1、6.1.2 导数及其几何意义 最新课程标准 1.理解瞬时变化率、导数的概念(难点、易混点) 2会用导数的定义求函数的导数 3理解导数的几何意义(重点)能应用导数的几何意义解 决相关问题(难点) 教材要点教材要点 知识点一 瞬时变化率与导数 (1)物体运动的瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 sf(t)，当_ 时，函数 f(t)在 t0到 t0t 之间的平均变化率_ 趋近于常数，我们把这个常数称为 t0时刻的瞬时速度 t 趋近于 0 ft0tft0 t (2)函数的瞬时变化率 设函数 yf(x)在 x0及其附近有定义， 当自变量在 xx0附近 改变量为 x 时，函数值相应地改变 yf(x0
2、x)f(x0)，如果 当 x 趋近于 0 时，平均变化率_趋近于一个常 数 k，那么常数 k 称为函数 f(x)在点 x0的瞬时变化率 记作：当 x0 时，fx 0 xfx0 x k. 还可以说： 当 x0 时， 函数平均变化率的极限等于函数在 x0的瞬时变化率，记作lim x0 fx0 xfx0 x k. y x fx0 xfx0 x (3)函数 f(x)在 xx0处的导数 函数 yf(x)在点 x0的_， 通常称为 f(x)在点 x0 处的导数，并记作_，即 f(x0)_. 瞬时变化率 f(x0) li m x0 fx0 xfx0 x 知识点二 导数的几何意义 曲线 yf(x)在点(x0，
3、f(x0)处的导数 f(x0)的几何意义为 _ 曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率 知识点二 导数的几何意义 曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数 f(x0)的几何意义为 _ 曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率 基础自测基础自测 1函数 f(x)x2在 x1 处的瞬时变化率是_ 解析：f(x)x2， 函数 f(x)在 x1 处的瞬时变化率是 li m x0 y xli m x0 f1xf1 x li m x0 1x212 x li m x0 (2x)2. 答案：2 2函数 yf(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是 ( ) A0f(2)f(3)
4、f(3)f(2) B0f(2)f(3)f(2)f(3) C0f(3)f(3)f(2)f(2) D0f(3)f(2)f(2)f(3) 解析： f(2)为函数 yf(x)的图像在点 B 处的切线的斜率， f(3)为函数 yf(x)的图像在点 A 处的切线的斜率，f(3)f(2) f3f2 32 ， 其几何意义为割线 AB 的斜率， 由图可知， 0f(3)f(3) f(2)0)垂直上抛的物体， t秒时的高度为s(t) v0t1 2gt 2，则物体在 t 0时刻的瞬时速度为_ 解析：sv0(t0t)1 2g(t0t) 2 v0t01 2gt 2 0 v0t gt0t1 2g(t) 2， s tv0gt
5、0 1 2gt， li m t0 s tv0gt0， 即 t0时刻的瞬时速度为 v0gt0. 答案：v0gt0 状元随笔 先求出s t，再求lim t0 s t. 方法归纳 1求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量 t 和位移改变量 ss(t0t)s(t0)； (2)求平均速度 v s t； (3)求瞬时速度，当 t 无限趋近于 0 时，s t无限趋近于常数 v，即为瞬时速度.2. 求y x(当 x 无限趋近于 0 时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把 x 作为一个数来参与运算 (2)求出y x的表达式后，x 无限趋近于 0 就是令 x0，求 出结果即可 跟踪训练 1 一做直
6、线运动的物体， 其位移 s 与时间 t 的关 系是 s3tt2(位移单位：m，时间单位：s) (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t2 时的瞬时速度 解析：(1)初速度 v0li m t0 sts0 t li m t0 3tt2 t li m t0 (3t)3， 即物体的初速度为 3 m/s. (2)v瞬li m t0 s2ts2 t li m t0 32t2t2324 t li m t0 t2t t li m t0 (t1)1， 即物体在 t2 时的瞬时速度为 1 m/s，方向与初速度方向相反 题型二 求函数在某点处的导数 例 2 (1)曲线 y1 x在点 1 2，2 处的切线的斜率
7、为( ) A2 B4 C3 D.1 4 (2)求函数 y3x2在 x1 处的导数 解析： (1)因为 yli m x0 y xli m x0 1 xx 1 x x li m x0 1 x2xx 1 x2， 所以曲线在点 1 2，2 处的切线斜率为 k4，故选 B. (2)yf(1x)f(1)3(1x)236x3(x)2， y x63x， f(1)li m x0 y xli m x0 (63x)6. 答案：(1)B (2)见解析 状元随笔 求函数 f(x)在任意点处的导数都应先求平均变 化率，再求 f (x0) 方法归纳 1通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关 系，对于 y 与 x
8、 的比值，感受和认识在 x 逐渐变小的过程中 趋近于一个固定的常数 k 这一现象 2用定义求函数在 xx0处的导数的步骤 (1)求函数的增量 yf(x0 x)f(x0)； (2)求平均变化率y x； (3)求极限，得导数为 f(x0)li m x0 y x. 简记为：一差、二比、三趋近 跟踪训练 2 求函数 f(x)x1 x在 x1 处的导数 解析：y(1x) 1 1x 11 1 x1 1 1xx x 1x， y x x x 1x x 1 1 1x， f(1)li m x0 y xli m x0 1 1 1x 2. 题型三 求曲线在某点处切线的方程 例 3 已知曲线 C：yx3. (1)求曲线
9、 C 在横坐标为 x1 的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？ 解析： (1)将 x1 代入曲线 C 的方程得 y1， 切点 P(1,1) yli m x0 y x li m x0 1x31 x li m x033x(x) 23. k3. 曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 y13(x1)， 即 3xy20. (2)由 y3x2， yx3， 解得 x1， y1 或 x2， y8， 从而求得公共点为 P(1,1)或 M(2，8)， 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另一公共点( 2，8) 状元随笔 (1)先求切点坐标，再求 y ，最后利用导数的
10、 几何意义写出切线方程 (2)将切线方程与曲线 C 的方程联立求解 方法归纳 1利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)； (2)写出切线方程，即 yy0f(x0) (xx0) 特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为 2，此时所求的 切线平行于 y 轴，所以曲线的切线方程为 xx0. 2曲线的切线与曲线的交点可能不止一个 跟踪训练 3 若函数 f(x)在点 A(1,2)处的导数是1，那么过 点 A 的切线方程是_ 解析：切线的斜率为 k1. 点 A(1,2)处的切线方程为 y2(x1)， 即 xy30. 答案：xy30 题型四 求
11、切点坐标 例 4 已知抛物线 y2x21.求： (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为 45 ？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线 4xy20? 解析：设切点的坐标为(x0，y0)，则 y2(x0 x)212x2 014x0 x2(x) 2. y x4x02x. f(x0)li m x0 (4x02x)4x0. (1)抛物线的切线的倾斜角为 45 ， 斜率为 tan 45 1， 即 f(x0)4x01，得 x01 4，该点为 1 4， 9 8 . (2)抛物线的切线平行于直线 4xy20， 斜率为 4， 即 f(x0)4x04，得 x01，该点为(1,3) 状元随笔 设点的坐标求出在该点处的
12、导数 利用条件建立方程求出点的坐标 跟踪训练 4 已知曲线 yx3在点 P 处的切线的斜率 k3， 则点 P 的坐标是( ) A(1,1) B(1,1) C(1,1)或(1，1) D(2,8)或(2，8) 解析：因为 yx3，所以 yli m x0 xx3x3 x li m x03x 2 3xx(x)23x2. 由题意，知切线斜率 k3，令 3x23，得 x1 或 x1. 当 x1 时，y1；当 x1 时，y1. 故点 P 的坐标是(1,1)或(1，1)，故选 C. 答案：C 方法归纳 根据切线斜率求切点坐标的步骤 1设切点坐标(x0，y0)； 2求导函数 f(x)； 3求切线的斜率 f(x0)； 4由斜率间的关系列出关于 x0的方程，解方程求 x0； 5点(x0，y0)在曲线 f(x)上，将(x0，y0)代入求 y0，得切点坐 标
