1、正弦定理、余弦定理的综合应用正弦定理、余弦定理的综合应用 考试要求 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和 几何计算有关的实际问题 测量中的几个常用术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂 平面内)所成的角中，目标视线在水平视 线上方的叫做仰角，目标视线在水平视 线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到 目标方向线之间的夹角叫做方位角，方 位角 的范围是0 ，360 ) 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的 锐角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东 ： (2)南偏西 ： 坡角与坡度 坡面与水平面所
2、成锐二面角叫坡角( 为 坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比 叫坡度(坡比)，即 ih ltan 提醒：涉及到角时，一定要弄清此角的始边和终边所在位置如方位角 135 的始边是指北方向线，始边顺时针方向旋转 135 得到终边；方向角南偏西 30 的始 边是指南方向线，向西旋转 30 得到终边 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)东北方向就是北偏东 45 的方向 ( ) (2)从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关系为 180 . ( ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关 系 ( ) (4)方位角大小的
3、范围是0,2)，方向角大小的范围一般是 0， 2 . ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1点 A 在点 B 的北偏东 60 ，则点 B 在点 A 的( ) A北偏西 60 B南偏东 30 C南偏西 60 D北偏西 30 C 如图所示，点 B 在点 A 的南偏西 60 ，故选 C 2.如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定 一点 C， 测出 AC 的距离为 50 m， ACB45 ， CAB105 后， 就可以计算出 A， B 两点的距离为( ) A50 2 m B50 3 m C25 2 m D25 2 2 m A 由正弦定理得
4、 AB sinACB AC sin B， 又B30 ，ABACsinACB sin B 50 2 2 1 2 50 2(m) 3.如图所示，D，C，B 三点在地面的同一条直线上，DCa，从 C，D 两点测 得 A 点的仰角分别为 60 ，30 ，则 A 点离地面的高度 AB . 3 2 a 由已知得DAC30 ，ADC 为等腰三角形，所以 ACa，所以在 RtACB 中，ABAC sinACB 3 2 a. 4 在一幢 10 m 高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为 60 ，塔基的俯角为 30 ， 假定房屋与塔基在同一水平地面上，则塔的高度为 m. 40 如图所示，BD10 m， 则 AB20 m
5、，AD20 cos 30 10 3 m， 在ACD 中，CD10 3 tan 60 30 m， 所以塔的高度 CB301040 m 考点一 解三角形的实际应用 利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤 典例 1 (1)(2020 宜宾模拟)海上一艘轮船以 60 nmile/h 的速度向正东方向航 行，在 A 处测得小岛 C 在北偏西 30 的方向上，小岛 D 在北偏东 30 的方向上，航 行 20 min 后到达 B 处测得小岛 C 在北偏西 60 的方向上，小岛 D 在北偏西 15 的 方向上，则两个小岛间的距离 CD nmile. (2)如图所示， 位于 A 处的信息中心获悉： 在其正东方向
6、相距 40 海里的 B 处有 一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30 、相距 20 海里的 C 处的乙船， 现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援， 则 cos 的值为 (1)10 6 (2) 21 14 (1)ABC 中，由题意可得： CAB120 ，BCA30 ，AB601 320， 由正弦定理 BC sinCAB AB sinBCA， BCAB sinCAB sinBCA 20 3 2 1 2 20 3. 在ABD 中，由于DAB60 ，ADB45 ， 由正弦定理可得： BD sinDAB AB sinADB，可得：BD AB sinDAB si
7、nADB 20 3 2 2 2 10 6， BCD 中， 由余弦定理可得 CD2(10 6)2(20 3)2210 620 3cos 45 ， 解得：CD10 6. 即两个小岛之间的距离 CD 为 10 6 nmile. (2)在ABC 中，AB40，AC20，BAC120 ， 由余弦定理得 BC2AB2AC22AB AC cos 120 2 800， 得 BC20 7. 由正弦定理，得 AB sinACB BC sinBAC， 即 sinACBAB BC sinBAC 21 7 . 由BAC120 ，知ACB 为锐角， 则 cosACB2 7 7 . 由 ACB30 ，得 cos cos(A
8、CB30 ) cosACBcos 30 sinACBsin 30 21 14 . 点评：解答此类问题的关键是正确理解题意，包括所涉及的方向角、方位角 及仰角、俯角等，依据题意画出示意图 跟进训练 1(2020 开封模拟)国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为 15 的观礼台上， 某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后 一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60 和 30 ，第一排和最后一排的距离为 25 米，则 旗杆的高度约为( ) A17 米 B22 米 C31 米 D35 米 C 如图所示，依题意可知ADC45 ，ACD180 60 15 105 ， DAC180 45
9、 105 30 ， 由正弦定理可知 CD sinDAC AC sinCDA， ACCD sinCDA sinDAC 25 2米 在 RtABC 中， ABAC sinACB25 2 3 2 25 6 2 31 米 旗杆的高度约为 31 米，故选 C 2(2020 宜昌模拟)如图所示，为了测量 A，B 两座岛屿间的距离，小船从初 始位置 C 出发， 已知 A 在 C 的北偏西 45 的方向上， B 在 C 的北偏东 15 的方向上， 现在船往东开 2 百海里到达 E 处，此时测得 B 在 E 的北偏西 30 的方向上，再开 回 C 处，由 C 向西开 2 6百海里到达 D 处，测得 A 在 D
10、的北偏东 22.5 的方向上， 则 A，B 两座岛屿间的距离为( ) A3 百海里 B3 2百海里 C4 百海里 D4 2百海里 B 如图所示， 根据题意知： ADCDAC67.5 ， ACB60 ， DC2 6， CE2， BCE 75 ， CBE45 ，CEB60 . 所以在BCE 中，利用正弦定理 CB sinCEB CE sinCBE，解得 BC 6， 在ADC 中，ADCDAC67.5 ，所以 DCAC2 6， 则在ACB 中，利用余弦定理 AB2AC2CB22AC CB cos 60 ，解得 AB 3 2，故选 B 考点二 平面几何中的解三角形问题 与平面图形有关的解三角形问题的关
11、键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数 据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系 具体解题思路如下： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形， 然后在各个三角形内利用正弦、 余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果 典例 2 如图，在平面四边形 ABCD 中，DAAB，DE1，EC 7，EA 2，ADC2 3 ，且CBE，BEC，BCE 成等差数列 (1)求 sinCED； (2)求 BE 的长 解 设CED. 因为CBE，BEC，BCE 成等差数列， 所以 2BECCBEBCE， 又CBEBECB
12、CE， 所以BEC 3. (1)在CDE 中，由余弦定理得 EC2CD2DE22CD DE cosEDC， 即 7CD21CD，即 CD2CD60， 解得 CD2(CD3 舍去) 在CDE 中，由正弦定理得 EC sinEDC CD sin ， 于是 sin CD sin 2 3 EC 2 3 2 7 21 7 ， 即 sinCED 21 7 . (2)由题设知 0 3，由(1)知 cos 1sin2121 49 2 7 7 ，又AEB BEC2 3 ， 所以 cosAEBcos 2 3 cos 2 3 cos sin 2 3 sin 1 2 2 7 7 3 2 21 7 7 14. 在 Rt
13、EAB 中，cosAEBEA BE 2 BE 7 14， 所以 BE4 7. 点评：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角 关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能 顺利解决问题 跟进训练 (2020 江苏高考)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a3， c 2，B45 . (1)求 sin C 的值； (2)在边 BC 上取一点 D，使得 cosADC4 5，求 tanDAC 的值 解 (1)在ABC 中，因为 a3，c 2，B45 ， 由余弦定理 b2a2c22accos B， 得 b29223 2cos 45
14、5，所以 b 5. 在ABC 中，由正弦定理 b sin B c sin C， 得 5 sin 45 2 sin C，所以 sin C 5 5 . (2)在ADC 中，因为 cosADC4 5， 所以ADC 为钝角 而ADCCCAD180 ，所以C 为锐角 故 cos C 1sin2C2 5 5 ，则 tan Csin C cos C 1 2. 因为 cosADC4 5， 所以 sinADC1cos2ADC3 5， 所以 tanADCsinADC cosADC 3 4. 从而 tanDACtan(180 ADCC) tan(ADCC) tanADCtan C 1tanADCtan C 3 4
15、1 2 1 3 4 1 2 2 11. 考点三 与三角形有关的最值、范围问题 1三角形中的最值、范围问题的解题策略 (1)定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余 弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基 本量的范围 (2)构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基 本量的函数解析式表示 (3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值 2求解三角形中的最值、范围问题的注意点 (1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求 解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化 (2)注意题目中
16、的隐含条件，如 ABC，0A，bcabc，三角 形中大边对大角等 求角(函数值)的最值(范围) 典例 31(2020 浙江高考)在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c，已知 2bsin A 3a0. (1)求角 B 的大小； (2)求 cos Acos Bcos C 的取值范围 解 (1)由正弦定理，得 2sin Bsin A 3sin A， 故 sin B 3 2 ，由题意得 B 3. (2)由 ABC，得 C2 3 A 由ABC 是锐角三角形，得 A 6， 2 . 由 cos Ccos 2 3 A 1 2cos A 3 2 sin A，得 cos Acos Bcos
17、 C 3 2 sin A1 2cos A 1 2 sin A 6 1 2 31 2 ，3 2 . 故 cos Acos Bcos C 的取值范围是 31 2 ，3 2 . 点评：求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角 恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解 求边(周长)的最值(范围) 典例 32(2020 全国卷)ABC 中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C (1)求 A； (2)若 BC3，求ABC 周长的最大值 解 (1)由正弦定理和已知条件得 BC2AC2AB2AC AB 由余弦定理得 BC2AC2AB22AC A
18、Bcos A 由得 cos A1 2. 因为 0A，所以 A2 3 . (2)由正弦定理及(1)得 AC sin B AB sin C BC sin A2 3， 从而 AC2 3sin B， AB2 3sin(AB)3cos B 3sin B 故 BCACAB3 3sin B3cos B32 3sin B 3 . 又 0B 3，所以当 B 6时，ABC 周长取得最大值 32 3. 点评：求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化 为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不 等式或函数最值求解 求三角形面积的最值(范围) 典例 33 (2019
19、 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 已知 asinAC 2 bsin A (1)求 B； (2)若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围 解 (1)由题设及正弦定理得 sin AsinAC 2 sin Bsin A 因为 sin A0，所以 sinAC 2 sin B 由 ABC180 ，可得 sinAC 2 cosB 2， 故 cosB 22sin B 2cos B 2. 因为 cosB 20，故 sin B 2 1 2，所以 B60 . (2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC 3 4 a. 由正弦定理得 acsin A sin C s
20、in120 C sin C 3 2tan C 1 2. 由于ABC 为锐角三角形，故 0 A90 ，0 C90 .由(1)知 AC120 ，所 以 30 C90 ，故1 2a2，从而 3 8 SABC 3 2 . 因此，ABC 面积的取值范围是 3 8 ， 3 2 . 点评：求三角形面积的最值(范围)的两种思路 (1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围 (2)若已知三角形的一个内角(不妨设为 A)，及其对边，则可根据余弦定理，利 用基本不等式求 bc 的最值从而求出三角形面积的最值 跟进训练 1在钝角ABC 中 ，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，B 为钝角，若 aco
21、s Absin A，则 sin Asin C 的最大值为( ) A 2 B9 8 C1 D 7 8 B acos Absin A，由正弦定理可得，sin Acos Asin Bsin A，sin A0， cos Asin B，又 B 为钝角， BA 2， sin Asin Csin Asin(AB)sin Acos 2Asin A12sin 2A 2 sin A1 4 2 9 8， sin Asin C 的最大值为9 8. 2ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若角 A，B，C 成等差数列， 且 b 3 2 . (1)求ABC 的外接圆直径； (2)求 ac 的取值范围 解
22、(1)因为角 A，B，C 成等差数列，所以 2BAC， 又因为 ABC，所以 B 3. 根据正弦定理得，ABC 的外接圆直径 2R b sin B 3 2 sin 3 1. (2)由 B 3，知 AC 2 3 ，可得 0A2 3 . 由(1)知ABC 的外接圆直径为 1，根据正弦定理得， a sin A b sin B c sin C1， 所以 acsin Asin Csin Asin 2 3 A 3 3 2 sin A1 2cos A 3sin A 6 . 因为 0A2 3 ，所以 6A 6 5 6 . 所以1 2sin A 6 1， 从而 3 2 3sin A 6 3， 所以 ac 的取值
23、范围是 3 2 ， 3 . 3ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 3asin Bbcos A 0. (1)求角 A； (2)若 a2，求ABC 面积的最大值 解 (1)由 3asin Bbcos A0 及正弦定理得， 3sin Asin Bsin Bcos A0， 因为 sin B0，所以 3sin Acos A，即 tan A 3 3 . 因为 0A，所以 A 6. (2)因为 a2，所以 4c2b2 3bc2bc 3bc，所以 4(2 3)bc，因为 SABC1 2bcsin A 1 4bc，所以当且仅当 bc 6 2时 SABC 最大，所以ABC 面 积的最大值为 2 3.
