1、1 高三数学高三数学参考答案参考答案 选择题(本大题共选择题(本大题共 8 8 小题,小题,每小题每小题 5 5 分,分,共共 4040 分)分) 题号123456789101112 答案 CDDCCABBBCADABCAD 1.C解析:Ax|log2x1x|0 x2,ABx|0 x1,b1,log2a0,log2b0.ab2 ab,ab4,ab4, log2alog2b (log2alog2b 2 )2log2(ab) 2 2(log24 2 )21.取 a16,b2 1 5,则 log2alog2blog216log22 1 54 54,“ab4”是“log2alog2b1”的充分不必要条
2、件 7.B解析:设所求数列为 an,由题意可得该数列为 5、17、29、41、 ,所以数列 an 为等差 数列,且首项为 a1=5,公差为 d=12,所以 an=a1+(n-1)d=12n-7,令 2an2021,即 212n-7 2021, 解得 3 4 n169, 所以满足 3 4 n169 的正整数 n 的个数为 169, 所以该数列共有 169 项 8.B解析:由已知可得 f(x)关于 x1 对称,且在(1,)上单调递增,3log21 62, 2 1 2 1 log 5 3,120.32,acb. 9.BC解析:|ab|2a22abb212ab43,ab1,a(ab)0,a(ab),|
3、a b| a22abb2 7,cos ab |a|b| 1 2,a 与 b 的夹角为 2 3 ,故 BC 正确 10.AD解析:12xi2(axi)2a1,则样本 12x1,12x2,12xn的平均值为 252a 19,a1,s222416,s4. 2 11.ABC解析:由图可得 A3, 1 2 2 4 3 3 ,1.根据五点法作图可得 1 3 0, 3 ,f(x)3sin(x 3 )将函数 yf(x)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的1 4倍,纵坐标 不变,可得 y3sin(4x 3 )的图像;再将所得图像上所有点向右平移(0)个单位长度,可得 g(x) 3sin(4x4 3 )的图像yg(
4、x)的图像关于直线 x 2 对称,4 2 4 3 k 2 ,即 k 4 7 24 ,kZ,令 k1,可得的最小值为 24, 12.AD解析:直线 l1:mxy3m10 与 l2:xmy3m10 垂直,l1过定点 M(3,1),l2过 定点 N(1, 3), 在MNP 中, 设PMN, 则|PM|+|PN| =2 2cos2 2sin4sin4 4 , 由0PM PN 可得点 P 轨迹方程为(x2)2(y2)22(3x ).作 CDAB,则 CD 2,点 D轨迹方程为(x1)2(y1)22.|PA PB|2|PD |, |PD |的最小值为 2, |PA PB|的最小值为2 2. 三三、填空题(
5、本大题共、填空题(本大题共 4 4 小题,小题,每小题每小题 5 5 分,分,共共 2020 分)分) 13. 4014. 215. 2 5216. 120或 60 13.40解析:( 2 xx 2)5的展开式的通项公式为 Tr 1(1)r25 rCr 5x 5r5 2,令5r5 2 5,则 r3, 展开式中含 x5的项为 T31(1)325 3C3 5x540 x5,故 x5的系数是40. 14.2解析:f(x)1lnx x2 ,f(1)1,f(1)0,g(x)ex a,g(1)e1a1,解得 a1,由 g(1) 0 解得 b1,ab2. 15.2 52解析:由已知得点 A 在以原点为圆心,
6、2 为半径的圆上,由 y28x x2y24解得 x A2 54, |AF|xA22 52. 16.120或 60解析: 如图, 取 AB 中点 H, 连接 O1H, EH, OH, 则O1HE 即为二面角 EABD 的平面角 由已知得 R 7, BD2 6, O1B 6, OO1 1,O1H 3,OH2,O1HO30.O1HEH 3,OE 7, OHEH,O1HE120,同理当 E 在下方时O1HE60. 四、四、解答题(解答题(本大题本大题共共 6 6 小小题,共题,共 7070 分)分) 17.解析: (1)若选择:由及正弦定理可得 222 ,acacb ababcab即, 由余弦定理得
7、222 1 cos, 223 abc CC ab .(4分) 3 若选择:由及正弦定理得2sinBsinA sinC cosA cosC0,即 2sinBcosCsinAcosCcosAsinC0, sinB(2cosC1)0, sinB0,cosC1 2,C 3 .(4 分) 若选择:由可得sin3 cos,sinsin3sincos,cBbCCBBC tan3, 3 CC.(4分) (2)由已知及余弦定理可得 222 1624 cos416 3 cbbbb , 由ABC为锐角三角形可得 22 41616bbb且 22 16416bbb,解得28b, ABC面积 1 sin3(2 3 23
8、Sabb ,8 3) (10分) (或由正弦定理将b转换成一个内角的三角函数求解) 18.解析:(1)当 n1 时, 1 a12 3 2 1 2,a 12,当 n2 时, 1 a1 2 a2 n1 an1 2n1 2n 1, n an(2 n2 2n )(2n1 2n 1) n 2n,a n2n,n1 也符合,an2n.(6 分) (2)bn 1 log42n 1log42n 4 n(n1)4( 1 n 1 n1), Sn4(11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1)4(1 1 n1) 4n n1.(12 分) 19.解析:(1)设 AB 中点为 O,连接 EO,OC, ABE 是斜边长为
9、2 的等腰直角三角形,EOAB,且 EO1, 平面 ABE平面 ABCD,平面 ABE平面 ABCDAB,EO平面 ABCD, FC平面 ABCD,EOFC, EF平面 ABCD,EFOC,EOCF 为平行四边形,FCOE1.(6 分) (2)建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz, 则 E(0,0,1),B(1,0,0),D(1,2,0),F(1,2,1), 设平面 FBD 的法向量为 n1(x1,y1,z1), 则 BD n10 BF n 10 ,即 2x12y10 2y1z10 , 令 x11,则 y11,z12,n1(1,1,2), cos n1EF |n1|EF | 30 10 , 直
10、线 EF 与平面 BDF 所成角的正弦值为 30 10 .(12 分) 4 20解析:(1)第三局甲当裁判的概率为1 2 2 5 1 2 2 5 2 5.(4 分) (2)X 的可能取值为 0,1,2, 当 X0 时,前三局乙均胜,故 P(X0)1 2( 2 5) 22 25, 不能连续两局当裁判,第一局由甲当裁判,故乙只能是第 2、4 局当裁判,故乙在第一局中输掉, 在第三局中也输掉,故 P(X2)1 2 2 5 1 5,P(X1)1 2 25 1 5 18 25. 其分布列为 X012 P 2 25 18 25 1 5 EX18 25 2 5 28 25.(12 分) 21.解析:(1)由
11、已知可得 222 2 1 2 a c a abc ,解得 2 2 4 3 a b ,椭圆的方程为x 2 4 y 2 3 1.(4 分) (如果考生按 ba 求出椭圆的方程为 22 1 16 4 3 yx ,也给全分,两个都写对也给全分) (2)设 P(x0,y0),则 PC,PD 的斜率之积为 kPCkPD y0 x02 y0 x02 y20 x204, x 2 0 4 y 2 0 3 1,kPCkPD3 4, OFPD,OEPC,kOEkOF3 4. 由题意可知直线 OF 的斜率存在且不为 0,设直线 OF:ykx,则直线 OE:y 3 4kx, 由 x2 4 y 2 3 1 ykx 解得
12、x2F 12 4k23,同理可得 x 2 E 16k2 4k23, |OF| x2Fy2F (1k2)x2F 12(1k2) 4k23 , 点 E 到直线 OF:ykx0 的距离 d|y EkxE| 1k2 | 3 4kx EkxE| 1k2 4k23 1k2 , SOEF1 2|OF|OE| 1 2 12(1k2) 4k23 4k23 1k2 3. OEF 的面积为定值 3.(12 分)(考生只要按其中一个椭圆方程求解出定值也给满分) 5 22. 解析:(1)当 a=1 时, 1 eln11,e,1 1 xx f xxfxx x , 显然 fx在(1,+)单调递增,且 00 f , 当1x0 时, 0fx,f(x)单调递增, f(x)在 x=0 处取得极小值 00f,无极大值.(4 分) (2)函数 f(x)有两个零点,即 f(x)0 有两个解,即 aexln(aex)ln(x1)(x1)有两个解, 设 h(t)tlnt,则 h(t)11 t0,h(t)单调递增, aexx1(x1)有两个解,即 ax1 ex (x1)有两个解 令 s(x)x1 ex (x1),则 s(x) x ex, 当 x(1,0)时,s(x)0,s(x)单调递增,当 x(0,)时,s(x)0 时 s(x)0,0a1.(12 分)