1、6.2 利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的性质 62.1 导数与函数的单调性导数与函数的单调性 最新课程标准 1.理解导数与函数的单调性的关系(易混点) 2掌握利用导数判断函数单调性的方法(重点) 3会用导数求函数的单调区间(重点、难点) 教材要点教材要点 知识点一 用函数的导数判定函数单调性的法则 (1)如果在(a，b)内，_，则 f(x)在此区间是增函数，(a， b)为 f(x)的单调增区间； (2)如果在(a，b)内，_，则 f(x)在此区间是减函数，(a， b)为 f(x)的单调减区间 知识点二 一般地，在区间(a，b)内函数的单调性 与导数有如下关系 函数的单调性 导数 单调递
2、增 _ 单调递减 _ 常函数 _ 基础自测基础自测 1函数 yf(x)的图像如图所示，则导函数 yf(x)的图像可 能是( ) 2已知函数 f(x) xln x，则有( ) Af(2)f(e)f(3) Bf(e)f(2)f(3) Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)f(2) 3函数 yf(x)的图像如图所示，则( ) Af(3)0 Bf(3)0. 其中正确的序号是( ) A B C D (2)设函数 f(x)在定义域内可导，yf(x)的图像如图所示，则导 函数 yf(x)的图像可能为( ) (3)已知函数 f(x)的导函数 f(x)的图像如图所示，则函数 f(x) 的图像只可能是所给
3、选项中的( ) 状元随笔 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关 系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在 哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数， 则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零， 并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 方法归纳 1利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单 的多，只需判断导数在该区间内的正负即可 2通过图像研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的 点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与 x 轴的交点，分 析导数的正负 跟踪训练 1 (
4、1)函数 yf(x)的图像如图所示，则其导函数 y f(x)的图像可能是( ) (2)函数 yf(x)在定义域 R 上可导， 其导函数的图像如图所示， 则函数 yf(x)的单调递增区间为_ 题型二 利用导数求函数的单调区间 例 2 (1)求函数 f(x)2x39x212x1 的单调减区间 (2)求函数 f(x)xa x(a0)的单调区间 状元随笔 求出导数 f (x)，分 a0 和 a0 求得单调增区间，由 f (x)0(或 f(x)0 时，f(x)在相应的区间上是增函数；当 f(x)0 (2)f(x)0 知识点二 f(x)0 f(x)0 f(x)0 基础自测基础自测 1解析：函数 f(x)在
5、(0，)，(，0)上都是减函数， 当 x0 时，f(x)0，当 x0 时，f(x)0. 答案：D 2解析：因为在定义域(0，)上，f(x) 1 2 x 1 x0，所 以 f(x)在(0，)上是增函数，所以有 f(2)f(e)f(3)故选 A. 答案：A 3解析：由图像可知，函数 f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5) 上有 f(x)0，故 f(3)0，解得 x1， 故 f(x)的单调递增区间是(1，) 答案：(1，) 课堂探究课堂探究 素养提升素养提升 例 1 解析：(1)由图像可知，函数的定义域为1,5，值域为 (，02,4，故正确，选 A. (2)由函数的图像可知：当 x0 时，函
6、数先增后减再增，即导数先正后负再正，对 照选项，应选 D. (3)导数的正负确定了函数的单调性， 从函数 f(x)的图像可知，令 f(x)0， 得 x0 或 xa(a0)， 函数在(，0)上单调递减，在(0，a)上单调递增，在(a， )上单调递减，故选 C. 答案：(1)A (2)D (3)C 跟踪训练 1 解析： (1)由函数 yf(x)的图像可知其单调性从 左向右依次为单调递增、单调递减、单调递增、单调递减，所以 其导函数 yf(x)的图像从左向右依次在 x 轴上方、下方、上方、 下方通过观察可知，只有选项 A 符合题意 (2)函数 yf(x)的单调递增区间为其导函数的图像在 x 轴上方
7、的部分对应的区间， 观察图像知， 函数yf(x)的单调递增区间为( 2，1)，(1,3)，(4，) 答案：(1)A (2)(2，1)，(1,3)，(4，) 例 2 解析：(1)f(x)6x218x12，令 f(x)0，即 6x2 18x120，解得 1x2.f(x)的单调减区间为(1,2) (2)f(x)xa x的定义域是(，0)(0，)，f(x)1 a x2. 当 a0 时， 令 f(x)1 a x20，解得 x a或 x a； 令 f(x)1 a x20，解得 ax0 或 0 x a； 当 a0 恒成立， 所以当 a0 时，f(x)的单调递增区间为(， a)和( a， )；单调递减区间为(
8、 a，0)和(0， a) 当 a0，可得 x1. 即函数 f(x)exex，xR 的单调增区间为 (1，)，故选 D. (2)函数的定义域为(0，)，又 f(x)1 x1， 由 f(x)1 x10，得 0 x1，所以 3x23. 所以 a3，即 a 的取值范围是(，3 (2)令 y0，得 x2a 3. 若 a0，则 x2a 3恒成立，即 y0 恒成立， 此时，函数 yx3axb 在 R 上是增函数，与题意不符 若 a0，令 y0，得 x a 3或 x0，函数在(1，)上单调递增， 不符合题意 当 a0 时，函数 y 在(1，)上不单调，即 y3x2a0 在区间(1， )上有根 由 3x2a0 可得 x a 3或 x a 3(舍 去) 依题意，有 a 31，a3， 所以 a 的取值范围是(3，)
