1、第 1 页（共 11 页） 2020-2021 学年甘肃省天水市高二（上）期末数学试卷（文科）学年甘肃省天水市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的。 ）有一个是符合题目要求的。 ） 1 （5 分）下列四个命题中的真命题为( ) A若sinsinAB，则AB B任意xR， 2 10 x C若 2 0lgx ，则1x D存在xZ，使143x 2 （5 分）与命题“若aM，则bM”等价的命题是( ) A若aM，则bM B
2、若bM，则aM C若aM，则bM D若bM，则aM 3 （5 分）已知p、q是两个命题，则“p是真命题”是“p且q是真命题”的( ) A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）命题“梯形的两对角线互相不平分”的命题形式为( ) Ap或q Bp且q C非p D简单命题 5 （5 分）设函数( )yf x，当自变量x由 0 x改变到 0 x x时，函数值的改变量y等于 ( ) A 0 (f x ) x B 0 ()f xx C 0 ()f xx D 0 (f x 0 )()xf x 6 （5 分）椭圆 22 1xmy的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两
3、倍，则m的值为( ) A 1 4 B 1 2 C2 D4 7 （5 分）过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点作直线交抛物线于 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y两点， 若 12 3xxp，则|PQ等于( ) A4p B5p C6p D8p 8 （5 分）函数( )yf x在区间a，b上的最大值是M，最小值是m，若mM，则( )(fx ) A等于 0 B大于 0 C小于 0 D以上都有可能 第 2 页（共 11 页） 9 （5 分）函数( )f x的定义域为开区间( , )a b，导函数( )fx在( , )a b内的图象如图所示，则 函数( )f x在开区间( , )a b
4、内有极小值( ) A2 个 B1 个 C3 个 D4 个 10 （5 分）函数 32 39 ( 22)yxxxx 有( ) A极大值 5，极小值27 B极大值 5，极小值11 C极大值 5，无极小值 D极小值27，无极大值 11 （5 分）函数 2 1 4yx x 单调递增区间是( ) A(0,) B(,1) C 1 ( ,) 2 D(1,) 12 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的顶点恰好是椭圆 22 1 95 xy 的两个顶点， 且焦距是6 3，则此双曲线的渐近线方程是( ) A 1 2 yx B 2 2 yx C2yx D2yx 二、填空题：本大题共二、
5、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分。分。 13 （5 分）命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定是 14 （5 分）已知( ) x f xe lnx求( )f x的导数 15 （5 分）已知抛物线 2 2yax过点(1,4)，则焦点坐标为 16 （5 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的焦距为2c，且a，b，c依次成等差数列，则 椭圆的离心率为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共 70 分） 分） 17 （10 分）求与椭圆 22 1 4924 xy 有公共焦点，且离心率 5 4 e
6、 的双曲线的方程 18 （12 分） 已知椭圆的一个顶点为(0, 1)A， 焦点在x轴上 若右焦点到直线2 20 xy 的距离为 3 （1）求椭圆的方程； 第 3 页（共 11 页） （2）求此椭圆的离心率 19 （12 分）当从0到180变化时，方程 22 cos1xy表示的曲线的形状怎样变换？ 20 （12 分）已知函数( )f xxlnx （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点xe处的切线方程 21 （12 分）一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后 做成一个无盖方盒 （1）试把方盒的容积V表示为x的函数 （2）x多大时，方盒的容积V最大？ 2
7、2 （12 分）已知函数 32 ( )5f xxaxbx，曲线( )yf x在点(1P，f（1）)处的切线 方程为31yx （1）求a，b的值； （2）求( )yf x在 3，1上的最大值 第 4 页（共 11 页） 2020-2021 学年甘肃省天水市高二（上）期末数学试卷（文科）学年甘肃省天水市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的。 ）有一个是符合题目要求的。 ） 1 （5
8、 分）下列四个命题中的真命题为( ) A若sinsinAB，则AB B任意xR， 2 10 x C若 2 0lgx ，则1x D存在xZ，使143x 【解答】解：A、当30150BA，也成立sinsinAB，但AB ，故A错误； B、 2 0 x ，任意xR， 2 10 x ，故B正确； C、若1x 可得 2 0lgx ，故C错误； D、xZ，48x ，4，0，4，8，不可能有143x，故D错误； 2 （5 分）与命题“若aM，则bM”等价的命题是( ) A若aM，则bM B若bM，则aM C若aM，则bM D若bM，则aM 【解答】解：原命题和逆否命题互为等价命题， 与命题“若aM，则bM”
9、等价的命题是： 若bM，则aM 故选：D 3 （5 分）已知p、q是两个命题，则“p是真命题”是“p且q是真命题”的( ) A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由“p是真命题”不能确定“p且q是真命题” ；反过来，由“p且q是真命 题”可知“p是真命题” 因此， “p是真命题”是“p且q是真命题”的必要而不充分条件，选A 故选：A 4 （5 分）命题“梯形的两对角线互相不平分”的命题形式为( ) Ap或q Bp且q C非p D简单命题 【解答】解：记命题p：梯形的两对角线互相平分， 第 5 页（共 11 页） 而原命题是“梯形的两对角线互相不
10、平分” ，是命题p的否定形式 故选：C 5 （5 分）设函数( )yf x，当自变量x由 0 x改变到 0 x x时，函数值的改变量y等于 ( ) A 0 (f x ) x B 0 ()f xx C 0 ()f xx D 0 (f x 0 )()xf x 【解答】解：自变量x由 0 x改变到 0 x x， 当 0 xx， 0 ()yf x， 当 0 xxx， 0 (yf x) x， 0 (yf x 0 )()xf x， 故选：D 6 （5 分）椭圆 22 1xmy的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( ) A 1 4 B 1 2 C2 D4 【解答】 解： 椭圆 22 1xmy的焦
11、点在y轴上， 长轴长是短轴长的两倍， 11 2 4 m m ， 故选：A 7 （5 分）过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点作直线交抛物线于 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y两点， 若 12 3xxp，则|PQ等于( ) A4p B5p C6p D8p 【 解 答 】 解 ： 设 抛 物 线 2 2(0)ypx p的 焦 点 为F， 由 抛 物 线 的 定 义 可 知 ， 12 | | 22 pp PQPFQFxx 12 ()4xxpp， 故选：A 8 （5 分）函数( )yf x在区间a，b上的最大值是M，最小值是m，若mM，则( )(fx ) A等于 0 B大于 0
12、C小于 0 D以上都有可能 第 6 页（共 11 页） 【解答】解：最大最小相等， ( )yf x是常数函数， ( )0fx 故选：A 9 （5 分）函数( )f x的定义域为开区间( , )a b，导函数( )fx在( , )a b内的图象如图所示，则 函数( )f x在开区间( , )a b内有极小值( ) A2 个 B1 个 C3 个 D4 个 【解答】解：函数( )f x的定义域为开区间( , )a b， 导函数( )fx在( , )a b内的图象如图所示， 由图象得： 当axc，或0dx，或0 xe时，( )0fx， 当cxd或e，xd时，( )0fx， ( )f x的增区间为( ,
13、 )a c，( ,0)d，(0, ) e，减区间为( , )c d，( , )e b， f（d）是函数( )f x在开区间( , )a b内有极小值， 函数( )f x在开区间( , )a b内有 1 个极小值 故选：B 10 （5 分）函数 32 39 ( 22)yxxxx 有( ) A极大值 5，极小值27 B极大值 5，极小值11 C极大值 5，无极小值 D极小值27，无极大值 【解答】 解： 2 3690yxx， 得1x ，3x ， 当1x 时，0y； 当1x 时，0y， 当1x 时，5y 极大值 ；x取不到 3，无极小值 第 7 页（共 11 页） 故选：C 11 （5 分）函数 2
14、 1 4yx x 单调递增区间是( ) A(0,) B(,1) C 1 ( ,) 2 D(1,) 【解答】解：令 3 2 22 1811 80,(21)(421)0, 2 x yxxxxx xx 故选：C 12 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的顶点恰好是椭圆 22 1 95 xy 的两个顶点， 且焦距是6 3，则此双曲线的渐近线方程是( ) A 1 2 yx B 2 2 yx C2yx D2yx 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的顶点恰好是椭圆 22 1 95 xy 的两个顶点，且 焦距是6 3， 3a，3 3c ， 22 3
15、 2bca ， 双曲线的渐近线方程是2 b yxx a 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分。分。 13 （5 分）命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定是 存在长方体不是四棱柱 【解答】解：命题“所有的长方体都是四棱柱”为全称命题，则命题的否定为“存在长方体 不是四棱柱” ， 故答案为：存在长方体不是四棱柱 14 （5 分）已知( ) x f xe lnx求( )f x的导数 ( ) x x e fxe lnx x 【解答】解：( ) x f xe lnx， ( ) x x e fxe lnx x 故答案为：( ) x x e fxe lnx
16、 x 15 （5 分）已知抛物线 2 2yax过点(1,4)，则焦点坐标为 1 (0,) 16 第 8 页（共 11 页） 【解答】解：抛物线 2 2yax过点(1,4)， 即有42a，解得2a ， 则抛物线 2 4yx即 2 1 4 xy的焦点坐标为 1 (0,) 16 故答案为： 1 (0,) 16 16 （5 分）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的焦距为2c，且a，b，c依次成等差数列，则 椭圆的离心率为 3 5 【解答】 解：a，b，c依次成等差数列，2bac， 又 222 abc， 222 () 2 ac ac ， 即 22 3520acac， 2 5230ee，
17、3 5 e 或1e （舍去） 故答案为： 3 5 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共 70 分） 分） 17 （10 分）求与椭圆 22 1 4924 xy 有公共焦点，且离心率 5 4 e 的双曲线的方程 【解答】解：依题意，双曲线的焦点坐标是 1( 5,0) F ， 2(5,0) F， （2 分） 故双曲线方程可设为 22 22 1(0,0) xy ab ab ， 又双曲线的离心率 5 4 e ， 22 25 55 4 ab a （6 分） 解之得4a ，3b 故双曲线的方程为 22 1 169 xy （8 分） 1
18、8 （12 分） 已知椭圆的一个顶点为(0, 1)A， 焦点在x轴上 若右焦点到直线2 20 xy 的距离为 3 （1）求椭圆的方程； （2）求此椭圆的离心率 【解答】解： （1）由已知可得1b ，设椭圆的右焦点坐标为( ,0)F c， 第 9 页（共 11 页） 则点F到直线2 20 xy的距离为 22 |2 2 | 3 11 c d ， 解得2c ，则 222 3abc， 故椭圆的方程为 2 2 1 3 x y； （2）由（1）知：3a ，2c ， 所以椭圆的离心率为 6 3 c e a 19 （12 分）当从0到180变化时，方程 22 cos1xy表示的曲线的形状怎样变换？ 【解答】解
19、：当0 时，cos01 ，方程 22 1xy表示圆心在原点的单位圆； 当900 时，1cos0，方程 22 cos1xy表示中心在原点，焦点在y轴上的椭 圆； 当90时，cos900 ，方程 2 1x ，得1x 表示与y轴平行的两条直线； 当18090 时，cos0，方程 22 cos1xy表示焦点在x轴上的双曲线； 当180时，cos1801 ，方程 22 1xy表示焦点在x轴上的等轴双曲线 20 （12 分）已知函数( )f xxlnx （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点xe处的切线方程 【解答】解： （1）( )f xxlnx， ( )1(0)f xlnxx ； （2）
20、由（1）知，切线的斜率kf（e）12lne ，点( , )e e， 代入点斜式方程得：2()yexe，即20 xye， 该函数的图象在xe处的切线方程为：20 xye 21 （12 分）一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后 做成一个无盖方盒 （1）试把方盒的容积V表示为x的函数 （2）x多大时，方盒的容积V最大？ 第 10 页（共 11 页） 【解答】解： （1）无盖方盒的容积 2 (2 ),(0,) 2 a Vaxx x（4 分） （2）因为 2 (2 ),(0,) 2 a Vaxx x， 所以 22 128Vxaxa， 令0V 得 2 a x （舍)，或 6
21、 a x 当(0,) 6 a x时，0V ，当( , ) 6 2 a a x时，0V ， 因此 6 a x 是函数V的极大值点，也是最大值点， 故当 6 a x 时，方盒的容积最大（12 分） 22 （12 分）已知函数 32 ( )5f xxaxbx，曲线( )yf x在点(1P，f（1）)处的切线 方程为31yx （1）求a，b的值； （2）求( )yf x在 3，1上的最大值 【解答】解： （1）由 32 ( )5f xxaxbx得， 2 ( )32f xxaxb， ( )yf x在点(1P，f（1）)处的切线方程为： yf（1）f（1）(1)x， 即(6)(32)(1)yabab x，
22、 整理得(32)3yab xa 又( )yf x在点(1P，f（1）)处的切线方程为31yx， 323 31 ab a ，解得 2 4 a b ， 2a，4b （2）由（1）知 32 ( )245f xxxx， 2 ( )344(32)(2)fxxxxx， 第 11 页（共 11 页） 令( )0fx，得 2 3 x 或2x 当x变化时，( )f x，( )fx的变化如下表： x 3 ( 3, 2) 2 2 ( 2, ) 3 2 3 2 ( ,1) 3 1 ( )fx ( )f x 8 增 极大值 减 极小值 增 4 ( )f x的极大值为( 2)13f ，极小值为 295 ( ) 327 f， 又( 3)8f ，f（1）4， ( )f x在 3，1上的最大值为 13
