1、第七章 三角函数7.3.3余弦函数的性质与图像学习目标知识梳理一、余弦函数的定义与性质1.余弦函数的定义2.余弦函数的性质定义域值域最值周期性单调性奇偶性零点周期函数，最小正周期为2偶函数二、余弦函数的图像如图所示.正弦函数与余弦函数的图像形状完全相同，只是位置不同.常考题型一、余弦函数的性质定义域、值域1.利用余弦函数的值域求参数例1 2019江西宜春第三中学期中若cos x2m-1，且xR，则m的取值范围是（）A.（-，1 B.0，+）C.-1，0 D.0，1【解题提示】（1）（2）利用整体代换法；（3）利用二次函数的性质求解；（4）先分离常数或反解出cos x，再利用-1cos x1求解
2、.二、余弦函数的性质周期性2、求余弦型函数的周期 例4 求下列函数的最小正周期：ycos 2x.解：令u2x，则ycos 2xcos u是周期函数，且最小正周期为2，cos（u+2）cos u，即cos（2x+2）cos2（x+）cos 2x.ycos 2x的最小正周期为.三、余弦函数的性质奇偶性函数奇偶性的判断方法判断三角函数的奇偶性，首先要观察定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的前提下，再根据f（-x）与f（x）的关系确定奇偶性.函数解析式能化简的要化简，必须进行恒等变形.四、余弦函数的性质单调性1.利用余弦函数的单调性，比较余弦值的大小利用单调性比较大小的方法单调性是对一个函数
3、的某个区间而言的，一般按如下情况进行比较：1.比较同名的三角函数值的大小，将所给的角运用诱导公式转化到同一单调区间，在同一单调区间上运用单调性比较大小，若比较复杂，先化简；2.比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较.0时，其单调性同ycos x的单调性一致；当a0）的函数的单调区间当A0时，由2kx+2k（kZ），解得函数的减区间；由-+2kx+2k（kZ），解得函数的增区间.当A0时，由2kx+2k（kZ），解得函数的增区间；由-+2k x+2k（kZ），解得函数的减区间.若0的情形.3.复合函数的单调性按照同增异减进行求解.和对数有关的函数，因为要保证真数大于零
4、，所以必须先求函数的定义域.3.已知复合函数的单调性，利用余弦函数的单调性，求参数五、余弦函数的图像1.五点法作余弦型函数的图像例8 用“五点法”作函数y2cos x+1，x0，2的简图.x02cos x10-101y31-113描点，连线，得函数y2cos x+1，x0，2的简图，如图所示.解：按五个关键点列表：x02-1-12.图像的变换【答案】C训练题浙江卷把函数ycos 2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（）A B C DA3.借助余弦函数的图像，求复合函数的定义域（解三角不等式）【解题提示】将被
5、开方数不小于0转化为三角函数不等式，利用余弦函数图像求解.B4.与余弦函数有关的函数图像的判断问题例11 2019甘肃武威高一检测函数yxcos x+sin x的图像 大致为（）A B C D【解析】函数yxcos x+sin x在x时为负，排除A；易知函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B；再比较C，D，不难发现当x取接近于0的正数时，y0，排除C.【答案】D函数图像的辨析方法若所给函数不是基本初等函数，没有现成的图像可供参考，则此时应对函数的定义域、奇偶性等性质进行综合分析，排除一些选项，然后通过取特殊值或研究函数值随自变量x的变化趋势来求解.训练题 2019海南海口高一检测函数yx2co
6、s x的部分图像是（）A B C D A5.借助余弦函数的图像，解与方程相关的问题例12 2011陕西卷方程|x|cos x在（-，+）内（）A.没有根B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根D.有无穷多个根【解析】在同一直角坐标系中作出函数y|x|和ycos x的图像，如图所示.训练题A【点拨】研究方程根的个数问题时，如果无法解出方程，一般转化为研究两函数的图像的交点个数问题.六、余弦函数的对称性分析：本题主要考查余弦函数图像的对称性，解本题时可用对称图形的面积相等来解决.解：由题图可以看出，直线y2与y2cos x（0 x2）围成的封闭图形的面积SS2+S3+S5，图形S1与S2，S3与S4分别是两组对称图形，S1S2，S3S4.SS2+S3+S5S1+S4+S5S矩形OABC.|OA|2，|OC|2，S矩形OABC224.即封闭图形的面积为4.小结1.余弦函数的图像图像常用作法：平移法、“五点法”2.余弦函数的性质函数性质ycos x定义域值域余弦曲线夹在两条平行线y1和y-1之间，故值域是-1，1最值周期性周期函数，最小正周期为2单调性奇偶性偶函数，图像关于y轴对称图像的对称性
