1、1 1、3 3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 1. 柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积 正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。 探究探究 棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的 几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的 表面积？表面积？ 棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图 形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图 形，棱台的侧面展开图
2、是由梯形组成的平面图形。形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。 这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行 四边形、三角形、梯形的面积问题。四边形、三角形、梯形的面积问题。 .),( ,1 求它的表面积如下图面体 四各面均为等边三角形的、已知棱长为例 ABCS a S B A C D 圆柱的展开图是一个矩形：圆柱的展开图是一个矩形： 如果圆柱的底面半径为如果圆柱的底面半径为 ，母线为，母线为 ，那么圆柱，那么圆柱 的底面积为的底面积为 ，侧面积为，侧面积为 。因此圆柱的。因此圆柱的 表面积为表面积为 rl 2 rrl2 )(222 2 lrrrl
3、rS O O 圆锥的展开图是一个扇形：圆锥的展开图是一个扇形： 如果圆柱的底面半径为如果圆柱的底面半径为 ，母线为，母线为 ，那么它，那么它 的表面积为的表面积为 r l )( 2 lrrrlrS O S r2 设圆台的母线长为l，上、下底面的周长 为c/、c，半径分别是r/、r,求圆台的侧面积 解：S圆台侧 )( 2 1 xlcxc / 2 1 .)( 2 1 / xcccl , / lx x c c . / / cc lc x 代入，得 )( 2 1 / / / cc lc ccclS 圆台侧 lcc)( 2 1 / lrr) / （ / r r l / c c x 圆台的展开图是一个扇环
4、，它的表面积等于上、圆台的展开图是一个扇环，它的表面积等于上、 下两个底面和加上侧面的面积，即下两个底面和加上侧面的面积，即 )( 22 rllrrrS O O 2 r r2 ?)1,14. 3 (.15 ,5 . 1,15 ,20, 2 cm cm cmcm cm 结果精确到 取多少平方厘米那么花盆的表面积约是 盆壁长底部渗水圆孔直径为直径为 盆底一个圆台形花盆直径为如下图例 15cm 20cm 15cm 柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台体的体积 正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统 一为：一为： V = Sh（S为底面面积，为底面面积，h为高
5、）为高） 一般棱柱的体积公式也是一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中，其中S为为 底面面积，底面面积，h为高。为高。 棱锥的体积公式也是棱锥的体积公式也是 ，其中，其中S为底为底 面面积，面面积，h为高。为高。 ShS 3 1 探究探究 探究棱锥与同底等高的棱柱体积之探究棱锥与同底等高的棱柱体积之 间的关系？间的关系？ 圆台圆台(棱台棱台)的体积公式：的体积公式： hSSSSV)( 3 1 其是其是S，S分别为上底面面积，分别为上底面面积，h为圆台（棱台）高。为圆台（棱台）高。 O O O S 它是同底同高的圆柱的体积的它是同底同高的圆柱的体积的 。 3 1 ?)14. 3( ,10,10
6、,12 ,8 . 5)( )/8 . 7( 3 3 取大约有多少个 问这堆螺帽高为内孔直径边长为 已知底面是正六边形共重如下图六角螺帽 铁的密度是有一堆规格相同的铁制例 mmmmmm kg cmg 圆柱、圆锥、圆台 侧 面 展 开 图 圆台 圆锥 圆柱 名 称 S侧=cl=2rl S侧= 侧 面 积 cl 2 1 =rl c l c l l c lcc)( 2 1 / S侧= =(r+r/)l / c 表 面 积 rlrS22 2 )( 2 lr rlrS )( )( 22 rllr rrS 例例4.4.如图，正方体如图，正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1
7、 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个它的各个 顶点都在球顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。 A A B B C C D D D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 O O A A B B C C D D D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 O O 分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。 略解： 22 222 11 11 34 2 3 ,)2()2( 22 :
8、 aRS aRaaR aDBRDB DDBRt 得：得： ， 中中 变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。 变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。 2 a 2 2a 关键关键： 找正方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系 例5.钢球直径是5cm,求它的体积. ( (变式变式2) 2)把钢球放入一个正方体的有盖纸把钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中盒中, ,至少要用多大的纸至少要用多大的纸? ? 用料最省时用料最省时, ,球与
9、正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ? 球内切于正方体球内切于正方体 22 15056cmS 侧 侧棱长为侧棱长为5cm 1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来体积变为原来 的几倍的几倍? 2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是 4cm,求这个球的体积求这个球的体积. 8倍倍 332 3.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球一球 切于正方体的各侧棱切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各一球过正方体的各 顶点顶点,求这三个球的体积之比求这三个球的体积之比. 作轴截面作轴截面 小结小结 本节课主要介绍了求空间几何体的表面积本节课主要介绍了求空间几何体的表面积 和体积的公式和方法：和体积的公式和方法： 将空间图形问题转化为平面图形问题，将空间图形问题转化为平面图形问题， 利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积。利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积。
