1、51.2 数列中的递推 最新课程标准 1.理解递推公式的含义(重点) 2掌握递推公式的应用(难点) 3理解数列中的 an与 Sn的关系. 教材要点教材要点 知识点一 数列递推公式 (1)两个条件： 已知数列的_； 从第二项(或某一项)开始的任一项 an与它的前一项 an 1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示 (2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的 _公式 首项(或前几项) 递推 状元随笔 由数列的递推公式能否求出数列的项？ 提示 能，但是要逐项求 知识点二 数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区 别 表示 an与它的前一项_(或前 几项)之间的关系 表示 an与_
2、之 间的关系 联 系 (1)都是表示_的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 an1 n 数列 知识点三 an与 Sn的关系 若数列an的前 n 项和为 Sn， 则 an ，n1， ，n2. 特别地，若 a1满足 anSnSn1(n2)，则不需要分段 S1 SnSn1 基础自测基础自测 1已知数列an的第 1 项是 1，第 2 项是 2，以后各项由 an an1an2(n3)给出，则该数列的第 5 项等于( ) A6 B7 C8 D9 解析：因为 anan1an2(n3)且 a11，a22.所以 a3 a2a1213， a4a3a2325， a5a4a3538. 答案：C
3、 2已知非零数列an的递推公式为 a11，an n n1 an 1(n2)，则 a4_. 解析：依次对递推公式中的 n 赋值，当 n2 时，a22；当 n3 时，a33 2a23；当 n4 时，a4 4 3a34. 答案：4 3 已知数列an中， a11 2， an11 1 an， 则 a5_. 解析：因为 a11 2，an11 1 an， 所以 a21 1 a1123， a311 3 2 3，a41 3 2 1 2，a5123. 答案：3 4已知数列an的前 n 项和 Snn21，则 an_. 解析：当 n1 时，a1S12. 当 n2 时， anSnSn1n21(n1)212n1， 故 a
4、n 2，n1， 2n1，n2，nN*. 答案： 2，n1， 2n1，n2，nN*. 题型一 由递推关系写数列的项 例 1 (1)已知数列an满足关系 anan11an1(nN)且 a2 0182，则 a2 019( ) A1 3 B. 1 3 C 1 2 D. 1 2 (2)已知数列an满足 a11， an2an6， 则 a11的值为( ) A31 B32 C61 D62 解析：(1)由 anan11an1， 得 an1 1 an1， 又a2 0182， a2 0191 3，故选 B. (2)数列an满足 a11，an2an6， a3617，a56713，a761319，a9619 25，a1
5、162531. 答案：(1)B (2)A 方法归纳 由递推公式写出数列的项的方法 1根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中 各部分的关系，依次代入计算即可 2若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表 示前面的项的形式，如 an2an11. 3若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表 示后面的项的形式，如 an1a n1 2 . 跟踪训练 1 已知数列an的第 1 项 a11， 以后的各项由公 式 an1 2an an2给出，试写出这个数列的前 5 项 解析：a11，an1 2an an2， a2 2a1 a12 2 3，a3 2a2 a22 22 3 2 32 1 2
6、， a4 2a3 a32 21 2 1 22 2 5，a5 2a4 a42 22 5 2 52 1 3. 故该数列的前 5 项为 1，2 3， 1 2， 2 5， 1 3. 题型二 由 an与 Sn的关系求通项公式 例 2 已知数列an的前 n 项和 Sn2n23n，则 an _. 解析：a1S1231， 当 n2 时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1) 4n5， 由于 a1也适合此等式，an4n5. 答案：4n5 方法归纳 已知 Sn求 an的三个步骤 1利用 a1S1求出 a1. 2当 n2 时，利用 anSnSn1(n2)求出 an的表达式 3看 a1是否符合 n2 时
7、an的表达式，如果符合，则可以 把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式， 即 an S1，n1 SnSn1，n2. 跟踪训练 2 已知数列an的前 n 项和 Sn3n1，则 an _. 解析：当 n1 时，a1S1314； 当 n2 时， anSnSn1(3n1)(3n 11)2 3n1. 当 n1 时，231 12a 1， 所以 an 4，n1， 2 3n 1，n2. 答案： 4，n1， 2 3n 1，n2. 题型三 数列的递推公式与通项公式的关系 状元随笔 1.某剧场有 30 排座位，从第一排起，往后各排 的座位数构成一个数列an，满足 a120，an1an2，你能归 纳出数列an的通
8、项公式吗？ 提示 由 a120，an1an2 得 a2a1222， a3a2224，a4a3226，a5a4228， 由以上各项归纳可知 an20(n1) 22n18. 即 an2n18(nN，n30) 2在数列an中，a13，a n1 an 2，照此递推关系，你能写 出an任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别 相乘，你能得到什么结论？ 提示 按照a n1 an 2 可得a2 a12， a3 a22， a4 a32， an an1 2(n2)，将这些式子两边分别相乘可得 a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an1 2 2 2. 则an a12 n1，所以 a n3 2 n1(
9、nN ) 3在数列an中，若 a13，an1an2，照此递推关系试 写出前 n 项中， 任何相邻两项的关系， 将这些式子两边分别相加， 你能得到什么结论？ 提示 由 an1an2 得 a2a12，a3a22， a4a32，anan12(n2，nN)，将这些式子两 边分别相加得： a2a1a3a2a4a3anan12(n1)， 即 ana12(n1)， 所以有 an2(n1)a12n1(nN) 例 3 设数列an是首项为 1 的正项数列，且 an1 n n1 an(nN)，求数列的通项公式 解析：因为 an1 n n1an. 法一：(归纳猜想法)a11，a21 21 1 2，a3 2 3 1 2
10、 1 3，a4 3 4 1 3 1 4， 猜想 an1 n. 法二：(迭代法)因为 an1 n n1an， 所以 ann1 n an1n1 n n2 n1an 2n1 n n2 n1 1 2a1， 从而 an1 n. 法三：(累乘法)因为 an1 n n1an， 所以a n1 an n n1， 则 an an1 an1 an2 a2 a1 n1 n n2 n1 1 2， 所以 an1 n. 法四：(转化法)因为a n1 an n n1， 所以n1a n1 nan 1， 故数列nan是常数列，nana11，所以 an1 n. 状元随笔 由递推公式，分别令 n1,2,3，得 a2，a3，a4， 由
11、前 4 项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用 an1 n n1 an反复迭代；或将 an1 n n1an 变形为a n1 an n n1进行累乘；或 将 an1 n n1an 变形式n1a n1 nan 1，构造数列nan为常数列 方法归纳 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an1an f(n)或 an1g(n) an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公 式，即： 1累加法：当 anan1f(n)时，常用 an(anan1)(an1 an2)(a2a1)a1求通项公式 2累乘法：当 an an1g(n)时，常用 an an an1 an1 an2 a2 a1 a1 求 通项公式
12、 跟踪训练 3 已知数列an中，a12，an1an3(nN)， 写出这个数列的前 5 项，猜想 an并加以证明 解析：a12，a2a135， a3a238，a4a3311， a5a4314， 猜想：an3n1. 证明如下：由 an1an3 得 a2a13，a3a23， a4a33， ， anan13. 将上面的(n1)个式子相加，得 ana13(n1)， 所以 an23(n1)3n1. 教材反思 1本节课的重点是数列递推公式的应用，难点是数列函数 性质的应用及由递推公式求数列的通项公式 2要掌握判断数列单调性的方法，掌握求数列最大(小)项 的方法 3要会用数列的递推公式求数列的项或通项 4要注意通项公式和递推公式的区别 通项公式直接反映 an和 n 之间的关系，即 an是 n 的函数， 知道任意一个具体的 n 值， 就可以求出该项的值 an； 而递推公式 则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之 间的推导关系，不能由 n 直接得出 an.
