1、中 等 数 学 圈 三角形结构中的一个解题系统( 上) 陶 平 生 ( 江西科技师范学院数学与计算机科学系， 3 3 0 0 1 3 ) 在初等不等式的范围内， 有许 多是涉及 三角形 内角函数关系的不等式 对于这类 问 题， 传统的做法通常是“ 化杂为弦” ， 并借助正 余弦定理或海伦公式将其归结为边的度量关 系来解证 然而， 由于其变元受三角形条件的 约束， 处理起来不甚方便 以下给出一个运算系统， 利用“ 易弦为 切” 的方法及这一系统的特殊转换结构 ， 处理 一 系列三角形有关不等式的解证问题 1 三角形中的一个运算 系统 以下常设 ： =c o t A， ， =c o t B， =c
2、 o t C ( 或 ： t a n百A， y ：t a n B ， ： t a n C) ，其中A 、 曰、 C为三角形的三个 内角 则有 ： ( 1 ) 、 y 、 中至少有两个正数 ， 并且 + ， ， + 、 + 及 +y + 都是正数 ( 2 ) + +愆=1 ( 3 ) 1 + 2 =( + ， ) ( + ) ， 1 + ， 2 =( + ， ) ( ， + ) ， 收稿日 期 ： 2 0 O 6 0 8 2 1 1 + 2 =( + ) ( y+ ) ( 4 ) ( 1 + ) ( 1 +y ) ( 1 + ) = ( +y ) ( y+ ) ( + ) ， ( +y ) (
3、1 + 2 ) =( y+ ) ( 1 + 2 ) = ( + ) ( 1 +y 2 ) = ( +y ) ( y+ ) ( + ) ， ： +y 1 + ：y 1 + 。 ( 三 ： + 、 1 +y ( 5 ) +1 +一 1： 一1 ( 0 ) ( 6 ) ( +y ) ( y+ ) ( + ) = + y+ 一x y z 南 + + 南 2 ( x+ + ) 一( +y ) ( y + ) i + ) V + + 7 P 同为奇 ) ， 于是， P i +q i 耋1 +P f + l +q i + l ( m o d 2 ) 所以， 当且仅当 P i + 与P + + l 同 奇偶时
4、， d 与 + 。 同色 又 d 。 为红色， P 。 +9 。 = 2为偶数， 因此， 当且仅当 P +q 为偶数 时 ， d 为红色 对任何数对( s ， t ) ， 其中， s 1 ， 2 ， ， 口 ， t 1 ， 2 ， ， b ， 因为( 口 ， b ) =1 ， 由中国 剩余定理， 都有唯一的 i 1 ， 2 ， ， ， 使 i i s ( m o a口 ) 且 i 兰t ( m o a b ) 由于 口 、 b为奇数， 所 以， 1 ， 2 ， ， 口 中 共有 个奇数， 个偶数； 1 ， 2 ， ， b 中 有 个 奇 数 ， 个 偶 数 因 此 ， 使 、 同奇偶的数对(
5、s ， f ) 的个数为 b 4 - l 口4 - l bl 口一l a b 4 - l 丁。 丁+ 丁 丁 于是 ， 有 条等分线段为红色 而每条等分线段的长度为 ， 故 s 红= ,T a 2 + b 2 ： 红= 。 = V口 +6 - 维普资讯 http:/ 2 0 0 7 年第 4期 2 2 y2 Z 2 + 7 + 了 一 1一一一 2x y z 一 ( + ， ) i ， ， + ) ( + ) 。 这组等式的证明略 由于这组等式分别具有升幂降幂、 化解 根式、 调整转换诸功能， 使得运用它们解证三 角形中一类不等式问题时， 显得十分有利 2 若干基本不等式 下面一组不等式( 证
6、明略) 对于 、 Y 、 z 表示余切函数或半角的正切函数时均适用， 在解证其他不等式时， 通常也可化归为这些 情形 ( 1 ) +Y +z 1 ( 2 ) +Y+z 3 ( 3 ) +Y+z 9 x y z ( 4 ) ( 5 ) ( +) ， ) ( +z ) ( ) ， +z ) ( x+y+z ) 以上各式 中， 等号成立的充要条件是 =Y=z = ， 即 A B C为正三角形 3 三角形中一些常规不等式的证明 在 A B C中 ， 若 记 ： 锄 ， ， ： 锄导 ， ： 锄 C ， 则 s = = ， A A 1 n 咖 丽寺； 若记 =c o t A ， Y c o t B， z
7、 = c o t C ， 则 sin 南 注意到， 采用“ 易弦为切” 后， 上述各式的 分母均具有形如 1 + 的结构， 而给 出的运 算系统对于处理这类结构非常有效 下面通 过一些例子， 说明采用上 述系统解证不等式 的一般方法 例 1 在 A B C中， 证明： ( 1 ) s in s in 导 sin C I ； 则 ( 2 ) s i n +s i n B +s i n C 3 一 ； ( 3 ) s i n A+s i n曰+ c ； ( 4 ) s iVA + 丽 1+ 2 证明： 设 =t a n ， ) ， =胁 B，z = 胁 C ， ( ) s in s in s in
8、 导 ( 1 + ) ( 1 +y 2 ) ( 1 + ) x y z ( 2 ) s i n A+s i n n +s i n C 1 + 1 Y + 1寿 Z 2 + + + = 焘 毫 + 上z + ，、 + ，、 南 + ( 南 + 焘 ) + (南 + 寿 ) + ( 熹 + ) 】 3 2 ( 3 ) s i n A+s i n B+s i n C 2 x 2y 2 z + i + 雨 4 = ( 4 ) +丽1 + 1+2 1+ y 2 1+ Z 2 百+百+百 ： 1 1 + 1+ + +) ， +z ) = 一 +一 +一 + +， ， + 上 x z - - 1 ( 1+
9、+) ， +z ) 维普资讯 http:/ 中 等 数 学 ) _2 例 2 设 A B C的外接 圆半径 为 R， 面 积为 S 证明： 胁 A+ t aI l罢 + 胁 C 6 9 4 ( +， ， + ) 因为( +Y ) ( Y+ ) ( ( +Y ) ( ， ， + ) ( + ) + ) 18 x y z ， 吾 ( + ) ， ， 两式相乘得式成立 从而， 命题得证 例 3 ( 外森比克不等式) 设 A B C的边 长为 口 、 b 、 C ， 面积为 Js 证 明： 口 +6 +C I4 4 3 S 证明： 由于 口=2 R s i n A， b：2 R s 1n B C=2
10、Rs i n C， S=2 R s i n A s i n B s i n C， 即要证 s i n 2 A+s i n 2 B+s i n 2 C I2 4 3 s mA s i n B s i n C 令 =c o t ， ， =c o t B， =c o t C ， 即证 + +南 + + 2 而 甘 习 因此， 只要证 + Y+ z 1 4 g ， 此为显然 例 4 设正数 口 、 6 、 c 、 、 Y 、 满足 c y + b z= 口， + = b， b x+ a y = c 求 函 数 ， ) = 南 2 + 南 2 + 2 的最小值 ( 2 0 0 5 ， 全国高中数学联赛)
11、 解： 由条件得 6 ( 篮+ 一 b ) + c ( k+ 一 c ) 一 口 ( + k一 口 ) = 0 ， 即2 6 +口 一6 一C = 0 解得 ： 同 ： 一 口 +6 一 c 2 因 口 、 6 、 c 、 、 Y 、 z 为正数， 据以上三式知 6 + C 2 O , 2 ，1 7 , 2+ C 2 6 a + 6 c 2 因此 ， 以 口 、 6 、 C为边长 ， 可构成一个锐 角 A B C 所以， =c 0 s A， Y=c 0 s B， =c 0 s C 问题转化为： 在锐角 A B C中， 求函数 厂 ( c 0 s A， C O S B， c 0 s C ) c
12、0 s 2 A c o s 2 c 0 s 2 C 十 + 的最小值 令 配：c o t A， t ， =c o t B， 乱 7 =c o t C， 贝 H配 、 、 钾R+ ， +伽 + =1 ， 且 配 +1 =( 配+ ) ( 配+ ) ， +1 =( 配+ ) ( + ) ， +1 =( 配+ ) ( + ) 配 2 故 = u 2 +1 配 +1 2 U ( 一u ) 一 =配 一 配 2 1一 配 + ( 配 + ) ( 配 + ) U 2 - U3 ( 1+ ( + 同理 ， c 0 s 2 +c 0 s B 1 配 + V 2 _ 萼 ( 1 + 1 ) ， W 2 _ 萼 ( 1+ ) 则厂 配 + + 一 1 配 +V 3 + W 3 U 3 + 卸 l + + J =U2+ 2 + 加 2 一 丢 ( 配 2 一 聊 + ) + ( 2 一 + 2 ) +( 配 2 一础 + ) = 1( +伽 + ) = 当且仅当 配 = = 时， 上式等号成立 此时 ， 口=6=c ， =) ， = = 1 ( 未完待续) 维普资讯 http:/ 免费论文查重：http:/ 3亿免费文献下载：http:/ 超值论文自动降重：http:/ PPT免费模版下载：http:/ -
