p a
19、c cc ybc ，2acb， 2 2 2acb，则 22 023aacc， 30acac，3ac， 1 0 3 e.故选：A. 【点睛】本题考查椭圆的定义运用、三角形内切圆、椭圆的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思 想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意不等关系的建立. 8. 2019 年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID 19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很 快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武 汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从 2 月 7日起举全市之力入户上门排查确诊的新 冠肺
20、炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四 类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户 6 口之家被确认为“与确诊患者的密 切接触者” ，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家 庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0 1p ）且相互独立，该家庭至少检 测了 5 个人才能确定为“感染高危户”的概率为( )f p，当 0 pp时，( )f p最大，则 0 p （ ） A. 6 1 3 B. 6 3 C. 1 2 D. 3 1 3 【答案】A 【分析】根据题意分别求出
21、事件 A：检测 5个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件 B：检测 6个人确 定为“感染高危户”发生的概率,即可得出( )f p的表达式,再根据基本不等式即可求出. 【详解】设事件 A：检测 5 个人确定“感染高危户”, 事件 B：检测 6 个人确定为“感染高危户”, 4 1P App, 5 1P Bpp. 即 454 11( )21f pppppppp 设10 xp ,则 424 11( )1g xxx xxf px 3 222 24222 22 114 122 22327 xxx g xxxxxx 当且仅当 22 22xx即 6 3 x 时取等号,即 0 6 1 3 pp .故选：A 【
22、点睛】本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用,互斥事件概率加法公式的 应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查学生的数学运算能力和数学 建模能力,属于较难题. 二二 多选题多选题(共共 20 分分) 9. 甲罐中有 4个红球，3个白球和 3 个黑球；乙罐中有 5 个红球，3个白球和 2个黑球先从甲罐中随机取 出一球放入乙罐，分别以 1 A， 2 A和 3 A表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取 出一球，以M表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ） A. 1 2 P M B. 1 6 11
23、 P M A C. 事件M与事件 1 A不相互独立 D. 1 A， 2 A， 3 A是两两互斥的事件 【答案】BCD 【分析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案 【详解】解：甲罐中有 4个红球，3 个白球和 3个黑球；乙罐中有 5 个红球，3个白球和 2 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 1 A、 2 A和 3 A表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件； 再从乙罐中随机取出一球，以M表示由乙罐取出的球是红球的事件， 对 A， 463535541 () 1011101110111102 P M ，故 A错误； 对 B， 1 1 1 46
24、()6 1011 (|) 4 ()11 10 P MA P M A P A ，故 B 正确； 对 C，当 1 A发生时， 6 () 11 P M ，当 1 A不发生时， 5 () 11 P M ，事件M与事件 1 A不相互独立，故 C 正确； 对 D， 1 A， 2 A， 3 A不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故 D正确；故选：BCD 【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力. 10. 定义空间两个向量的一种运算sin,ababa b，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立 的有（ ） A. abab B. a bba C. abcacbc D.
25、若 11 ,ax y， 22 ,bxy，则 122 abx yx y 【答案】BD 【 分 析 】 对 于A,B, 只 需 根 据 定 义 列 出 左 边 和 右 边 的 式 子 即 可 , 对 于C, 当 ab= 时 , 1sin,abcbcb c, sin,sin,1sin,acbcbcb cbcb cbcb c,显然不会恒成立. 对于 D, 根据数量积求出cos, a b,再由平方关系求出sin, a b的值,代入定义进行化简验证即可. 【详解】解：对于 A： sin,aba ba b，sin,ababa b， 故abab不会恒成立； 对于 B，sin,ababa b，=sin,baba
26、b a，故a bba 恒成立； 对于 C，若 ab= ，且0，1sin,abcbcb c， sin,sin,1sin,acbcbcb cbcb cbcb c， 显然abcacbc不会恒成立； 对于 D， 1212 cos, x xy y a b ab ， 2 1212 sin,1 x xy y a b ab ， 即有 2 2 2 12121212 1 x xy yx xy y ababab a ab 2 2222 1212 1122 22 11 x xy y xyxy xy 2 22222222 1122121212211212 2xyxyx xy yx yx yx x y y 1221 x
27、yx y. 则 1221 abx yx y恒成立.故选：BD. 【点睛】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题. 11. 已知等比数列 n a的公比为 q，前 n 项和0 n S ，设 21 3 2 nnn baa ，记 n b的前 n项和为 n T，则下 列判断正确的是（ ） A. 若 1q ，则 nn TS B. 若2q ，则 nn TS C. 若 1 4 q ，则 nn TS D. 若 3 4 q ，则 nn TS 【答案】BD 【分析】先求得q的取值范围，根据q的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出 n T和 n S的大小关系. 【详解】由于 n a是等
28、比数列，0 n S ，所以 11 0,0aSq， 当1q 时， 1 0 n Sna，符合题意； 当1q 时， 1 1 0 1 n n aq S q ，即10 1 n q q ，上式等价于 10 10 n q q 或 10 10 n q q .解得1q . 解，由于n可能是奇数，也可能是偶数，所以 1,00,1q . 综上所述，q的取值范围是 1,00,. 2 21 33 22 nnnn baaaqq ，所以 2 3 2 nn Tqq S ，所以 2 31 12 22 nnnn TSSqqSqq ，而0 n S ，且1,00,q . 所以，当 1 1 2 q ，或2q 时，0 nn TS，即 n
29、n TS，故 BD选项正确，C 选项错误 当 1 2(0) 2 qq时，0 nn TS，即 nn TS. 当 1 2 q 或2q =时，0, nnnn TSTS，A 选项错误. 综上所述，正确的选项为 BD.故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想 方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 12. 关于函数 ecos x f xax，,x 下列说法正确的是（ ） A. 当1a 时， f x在0 x处的切线方程为y x B. 若函数 f x在,上恰有一个极值，则0a C. 对任意0a， 0f x 恒成立 D. 当1a 时， f
30、 x在,上恰有 2个零点 【答案】ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断 A 选项；利用分离参数法，构造 新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断 BC选项；通过构造新函数，转化为两函数的 交点个数来解决零点个数问题，即可判断 D 选项. 【详解】解：对于 A，当1a 时， ecos x fxx ，,x ， 所以 0 0ecos00f，故切点为（0，0） ， 则 esin x fxx，所以 0 0esin01 f ，故切线斜率为 1， 所以 f x在0 x处的切线方程为：010yx ，即y x ，故 A正确； 对于 B， ecos x f xax
31、，,x ，则 esin x fxax， 若函数 f x在,上恰有一个极值，即 0fx 在,上恰有一个解， 令 0fx ，即esin0 x ax在 ,上恰有一个解， 则 sin x x a e 在,上恰有一个解， 即y a 与 sin x x g x e 的图象在,上恰有一个交点， sincos x xx gx e ，,x ， 令 0g x ，解得： 1 3 4 x ， 2 4 x ， 当 3 , 44 x 时， 0g x ，当 3 , 44 x 时， 0g x ， g x在 3 , 4 上单调递增，在 44 3 , 上单调递减，在, 4 上单调递增， 所以极大值为 3 4 2 3 2 0 4
32、g e ，极小值为 4 2 2 0 4 g e ， 而 0,0,00ggg， 作出 sin x g x e ，,x 的大致图象，如下： 由图可知，当0a时，y a 与 sin x g x e 的图象在,上恰有一个交点， 即函数 f x在,上恰有一个极值，则0a，故 B正确； 对于 C，要使得 0f x 恒成立， 即在,x 上， ecos0 x f xax恒成立， 即在,x 上， cos x x a e 恒成立，即 max cos x x a e ， 设 cos x x h x e ，,x ，则 sincos x xx h x e ，,x ， 令 0h x ，解得： 1 4 x ， 2 3 4
33、x ， 当 3 , 44 x 时， 0h x ，当 3 , 44 x 时， 0h x ， h x在 , 4 上单调递增，在 3 , 44 上单调递减，在 3 , 4 上单调递增， 所以极大值为 4 2 2 0 4 h e ， 11 ,hh ee ， 所以 cos x x h x e 在,x 上的最大值为 4 2 2 0 4 h e ， 所以 4 2 2 a e 时，在,x 上， ecos0 x f xax恒成立， 即当 4 2 2 a e 时， 0f x 才恒成立， 所以对任意0a， 0f x 不恒成立，故 C 不正确； 对于 D，当1a 时， ecos x fxx ，,x ， 令 0f x
34、，则 ecos0 x f xx，即e cos x x， 作出函数 x ye和 cosyx 的图象，可知在,x 内，两个图象恰有两个交点， 则 f x在,上恰有 2个零点，故 D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用 和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想. 三三 填空题填空题(共共 20 分分) 13. 若 17217 01217 (2)(1)(1)(1)xaaxaxax，则 012316 aaaaa_. 【答案】 17 21 【分析】 先利用二项展开式的通项公式
35、求解 17 1a，然后利用赋值法求解 012316 aaaaa. 【详解】由题意，由 1717 (2)1 (1)xx， 17 17 1 (1)Tx ， 17 1a， 令0 x，则 17 01217 2aaaa，所以 17 012316 21aaaaa. 故答案为： 17 21 . 14. 已知ABC的外心为,34O AO BCBO AC CO BA，则cosB的取值范围是_. 【答案】 2 ,1 3 【分析】 作出图示，取 BC 的中点 D，则有ODBC，再由向量的线性表示和向量数量积的运算得出 22 1 2 AO BCbc， 22 1 2 BO ACac， 22 1 2 CO BAba，代入
36、已知得 222 +23acb，由 余弦定理表示cosB，再由基本不等式可求得范围. 【详解】作出图示如下图所示，取 BC 的中点 D，连接 OD，AD，因为ABC的外心为 O,则ODBC， 因为+AO BCAD DOBCAD BC DO BCAD BC， 又 22 22 111 + 222 AD BCAB ACACABACABbc，所以 22 1 2 AO BCbc， 同理可得 22 1 2 BO ACac， 22 1 2 CO BAba， 所以 34AO BCBO ACCO BA 化为 222222 111 34 222 bcacba ， 即 222 +23acb . 由余弦定理得 2222
37、 22222 1 +2 12 3 cos 2232 + acac acbac B acacac ， 又 22 22 2 2 22 +acac acac ，当且仅当2ac时，取等号，又0B，所以 2 cos1 3 B . 故答案为： 2 ,1 3 . 【点睛】本题考查向量的数量积运算，以及三角形的外心的定义和性质，关键在于三角形的外心的定义和 向量的线性表示，转化表示向量的数量积，将已知条件转化为三角形的边的关系，属于较难题. 15. 九章算术 中记载： 将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵， 将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开， 得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个
38、鳖臑（四个面均为直角三角形 的四面体）.在如图所示的堑堵 111 ABCABC中， 1 2 3,2,4,BBBCABAC且有鳖臑 C1-ABB1和 鳖臑 1 CABC，现将鳖臑 1 CABC沿线 BC1翻折，使点 C与点 B1重合，则鳖臑 1 CABC经翻折后，与 鳖臑 11 CABB拼接成的几何体的外接球的表面积是_. 【答案】 100 3 【分析】 当 1 CABC沿线 BC1翻折，使点 C 与点 B1重合，则鳖臑 1 CABC经翻折后，A 点翻折到 E 点，,A E关 于B对称，所拼成的几何体为三棱锥 11 CAEB，根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理 求出半径即可求解.
39、 【详解】当 1 CABC沿线 BC1翻折，使点 C 与点 B1重合，则鳖臑 1 CABC经翻折后，A点翻折到 E 点， ,A E关于B对称，所拼成的几何体为三棱锥 11 CAEB,如图， 由 1 2 3,2,4,BBBCABAC 可得 22 11 4ABBBAB , 22 11 4BEBBBE , 即 1 B AE为正三角形， 所以外接圆圆心为三角形中心 1 O， 设三棱锥外接球球心为O，连接 1 OO，则 1 OO 平面 1 AB E，连接 1 OC, 1 OB,在 11 OBCV中作 11 OMBC, 垂足为M，如图， 因为 11 OCOBR, 11 OMBC, 所以M是 11 BC的中
40、点，由矩形 11 MOOB可知 111 11 3 22 OOBCBC, 因为 1 O为三角形 1 AB E的中心， 所以 111 224 3 2 3 333 BOB B 在 11 Rt BOOV中， 22 111 165 3 3 33 ROOBO , 所以 2 100 4 3 SR , 故答案为： 100 3 【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了空间想象力，属 于难题. 16. 对于正整数 n，设 n x是关于 x的方程 2 1 2 1 log3 n n xnn x 的实数根.记 1 2 n n a x ，其中 x表示不 超过 x 的最大整数，则 1
41、a _；设数列 n a的前 n项和为 n S则 2020 S_. 【答案】 (1). 0 (2). 1010 【分析】 （1）当1n 时，化简方程，通过构造函数方法，找到函数零点的范围，进而求出结果. （2）令 1 2 n n t x ，化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围，即 n t得范围，分类讨论n为奇数和 偶数时 n a，求得结果. 【详解】 （1）当1n 时， 2 2 1 log4x x ， 设 2 2 1 ( )log4f xx x 单调递减， 1 ( )10 2 f，(1)30f ，所以 1 1 1 2 x， 1 11 1 22 x 1 1 1 0 2 a x （2）令 1
42、 2 n n t x ，则方程化为： 22 +1 (2 )log23 nnn tntnn 令 22 +1 ( )(2 )log23 n f xxnxnn，则( )f x在(0,)单调递增 +1 ( )log30 2 n n fnnn； +1 ()10 2 n f 由零点存在定理可得： 1 ( ,) 22 n n x，( )0f x ， 当 21()nkk N ， 21 (, ) 2 n k tk， 1 nn atk 当2 ()nk k N， 21 () 2 ， n k tk， nn atk 所以当 10101010 2 2020 11 (1)1010 kk Skk， 2020 1010S 故答
43、案为：0；1010 【点睛】本题考查了函数的性质、零点存在定理，数列求和等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理 能力，转化和分类讨论的数学思想，属于难题. 四四 解答题解答题(共共 70 分分) 17. 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 2 n nn S ，数列 n b满足： 2 log nn ab， * nN . （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）设 1 ,? (2) 2 ,? n n n n a n c n b 为奇数 为偶数 ， n T为数列 n c的前n项和，求 2n T. 【答案】 （1） n an，2n n b ； （2） 2 712 62 213 4
44、 n n T n 【分析】 （1）根据 2 2 n nn S ，利用数列的通项与前n项和的关系 1 1 ,1 ,2 n nn S n a SSn 求解； （2）由（1）知， n an，2n n b 得到 1 1 2 1 2 n n n n n c n 为奇数 为偶数 ，然后利用分组求和法求解. 【详解】 （1）数列 n a的前n项和 2 2 n nn S ， 当1n 时， 11 1aS 当2n时， 2 2 n nn S ， 2 1 11 2 n nn S ， 两式相减得： 1nnn aSSn (2)n 又1n 时， 1 1a 满足上式 所以 n an 又 2 log nn ab，所以 2 lo
45、g n nb ， 所以2n n b . （2） 1 2 2 n n n n an c n b 为奇数 为偶数 ，由（1）知， n an，2n n b 所以 1 1 2 1 2 n n n n n c n 为奇数 为偶数 21321242 ()() nnn Tcccccc 21 111111 . 1 33 52121282 n nn 11 1 11111124 1 1 23352121 1 4 n nn 1121 (1)(1) 22134nn 712 62(21)34nn 【点睛】方法点睛：求数列的前 n项和的方法 (1)公式法：等差数列的前 n项和公式， 1 1 1 22 n n n aan
46、n Snad 等比数列的前 n项和公式 1 1 ,1 1 ,1 1 n n na q Saq q q ； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解 (3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项 (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 (5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的 前 n项和用错位相减法求解. (6)并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型， 可采用两项合并求解 18. 已如函数 2 2 3sin sin2cos1 2 f xxxx （1）求函数 f x的单调递增区间； （2）在锐角ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 2f A ，2a，求ABC面积 的最大值 【答案】 （1） , 63 kkk Z；
