1、n n次独立重复试验与二项分布次独立重复试验与二项分布 考试要求 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念. 2.理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题 1条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 设 A，B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A)PAB PA 为在事件 A 发生的条件 下，事件 B 发生的条件概率 (1)0P(B|A)1； (2)如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A) 2.事件的相互独立性 (1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)P(A) P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立 (
2、2)性质：若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A) 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也相互独立 3独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，其中 Ai(i1,2， n)是第 i 次试验结果，则 P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An) (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(Xk)C k npk(1p)n k(k0,1,2，n)，此时称随机变量 X
3、 服从二项分布，记作 XB(n，p)，并称 p 为成功概率 常用结论 牢记并理解事件中常见词语的含义 (1)A，B 中至少有一个发生的事件为 AB； (2)A，B 都发生的事件为 AB； (3)A，B 都不发生的事件为 A B ； (4)A，B 恰有一个发生的事件为 A B A B； (5)A，B 至多一个发生的事件为 A B A B A B . 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)相互独立事件就是互斥事件 ( ) (2)若事件 A，B 相互独立，则 P(B|A)P(B) ( ) (3)公式 P(AB)P(A)P(B)对任意两个事件都成立 ( ) (4)二项分布是一个概率分布
4、列，是一个用公式 P(Xk)C k npk(1p)n k，k 0,1,2，n 表示的概率分布列，它表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 的概率分布 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题如果不放回地依次抽取 2 道题， 则在第 1 次抽到文科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为( ) A1 2 B 2 5 C 3 5 D 3 4 D 根据题意，在第 1 次抽到文科题后，还剩 4 道题，其中有 3 道理科题， 则第 2 次抽到理科题的概率 P3 4，故选 D 2两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率
5、分别为2 3和 3 4，两个零 件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为 ( ) A1 2 B 5 12 C 1 4 D 1 6 B 因为两人加工成一等品的概率分别为2 3和 3 4，且相互独立，所以两个零件 中恰好有一个一等品的概率 P2 3 1 4 1 3 3 4 5 12. 3如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为2 3，那么播下 5 粒这样的种 子，恰有 2 粒不发芽的概率是( ) A 80 243 B 80 81 C 163 243 D 163 729 A 用 X 表示发芽的粒数，则 XB 5，2 3 ，则 P(X3)C 3 5 2 3 3 12 3
6、2 80 243，故播下 5 粒这样的种子，恰有 2 粒不发芽的概率为 80 243. 4一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机抽取一件，有放回地 抽取 100 次，X 表示抽到的二等品的件数，则 X 服从二项分布，记作 XB(100,0.02) 根据题意，XB(100,0.02) 考点一 条件概率 求条件概率的两种方法 (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)PAB PA ，这是求条件概率的通 法 (2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 A 与事件 B 的交事件中包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)nAB
7、 nA . 1 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数， 事件 A“取到的 2 个数之和为偶数”， 事件 B“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)( ) A1 8 B 1 4 C 2 5 D 1 2 B 法一(直接法)：P(A)C 2 3C22 C25 4 10 2 5，P(AB) C22 C25 1 10.由条件概率计算公 式，得 P(B|A)PAB PA 1 10 2 5 1 4. 法二(缩小样本空间法)：事件 A 包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共 4 个 事件 AB 发生的结果只有(2,4)一种情形，即 n(AB)1. 故由古典概型概率 P
8、(B|A)nAB nA 1 4. 2有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中， 随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为 0.72 设“种子发芽”为事件 A，“种子成长为幼苗”为事件 AB(发芽，又 成活为幼苗)出芽后的幼苗成活率为 P(B|A)0.8，P(A)0.9，根据条件概率公式 得 P(AB)P(B|A) P(A)0.80.90.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为 0.72. 3 一个正方形被平均分成 9 个部分， 向大正方形区域随机地投掷一个点(每次 都能投中)设投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为 A，投中最上面 3 个小正 方形或正中间的
9、 1 个小正方形区域的事件记为 B，则 P(AB) ，P(A|B) . 1 9 1 4 如图，n()9，n(A)3，n(B)4， n(AB)1，P(AB)1 9， P(A|B)nAB nB 1 4. 点评：判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在前提 下(条件下)”等字眼第 3 题中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求 事件的概率，也认为是条件概率问题运用 P(AB)P(B|A) P(A)，求条件概率的关 键是求出 P(A)和 P(AB)，要注意结合题目的具体情况进行分析 考点二 相互独立事件的概率 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互
10、独立 (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解 正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算 典例 1 (1)天气预报在元旦假期甲地的降雨概率是 0.2，乙地的降雨概率是 0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方 降雨的概率为( ) A0.2 B0.3 C0.38 D0.56 (2)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛， 本次选拔赛只有出线和未出线两种情况规定一名运动员出线记 1 分，未出线记 0 分假设甲、乙、丙出线的概率分别为2 3， 3 4， 3 5，他们出线与未出线是相互
11、独立的 求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率； 记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量 ，求随 机变量 的分布列 (1)C 设甲地降雨为事件 A， 乙地降雨为事件 B， 则两地恰有一地降雨为 A B A B， P(A B A B)P(A B )P( A B) P(A)P( B )P( A )P(B)0.20.70.80.30.38. (2)解 记“甲出线”为事件 A，“乙出线”为事件 B，“丙出线”为事件 C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件 D， 则 P(D)1P( A B C )11 3 1 4 2 5 29 30. 由题意可得， 的所有可能取值为 0,
12、1,2,3， 则 P(0)P( A B C )1 3 1 4 2 5 1 30； P(1)P( A B C )P( A B C )P( A B C )2 3 1 4 2 5 1 3 3 4 2 5 1 3 1 4 3 5 13 60； P(2)P(AB C )P(A B C)P( A BC)2 3 3 4 2 5 2 3 1 4 3 5 1 3 3 4 3 5 9 20； P(3)P(ABC)2 3 3 4 3 5 3 10. 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 1 30 13 60 9 20 3 10 点评：含有“恰好、至多、至少”等关键词的问题，求解的关键在于正确分 析所求事件的构成，将
13、其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利 用相关公式进行计算 跟进训练 (2020 全国卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计 负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜 者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘 汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为1 2. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率 解 (1)甲连胜四场的概率为 1 16. (2)根据赛制，至少需要进行
14、四场比赛，至多需要进行五场比赛 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为 1 16； 乙连胜四场的概率为 1 16； 丙上场后连胜三场的概率为1 8. 所以需要进行第五场比赛的概率为 1 1 16 1 16 1 8 3 4. (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为1 8； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、 轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 1 16， 1 8， 1 8. 因此丙最终获胜的概率为1 8 1 16 1 8 1 8 7 16. 考点三 独立重复试验与二项分布 二项分布的实际应用问题，主要是
15、指与独立重复试验中的概率 计算和离散型随机变量的分布列、期望及方差的求解等有关的问题解题的关键 如下： 定型，“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都 相等”是二项分布的本质特征判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验 中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为 p,1p，还要看是 否为 n 次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这 n 次独立重复试验中发生的 次数 定参，确定二项分布中的两个参数 n 和 p，即试验发生的次数和试验中事件 发生的概率 列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列 求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入
16、相应数据求值 相关公式：已知 XB(n，p)，则 P(Xk)Cknpk(1p)n k(k0,1,2，n)， E(X)np，D(X)np(1p) 独立重复试验的概率 典例 21 (1)位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动 一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1 2.质点 P 移 动五次后位于点(2,3)的概率是 (2)某射手每次射击击中目标的概率是2 3，且各次射击的结果互不影响 假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率； 假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标的 概率； 假设这名射手射击 3 次，
17、每次射击， 击中目标得 1 分， 未击中目标得 0 分 在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击 中，则额外加 3 分记 为射手射击 3 次后的总分数，求 的分布列 (1) 5 16 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后 位于点(2,3)， 所以质点 P 必须向右移动两次， 向上移动三次， 故其概率为 C 3 5 1 2 3 1 2 2 C 3 5 1 2 5 5 16. (2)解 设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 XB 5，2 3 .在 5 次 射击中，恰有 2 次击中目标的概率为 P(X2)C 2
18、 5 2 3 2 12 3 3 40 243. 设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i1,2,3,4,5)，“射手在 5 次射击中， 有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”为事件 A，则 P(A)P(A1A2A3A4A5)P( A1A2A3A4A5)P( A1A2A3A4A5) 2 3 3 1 3 2 1 3 2 3 3 1 3 1 3 2 2 3 3 8 81. 设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i1,2,3) 由题意可知， 的所有可能取值为 0,1,2,3,6. P(0)P( A1A2A3) 1 3 3 1 27； P(1)P(A1A2A3)P( A1A2A3)P(
19、 A1A2A3) 2 3 1 3 2 1 3 2 3 1 3 1 3 2 2 3 2 9； P(2)P(A1A2A3)2 3 1 3 2 3 4 27； P(3)P(A1A2A3)P( A1A2A3) 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 8 27； P(6)P(A1A2A3) 2 3 3 8 27. 所以 的分布列是 0 1 2 3 6 P 1 27 2 9 4 27 8 27 8 27 点评：在求解过程中，本例(2)中常因注意不到题设条件 “有 3 次连续击中 目标，另外 2 次未击中目标”，盲目套用公式致误；本例(2)中常因对 的取值 不明，导致事件概率计算错误 二项分布 典例 22
20、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况， 随机抽取该 流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为 (490,495，(495,500，(510,515由此得到样本的频率分布直方图(如图) (1)根据频率分布直方图，求质量超过 505 克的产品数量； (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 X 为质量超过 505 克的产品数量， 求 X 的分布列； (3)从该流水线上任取 2 件产品，设 Y 为质量超过 505 克的产品数量，求 Y 的 分布列 解 (1)质量超过 505 克的产品的频率为 50.0550.010.3， 所以质量超过 505 克
21、的产品数量为 400.312(件) (2)质量超过 505 的产品数量为 12 件，则质量未超过 505 克的产品数量为 28 件，X 的取值为 0,1,2， X 服从超几何分布 P(X0)C 2 28 C240 63 130， P(X1)C 1 12C128 C240 28 65， P(X2)C 2 12 C240 11 130， X 的分布列为 X 0 1 2 P 63 130 28 65 11 130 (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过 505 克的概率 为12 40 3 10. 从流水线上任取 2 件产品互不影响，该问题可看成 2 次独立重复试验，质量 超过 5
22、05 克的件数 Y 的可能取值为 0,1,2，且 YB 2， 3 10 ， P(Yk)C k 2 1 3 10 2k 3 10 k ， 所以 P(Y0)C 0 2 7 10 2 49 100， P(Y1)C 1 2 3 10 7 10 21 50， P(Y2)C 2 2 3 10 2 9 100. Y 的分布列为 Y 0 1 2 P 49 100 21 50 9 100 点评：(1)注意随机变量满足二项分布的关键词： 视频率为概率；人数很多、数量很大等 (2)求概率的过程，就是求排列数与组合数的过程，而在解决具体问题时要做 到： 分清 超几何概率； 条件概率； 相互独立事件的概率； 独立重复试
23、验. 判断事件的运算 和事件， 积事件， 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运 用相加或相乘事件 跟进训练 1袋子中有 1 个白球和 2 个红球 (1)每次取 1 个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数 X 的分布列； (2)每次取 1 个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过 5 次，求 取球次数 X 的分布列； (3)每次取 1 个球，有放回，共取 5 次，求取到白球次数 X 的分布列 解 (1)X 可能取值 1,2,3. P(X1) 1 A13 1 3，P(X2) A121 A23 1 3，P(X3) A22 A33 1 3. 所以 X 分布列为 X 1 2 3 P 1
24、3 1 3 1 3 (2)X 可能取值为 1,2,3,4,5. P(Xk) 2 3 k1 1 3，k1,2,3,4， P(X5) 2 3 4 . 故 X 分布列为 X 1 2 3 4 5 P 1 3 2 9 4 27 8 81 16 81 (3)因为 XB 5，1 3 ，P(Xk)C k 5 1 3 k 2 3 5k ，k0,1,2,3,4,5. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 2 3 5 524 35 1023 35 1022 35 52 35 1 35 2.某学校用“10 分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机 抽取 16 名， 以茎叶图记录了他们对该校
25、教师教学满意度的分数(以小数点前的一位 数字为茎，小数点后的一位数字为叶)： (1)若教学满意度不低于 9.5 分，则称该生对教师的教学满意度为“极满 意”求从这 16 人中随机选取 3 人，至少有 1 人是“极满意”的概率； (2)以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据， 若从该校所有学生中(学 生人数很多)任选 3 人，记 X 表示抽到“极满意”的人数，求 X 的分布列及数学期 望 解 (1)设 Ai表示所抽取的 3 人中有 i 个人是“极满意”， 至少有 1 人是“极 满意”记为事件 A，则 P(A)1P(A0)1C 3 12 C316 17 28. (2)X 的所有可能取值为 0,1,2,3，由已知得 XB 3，1 4 ，P(X0) 3 4 3 27 64， P(X1)C 1 3 1 4 3 4 2 27 64， P(X2)C 2 3 1 4 2 3 4 9 64， P(X3) 1 4 3 1 64. X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 E(X)31 4 3 4.
