1、6.1.4 求导法则及其应用求导法则及其应用 最新课程标准 1.熟记基本初等函数的导数公式， 并能运用这些公式求基本初 等函数的导数(重点) 2 掌握导数的运算法则， 并能运用法则求复杂函数的导数 (难 点) 3 掌握复合函数的求导法则， 会求复合函数的导数 (易混点) 教材要点教材要点 知识点一 导数的运算法则 1和差的导数 f(x) g(x)_. 2积的导数 (1)f(x)g(x)_； (2)Cf(x)_. 3商的导数 fx gx _. 知识点二 复合函数的概念及求导法则 复合函数的 概念 一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通 过变量 u，y 可以表示成_，那么称这个函
2、数为函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作 _ 复合函数的 求导法则 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x) 的导数间的关系为dy dx_， 即 y 对 x 的导数 等于_. 基础自测基础自测 1下列运算中正确的是( ) A若 f(x)2x，则 f(x)x2 B已知函数 y2sin xcos x，则 y2cos xsin x C已知函数 f(x)(x1)(x2)，则 f(x)2x1 D. sin x x2 sin xx 2 x2 2函数 f(x)xex的导数 f(x)( ) Aex(x1) B1ex Cx(1ex) Dex(x1) 3若函数 f(x)exsin x
3、，则此函数图像在点(4，f(4)处的切线 的倾斜角为( ) A. 2 B0 C钝角 D锐角 4函数 f(x)sin(x)的导函数 f(x)_. 题型一 导数四则运算法则的应用 例 1 求下列函数的导数 (1)yx 2x2； (2)y3xex2xe； (3)y ln x x21； (4)yx2sinx 2cos x 2. 方法归纳 1解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分 2对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等 函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行 化简(恒等变形)， 然后求导 这样可以减少运算量， 优化解题过程 跟踪训练 1 已知 f(x)e x x
4、，若 f(x0)f(x0)0，则 x0的值为 _ 题型二 复合函数的导数 例 2 求下列函数的导数 (1)ye2x 1；(2)y 1 2x13； (3)y5log2(1x)；(4)ysin3xsin 3x. 状元随笔 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量， 分层求导 方法归纳 1解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复 合而成 2复合函数求导的步骤 跟踪训练 2 求下列函数的导数 (1)ycos(x3)； (2)y(2x1)3； (3)ye 2x1. 题型三 导数法则的综合应用 状元随笔 试说明复合函数
5、y(3x 2)2的导函数是如何得 出的？ 提示 函数 y(3x 2)2可看作函数 yu2和 u3x 2 的 复合函数， yxyu ux(u2) (3x 2) 6u6(3x 2) 例 3 已知函数 f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线 yf(x)在 点(1，f(1)处的切线为 l，若直线 l 与圆 C：x2y21 4相切，求实 数 a 的值 状元随笔 求出导数 f (1)，写出切线方程，由直线 l 与圆 C 相切，建立方程求解 方法归纳 关于复合函数导数的应用及其解决方法 1复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已 知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用 2方法：
6、先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜 率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜 率，再根据条件求切点坐标总之，在解决此类问题时切点起着 至关重要的作用 跟踪训练 3 (1)曲线 y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为 _ (2)设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a， f(2) b，其中常数 a，bR.求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方 程 61.4 求导法则及其应用求导法则及其应用 新知初探新知初探 自主学习自主学习 知识点一 1f(x) g(x) 2(1)f(x)g(x)f(x)g(x) (2)Cf(x) 3.gxfxfxgx
7、g2x ，g(x)0，g(x)0 知识点二 x 的函数 yf(g(x) dy du du dx y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的 乘积 基础自测基础自测 1解析：A 项中，由 f(x)2x，则 f(x)x2c，错误；B 项中，由 y2sin xcos x，则 y(2sin x)(cos x)2cos x sin x， 正确； C项中， 由 f(x)(x1)(x2)x23x2， 所以 f(x) 2x3，错误；D 项中， sin x x2 sin xx 2sin xx2 x22 ，错误； 答案：B 2解析：f(x)xexx(ex)exxexex(x1)，选 A. 答案：A 3解析：f(x
8、)exsin xexcos x， f(4)e4(sin 4cos 4) 43 2，sin 40，cos 40，f(4)0. 由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角 答案：C 4解析：f(x)sin(x)cos(x)(x) cos x. 答案：cos x 课堂探究课堂探究 素养提升素养提升 例 1 解析：(1)y2x2x 3. (2)y(ln 31) (3e)x2xln 2. (3)yx 212x2 ln x xx212 . (4)yx2sinx 2cos x 2x 21 2sin x， y2x1 2cos x. 跟踪训练 1 解析：f(x)e xxex x x2 e xx1 x2 (x0) 由
9、 f(x0)f(x0)0，得 ex0 x01 x2 0 ex0 x0 0， 解得 x01 2. 答案：1 2 例 2 解析： (1)函数 ye2x 1 可看作函数 yeu和 u2x1 的 复合函数， yxyu ux(eu)(2x1)2eu2e2x 1. (2)函数 y 1 2x13可看作函数 yu 3 和 u2x1 的复合函 数， yxyu ux(u 3)(2x1)6u4 6(2x1) 4 6 2x14. (3)函数 y5log2(1x)可看作函数 y5log2u 和 u1x 的复 合函数， yxyu ux(5log2u) (1x) 5 uln 2 5 x1ln 2. (4)函数 ysin3x
10、 可看作函数 yu3和 usin x 的复合函数， 函 数 ysin 3x 可看作函数 ysin v 和 v3x 的复合函数 yx(u3) (sin x)(sin v) (3x) 3u2 cos x3cos v 3sin2x cos x3cos 3x. 跟踪训练 2 解析： (1)函数 ycos(x3)可以看作函数 ycos u 和 ux3 的复合函数， 由复合函数的求导法则可得 yxyu ux(cos u) (x3) sin u 1sin usin(x3) (2)函数 y(2x1)3可以看作函数 yu3和 u2x1的复合函 数， 由复合函数的求导法则可得 yxyu ux(u3) (2x1)
11、3u2 26u26(2x1)2. (3)ye 2x1 (2x1)2e2x1. 例 3 解析：因为 f(1)a，f(x)2ax 2 x2(x2)， 所以 f(1)2a2， 所以切线 l 的方程为 2(a1)xy2a0. 因为直线 l 与圆相切，所以圆心到直线 l 的距离等于半径，即 d |2a| 4a121 1 2，解得 a 11 8 . 跟踪训练 3 解析：(1)因为 y3(x2x)ex，所以 y3(x2 3x1)ex，所以 y|x03，故曲线 y3(x2x)ex在点(0,0)处的切 线方程为 y03(x0)，即 y3x. (2)因为 f(x)x3ax2bx1，所以 f(x)3x22axb. 令 x1，得 f(1)32ab，又 f(1)2a，所以 32ab 2a，解得 b3. 令 x2，得 f(2)124ab，又 f(2)b， 所以 124abb，解得 a3 2. 则 f(x)x33 2x 23x1，从而 f(1)5 2. 又 f(1)2 3 2 3，所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的 切线方程为 y 5 2 3(x1)，即 6x2y10. 答案：(1)y3x (2)见解析
