1、6.2.2 导数与函数的极值、最值 最新课程标准 1.理解极值、 极值点的概念， 明确极值存在的条件 (易混点) 2会求函数的极值(重点) 3会求函数在闭区间上的最值 4能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题(难 点) 教材要点教材要点 知识点一 极值点和极值的概念 名称 定义 表示法 极 大 值 已知函数 yf(x)，设 x0是定义域(a，b)内任 一点，如果对 x0附近的所有点 x，都有 _，则称函数 f(x)在点 x0处取极大值 记作 _ 极 值 极 小 值 已知函数 yf(x)，设 x0是定义域(a，b)内任 一点，如果对 x0附近的所有点 x，都有 _，则称函数 f(x)在点
2、x0处取极小值 记作 _ 极值点 _统称为极值点 f(x)f(x0) y极大f(x0) f(x)f(x0) y极小f(x0) 极大值点与极小值点 知识点二 函数 f(x)在闭区间a，b上的最值 假设函数 yf(x)在闭区间a，b上的图像是一条连续不间断 的曲线，则该函数在a，b一定能够取得_与_， 若函数在a，b内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间 端点取得 最大值 最小值 基础自测基础自测 1函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数 f(x)在(a， b)内的图像如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内的极大值点 有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解析：
3、 依题意， 记函数 yf(x)的图像与 x 轴的交点的横坐 标自左向右依次为 x1，x2，x3，x4，当 axx1时，f(x)0； 当 x1xx2时，f(x)0；当 x2xx4时，f(x)0；当 x4x b 时，f(x)0.因此，函数 f(x)分别在 xx1，xx4处取得极 大值，选 B. 答案：B 2函数 yx33x29x(2x2)有( ) A极大值 5，极小值27 B极大值 5，极小值11 C极大值 5，无极小值 D极小值27，无极大值 解析：由 y3x26x90，得 x1 或 x3. 当 x1 或 x3 时，y0；由1x3 时，y0. 当 x1 时，函数有极大值 5；3(2,2)，故无极
4、小值 答案：C 3函数 f(x)2xcos x 在(，)上( ) A无最值 B有极值 C有最大值 D有最小值 解析：f(x)2sin x0 恒成立，所以 f(x)在(，) 上单调递增，无极值，也无最值 答案：A 4下列说法正确的是_(填序号) 函数的最大值一定是函数的极大值； 开区间上的单调连续函数无最值； 函数 f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端 点处取得 题型一 求函数的极值 例 1 求下列函数的极值 (1)f(x)x22x1； (2)f(x)x 4 4 2 3x 3x 2 2 6； (3)f(x)|x|. 解析：(1)f(x)2x2，令 f(x)0，解得 x1. 因为当
5、x1 时，f(x)1 时，f(x)0， 所以函数在 x1 处有极小值，且 y极小2. (2)f(x)x32x2xx(x22x1)x(x1)2. 令 f(x)0，解得 x10，x21. 所以当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： 所以当 x0 时，函数取得极小值，且 y极小6. (3)显然函数 f(x)|x|在 x0 处不可导， 当 x0 时，f(x)x10， 函数 f(x)|x|在(0，)内单调递增； 当 x0 时，f(x)(x)10， 函数 f(x)|x|在(，0)内单调递减 故当 x0 时，函数取得极小值，且 y极小0. 方法归纳 1讨论函数的性质要注意定义域优先的原则 2极
6、值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数值为 0 的点，导数值为 0 的点不一定是极值点 点 x0是可导函数 f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件： f(x0)0； 点 x0两侧 f(x)的符号不同 (2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中 x0 点)，也可能 不是极值点(如 y x， 在 x0 处不可导， 在 x0 处也取不到极 值)，所以函数的极值点可能是 f(x)0 的根，也可能是不可导 点 跟踪训练 1 已知函数 f(x)x22ln x，则 f(x)的极小值是 _ 解析：f(x)2x2 x， 且函数定义域为(0，)， 令 f(x)0，得 x1 或 x1(舍去)，
7、当 x(0,1)时，f(x)0， 当 x1 时，函数有极小值，极小值为 f(1)1. 答案：1 题型二 利用函数的极值求参数 例 2 已知 f(x)x3ax2bxc 在 x1 与 x2 3时都取得 极值 (1)求 a，b 的值； (2)若 f(1)3 2，求 f(x)的单调区间和极值 解析：(1)f(x)3x22axb， 令 f(x)0，由题设知 x1 与 x2 3为 f(x)0 的解 12 3 2 3a， 1 2 3 b 3， a1 2，b2.经检验满足题意 (2)由(1)知 f(x)x31 2x 22xc， 由 f(1)11 22c 3 2，得 c1. f(x)x31 2x 22x1. f
8、(x)3x2x2. 令 f(x)0，得 x2 3或 x1， 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： f(x)的递增区间为 ，2 3 和(1， )， 递减区间为 2 3，1 . 当 x2 3时，f(x)有极大值为 f 2 3 49 27； 当 x1 时，f(x)有极小值为 f(1)1 2. 状元随笔 (1)求导函数f (x)， 则由x1和x2 3是f (x) 0 的两根及根与系数的关系求出 a，b. (2)由 f(1)3 2求出 c，再列表求解 方法归纳 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注 意以下两点： 1根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用 待定
9、系数法求解； 2因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以 利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 跟踪训练 2 已知函数 f(x) 1 3 x3 1 2 (m3)x2(m 6)x(xR，m 为常数)，在区间(1，)内有两个极值点，求实 数 m 的取值范围 解析：f(x)x2(m3)xm6. 因为函数 f(x)在(1，)内有两个极值点， 所以导数 f(x)x2(m3)xm6 在(1，)内与 x 轴 有两个不同的交点， 如图所示 所以 m324m60， f11m3m60， m3 2 1， 解得 m3.故实数 m 的取值范围是(3，) 题型三 求函数的最值 状元随笔 如图为 yf(x)，xa
10、，b的图像 1观察a，b上函数 yf(x)的图像，试找出它的极大值、 极小值 提示 f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极 小值 2结合图像判断，函数 yf(x)在区间a，b上是否存在最 大值，最小值？若存在，分别为多少？ 提示 存在f(x)的最小值为 f(a)，f(x)的最大值为 f(x3) 3函数 yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是其极值吗？ 提示 不一定也可能是区间端点的函数值 例 3 (1)函数 yx44x3 在区间2,3上的最小值为 ( ) A72 B36 C12 D0 (2)函数 f(x)ln xx 在区间(0，e上的最大值为( ) A1e B
11、1 Ce D0 (3)求函数 f(x)x42x23，x3,2的最值 解析： (1)因为 yx44x3， 所以 y4x34， 令 y0， 解得 x1.当 x1 时，y1 时，y0， 函数单调递增，所以函数 yx44x3 在 x1 处取得极小值 0. 而当 x2 时，y27，当 x3 时，y72，所以当 x1 时， 函数 yx44x3 取得最小值 0，故选 D. (2)f(x)1 x1，令 f(x)0，得 x1. 当 x(0,1)时，f(x)0，当 x(1，e)时，f(x)0， 当 x1 时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为 f(1) 1，故选 B. (3)f(x)4x34x4x(x1)(x
12、1)， 令 f(x)0，得 x1，x0，x1. 当 x 变化时，f(x)及 f(x)的变化情况如下表： 当 x3 时，f(x)取最小值60； 当 x1 或 x1 时，f(x)取最大值 4. 答案：(1)D (2)B (3)见解析 方法归纳 求函数最值的四个步骤 第一步，求函数的定义域； 第二步，求 f(x)，解方程 f(x)0； 第三步，列出关于 x，f(x)，f(x)的变化表； 第四步，求极值、端点值，确定最值 跟踪训练 3 已知函数 f(x)x33x2m(x2,2)，f(x) 的最小值为 1，则 m_. 解析：f(x)3x26x，x2,2 令 f(x)0，得 x0 或 x2， 当 x(2,0)时，f(x)0， 当 x0 时，f(x)有极小值，也是最小值 f(0)m1. 答案：1
