1、28.1 28.1 锐角三角函数锐角三角函数 ( (第第2 2课时课时) ) 人教版人教版 数学数学 九九年级年级 下册下册 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90. A C B 对边对边a 邻边邻边b 斜边斜边c 当当A确定时，确定时，A的对边与斜边的比就的对边与斜边的比就 确定，此时，其他边之间的比是否也确确定，此时，其他边之间的比是否也确 定呢？定呢？ 导入新知导入新知 2. 能灵活运用能灵活运用锐角三角函数锐角三角函数进行相关运算进行相关运算. 1. 通过类比正弦函数，理解通过类比正弦函数，理解余弦函数余弦函数、正切函正切函 数数的定义，的定义，进而得到锐角三角函数的概念进而得到锐
2、角三角函数的概念 . 素养目标素养目标 3. 通过通过锐角三角函数锐角三角函数的学习，培养学生的学习，培养学生类比类比 学习的能力学习的能力. 如图，如图， ABC 和和 DEF 都是直角三角形，都是直角三角形， 其中其中A =D，C =F = 90，则，则 成立吗？为什么？成立吗？为什么？ DE DF AB AC A B C D E F 探究新知探究新知 知识点 1 余弦的定义余弦的定义 我们来试着证明前面的问题：我们来试着证明前面的问题： A=D，C=F=90， B=E. 从而从而 sinB = sinE， 因此因此 . ACDF ABDE A B C D E F 探究新知探究新知 在有一
3、个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐 角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的 大小无关大小无关 如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻的邻 边与斜边的比叫做边与斜边的比叫做A的的余弦余弦，记作，记作coscosA，即，即 归纳：归纳： A B C 斜边斜边c 邻边邻边b 探究新知探究新知 A的邻边的邻边 斜边斜边 cos A = b c 探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三
4、 角函数之间的关系：角函数之间的关系： 对于任意锐角对于任意锐角，有有 cos = sin ( (90 ) ), , 或或sin = cos( (90 ) ). . 1. sinA、cosA是在是在直角三角形直角三角形中定义的，中定义的，A是是锐角锐角( (注注 意数形结合，构造直角三角形意数形结合，构造直角三角形) ). 2. sinA、 cosA是一个是一个比值比值（数值数值）. 3. sinA、 cosA的大小只与的大小只与A的大小的大小有关，而与有关，而与直角三直角三 角形的边长角形的边长无关无关. 如图：在如图：在Rt ABC中，中，C90， 正弦正弦: : 余弦余弦: : sin
5、的对边 = 斜边 Aa A c cos 的邻边 = 斜边 Ab A c 探究新知探究新知 注意：注意： A B C 斜边斜边c A的的邻边邻边b A的的对边对边a RtABC中，中，C=90，如果，如果AB=2，BC=1，那么，那么 cosB的值为（的值为（ ） A. B. C. D. 2 3 3 3 3 2 1 A 巩固练习巩固练习 RtABC中，中，C=90，如果，如果AC=4，BC=3， 那么那么cosB的值为的值为_. 3 5 如图，如图， ABC 和和 DEF 都是直角三角形，都是直角三角形， 其中其中A =D，C =F = 90，则，则 成立吗？为什么？成立吗？为什么？ DF EF
6、 AC BC A B C D E F 探究新知探究新知 知识点 2 正切的定义正切的定义 证明：证明：C=F=90， A=D， RtABC RtDEF. 探究新知探究新知 A B C D E F ， DF AC EF BC 即即 . . DF EF AC BC 当直角三角形的一个当直角三角形的一个 锐角的大小确定时，其锐角的大小确定时，其 对边与邻边比值也是唯对边与邻边比值也是唯 一确定的吗？一确定的吗？ 探究新知探究新知 A B C 斜边斜边c A的的邻边邻边b A的的对边对边a 如如图：在图：在Rt ABC中，中，C90， 我们把锐角我们把锐角A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做 A
7、的的 正切正切，记作，记作 tanA. 探究新知探究新知 在直角三角形中，当在直角三角形中，当锐角锐角A的度数一定时，不管三角的度数一定时，不管三角 形的大小如何，形的大小如何，A的对边与邻边的比是一个的对边与邻边的比是一个固定值固定值. A B C 斜边斜边c A的的邻边邻边b A的的对边对边a 1.如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？ 【想一想想一想】 探究新知探究新知 2.锐角锐角A的正切值可以等于的正切值可以等于1吗？为什么？吗？为什么？ 可以大于可以大于1吗？吗？ 5 3 4 5 4 3 3 4 A. B. C. D. 在在
8、RtABC中，中，C90，如果，如果 那么那么tanB的值为（的值为（ ） D 巩固练习巩固练习 ， 5 4 cosA 在在RtABC中，中，C90，如果，如果 那么那么tanA的值为的值为_. ， 13 5 sinA 5 12 锐角锐角A的正弦、余弦、和正切统称的正弦、余弦、和正切统称A的的锐角三角函数锐角三角函数. sin A= cos A= tan A= 脑中有“脑中有“图图”，心中有”，心中有 “式式” 探究新知探究新知 知识点 3 锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义 A B C 斜边斜边c A的的邻边邻边b A的的对边对边a A的邻边的邻边 斜边斜边 A的对边的对边 斜边斜边 A的
9、对边的对边 A的邻边的邻边 例例1 如图，在如图，在 RtABC 中，中，C=90，AB=10， BC=6，求，求sinA，cosA，tanA的值的值. A B C 10 6 解：解：由由勾股定理勾股定理, ,得得 因此因此 63 sin= 105 BC A AB ， 63 tan=. 84 BC A AC 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 已知直角三角形两边求锐角三角函数的值已知直角三角形两边求锐角三角函数的值 84 cos 105 AC A AB , 探究新知探究新知 方法点拨 已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一 般思路是：当所涉
10、及的边是已知时，直接利用定义求锐般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐 角三角函数值；当所涉及的角三角函数值；当所涉及的边边是是未知未知时，可考虑运用时，可考虑运用勾勾 股定理股定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角 函数值函数值 A RtABC中中，C为直角为直角，AC=5，BC=12，那么下列那么下列A 的四个三角函数中正确的是的四个三角函数中正确的是( )( ) 如图：如图：P是是 的边的边OA上一点，且上一点，且 P点的坐标为点的坐标为（3，4），），则则cos _，tan = _. B 3 5 4 3 巩固练习巩固练习 A.
11、 B 13 5 sinA 13 12 sinA C D 12 13 tanA 12 5 cosA A B C 6 又又 2222 1068ACABBC ， 在直角三角形中，在直角三角形中， 如果已知一边长及一个如果已知一边长及一个 锐角的某个三角函数值，锐角的某个三角函数值， 即可求出其它的所有锐即可求出其它的所有锐 角三角函数值角三角函数值. . 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 已知一边及一锐角三角函数值求函数值已知一边及一锐角三角函数值求函数值 例例2 如图，在如图，在 RtABC中，中，C = 90，BC = 6， ，求，求 cosA , tanB 的值的值 3 sin 5 A
12、4 cos 5 AC A AB =， 4 tan. 3 AC B BC = 解：解：在在RtABC中，中， sin BC A AB ， 5 610 sin3 BC AB A =. A B C 8 解：解：在在 RtABC中，中， 巩固练习巩固练习 如如图，在图，在 RtABC 中中，C = 90，AC = 8， ，求求sinA， cosB 的值的值 3 tan 4 A 1. 如图如图，旗杆高，旗杆高AB=8m，某一时刻，某一时刻，旗杆影子长旗杆影子长BC=16m，则 ，则 tanC=_ 连接中考连接中考 1 2 A B C B 连接中考连接中考 2. 如如图，图，A , B , C是小正方形的
13、顶点，且每个小正方形的是小正方形的顶点，且每个小正方形的 边长为边长为1，则，则tanBAC的值为（的值为（ ） A B1 C D 2 1 3 3 3 1. 在在RtABC中，中，C = 90，AC = 12，AB =13. sinA=_，cosA=_，tanA=_， sinB=_，cosB=_，tanB=_. 5 13 12 13 5 12 5 13 12 13 12 5 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 2. 如图，如图，ABC 中一边中一边 BC 与以与以 AC 为直径的为直径的 O相相 切切与点与点 C，若，若 BC=4，AB=5，则，则 tanA=_. 4 3
14、A B C 课堂检测课堂检测 O 3. 已知已知 A，B 为锐角为锐角， ( (1) ) 若若A =B，则则 cosA cosB; ( (2) ) 若若 tanA = tanB，则则A B; ( (3) ) 若若 tanA tanB = 1，则则 A 与与 B 的关系为：的关系为： . = = A +B = 90 课堂检测课堂检测 如如图，在图，在 RtABC 中中，ACB = 90，CDAB，垂足垂足 为为 D. 若若 AD = 6，CD = 8. 求求 tanB 的值的值. 解解: : ACBADC =90， B+ A=90, ACD+ A =90. B = ACD. 能 力 提 升 题能
15、 力 提 升 题 63 tantan. 84 AD BACD CD 课堂检测课堂检测 如如图，在图，在ABC中中，AB=AC=4，BC=6. 求求cosB 及及 tanB 的值的值. 解：解：过点过点 A 作作 ADBC 于于 D. AB = AC， BD = CD = 3， 在在 RtABD 中中, A B C D 提示：提示：求锐角的三角函数值问题，当图形求锐角的三角函数值问题，当图形 中没有直角三角形时，可用恰当的方法构中没有直角三角形时，可用恰当的方法构 造直角三角形造直角三角形. . 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 3 cos. 4 BD B AB 7 tan. 3 AD B BD 课堂检测课堂检测 余弦函数余弦函数 和和 正切函数正切函数 余弦余弦 正切正切 性质性质 课堂小结课堂小结 A的邻边的邻边 斜边斜边 cos A = A的对边的对边 tan A = A的邻边的邻边 A的大小确定的情况下，的大小确定的情况下， cosA，tanA为定值，与为定值，与三三 角形的大小无关角形的大小无关 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
