1、61.1 函数的平均变化率 最新课程标准 1.理解函数平均变化率的概念， 会求函数的平均变化率 (重 点) 2理解函数平均变化率的几何意义和物理意义(重点) 3理解数学中“以直代曲”的思想. 教材要点教材要点 知识点一 函数的平均变化率 函数的平均变化率的定义 一般地， 已知函数 yf(x)， x1， x2是其定义域内不同的两点， 记 xx2x1，yy2y1f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)， 则当 x0 时，商_y x 称作函数 yf(x)在区间x1，x2(或x2，x1)的平均变化率 y2y1 x2x1 知识点二 函数的平均变化率的几何意义即割线的斜率已 知 yf(x)图像上两点 A
2、(x1，f(x1)，B(x1x，f(x1x)， 过 A，B 两点割线的斜率是_，即曲线割线 的斜率就是函数的平均变化率 知识点三 函数的平均变化率的物理意义即平均速度物体 在某段时间内的平均速度即函数的平均变化率 y x fx1xfx1 x 基础自测基础自测 1判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)x 表示 x2x1，是相对于 x1的一个增量，x 的值可正可 负，但不可为零( ) (2)y 表示 f(x2)f(x1)， y 的值可正可负， 也可以为零 ( ) (3)y x表示曲线 yf(x)上两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜 率( ) (4)平均速度是刻画某函数在区间x1
3、，x2上的变化快慢的物 理量( ) 2已知函数 yf(x)2x2的图像上点 P(1,2)及邻近点 Q(1 x,2y)，则割线 PQ 的斜率为( ) A4 B4x C42x2 D42x 解析：y x 21x2212 x 42x. 答案：D 3如图，函数 yf(x)在1,3上的平均变化率为( ) A1 B1 C2 D2 解析：y x f3f1 31 1. 答案：B 4如果质点 M 按规律 s3t2(s 的单位是 m，t 的单位是 s)运动，则在时间段2,2.1内质点 M 的平均速度等于( ) A3 m/s B4 m/s C4.1 m/s D0.41 m/s 解析： 平均速度 v s t 32.12
4、322 0.1 0.41 0.1 4.1(m/s)，故选 C. 答案：C 题型一 求函数的平均变化率 例 1 (1)已知函数 f(x)2x21 的图象上一点(1,1)及邻近一 点(1x,1y)，则y x等于( ) A4 B4x C42x D42(x)2 (2)已知函数 f(x)x1 x， 分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率， 并判断在哪个区间上函数值变化 得较快 解析：(1)yf(1x)f(1)2(1x)2112(x)2 4x，y x2x4. (2)自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)的平均变化率为 f2f1 21 21 211 1
5、 1 2； 自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为 f5f3 53 51 5 31 3 2 14 15. 因为1 2 14 15，所以函数 f(x)x 1 x在自变量 x 从 3 变到 5 时函 数值变化得较快 答案：(1)C (2)见解析 状元随笔 (1)由 yf(xx)f(x)f(1x)f(1)可得 (2)求xx2x1求yfx2fx1计算y x 方法归纳 1求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量 xx2x1； 第二步，求函数值的增量 yf(x2)f(x1)； 第三步，求平均变化率y x fx2fx1 x2x1 . 2求平均变化率的一个关注点 求点 x1附
6、近的平均变化率，可用fx 1xfx1 x 的形式 跟踪训练 1 函数 yx21 在1,1x上的平均变化率是 ( ) A2 B2x C2x D2(x)2 解析：y(1x)21(121)2xx2， y x 2xx2 x 2x，故选 C. 答案：C 题型二 求物体在某段时间内的平均速度 例 2 质点运动规律 s1 2gt 2， 则在时间区间(3,3t)内的平 均速度等于_(g10 m/s2) 解析：s1 2g(3t) 21 2g3 21 2106t(t) 2 30t5(t)2， v s t305t. 答案：305t 方法归纳 求运动物体平均速度的两个步骤 1求时间改变量 t 和位移改变量 ss(t0
7、t)s(t0)； 2求平均速度 v s t 跟踪训练 2 一质点的运动方程为 s83t2， 其中 s 表示位 移，t 表示时间试求质点在1,1t这段时间内的平均速度 解析：s t 831t28312 t 63t. 题型三 平均变化率的几何意义 例 3 已知曲线 yx21 上两点 A(2,3)，B(2x,3y)， 当 x1 时，割线 AB 的斜率是_；当 x0.1 时，割线 AB 的斜率是_ 解 析 ： 当 x 1 时 ， 割 线 AB 的 斜 率 k1 y x 2x21221 x 21 222 1 5. 当 x0.1 时， 割线 AB 的斜率 k2y x 20.121221 0.1 4.1. 5 4.1 方法归纳 已知 yf(x)图像上两点 A(x1，f(x1)，B(x1x，f(x1x)， 过 A，B 两点割线的斜率是y x fx1xfx1 x ，即曲线割线的 斜率就是函数的平均变化率 跟踪训练 3 已知函数 yx21 的图像上一点 A(3,8)及邻近 一点 B(3x,8y)，则割线 AB 的斜率等于( ) A6 B6x C6(x)2 D6x 解析： 因为 y(3x)213216x(x)2，所以y x 6xx 2 x 6x，故选 B. 答案：B
