1、“联立不同余式联立不同余式”与与“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”“孪生素数”“孪生素数”间的关系间的关系 江苏省南通市崇川区 张忠（言） 电话 18112257259 QQ2634642201 摘要摘要 众所周知: 在数学中有方程方程与不等式不等式，它们都是不可或缺的数学内容。可在目前众多的数论数论教科书中， 只有关于联立同余式联立同余式的内容，而缺联立不同余式联立不同余式的内容，最多也仅只对不同余符号不同余符号“”作一象征性的介绍。难道 是不同余式没研究价值吗？但难以令人至信的是，我经过四十余年的探索居然发现: 不同余式与筛法筛法紧密連系。而 “哥德巴赫猜想”“孪生素数是否无限”及其它一些关于素
2、数分布规律的问题，居然也都仅只是初等数论初等数论中解联 立不同余式的问题。解联立不同余式虽然也离不开“解联立同余式”的解析法解析法，但其最佳方法还是本文即将叙述 的图解法图解法（堆壘筛法堆壘筛法）和列表法列表法。 关键词关键词 模，素数，完全剩余系，简化剩余系，同余式，不同余式，堆壘筛法。模，素数，完全剩余系，简化剩余系，同余式，不同余式，堆壘筛法。 一一 初等数论基础知识初等数论基础知识 1. 若m整除整除, a则称m为a的约数约数或因数因数，记作: ,|am 或 ).(mod0ma 2. 若m不整除不整除, a则称m非a的约数，记作: m, a a).(mod0m 3. 若, a除以除以m
3、的余数余数为, r则可记作: ).(mod)(mrmra 故知所有整数除以m的余数余数有且仅有m类类: . 1, 2 , 1 , 0m 我们把除以m余数同为r的所有整数划归为模 模 m的同余类同余类，并记作: .),(modZtmrrtm，则我们可把全体整数全体整数划归为模m的m类剩余类剩余。 4我们可把整数划分为以下三类我们可把整数划分为以下三类: 1）“1”是整数的单位单位， “1”既非素数素数又非合数合数. 2）素数素数. 是只有1的和自身两个不同约数的整数. 在无限的素数数列: , 7 , 5 , 3 , 2 1kk pp中仅有一个偶素数偶素数, 2其余的均为奇素数奇素数. 3）合数合
4、数. 是除了1和自身外还有其它约数的整数。 本文中常用于表示特定整数的字母有: , 21nn ppp , 32nnnn GLppp ,1 21nun gggG .1 21nvnnn ll lGL（, 21u ggg v lll, 21 均为均为 n 的素因数。 ）的素因数。 ） 5 ),(mb表b与m的最大公约数最大公约数: 1）由欧几里得（欧几里得（Euclid）算式知: 若 , rtmb 则 ).,(),(),(mrmrtmmb 2）若:, 1),(mb 则表b与m及m的诸因数互素 互素. 6 .),(1 nnnn bG 表 n G是 n b与 n 的最大公约数。 当1),(),( 32
5、nnnnn pppbbG时，表b与 n 互素，即表b同时与 n ppp, 32 等诸素数诸素数互素. 7 素数判别法素数判别法 设a是大于 1 的整数，如果所有不大于a的素数都不能整除, a则a为素数。 8 模 n 的完全剩余系完全剩余系 对于模 n 我们可把所有整数分成 n 类，从每类中任取一数就得到 n 个数，这 n 个 数叫做 n 的完全剩余系。 n 的最小非负完全剩余系用集合符号 n A表示: .10| nnnn aaA).(mod n 9 )(a为a的欧拉函数欧拉函数: 表所有不大于a且与a互素的正整数的个数。显然, 1) 1 (. 1)( kk pp ).() 1() 1)(1()
6、()()()()( 212121nnnnn ppppppppp 10 模 n 的简化剩余系简化剩余系 在 n 的完全剩余系中，所有与 n 的互素的数叫做 n 的简化剩余系。 n 的完全剩余 系用集合符号 n 表示: .1)(,3,2, 1 1 .1),( | 1 nnnnnnnnnnn p).(mod n 由素数判别法易知: 所有大于1而小于2 22 1nn p 的 n 的简化剩余均为素数。 11 欧拉定理欧拉定理 若: , 1),(ma 则: ).(mod1 )( ma m 12 引入欧拉定理后的孙子定理引入欧拉定理后的孙子定理 联立同余方程联立同余方程.), 2 , 1,(modniprx
7、 ii 的解为的解为: ).(mod)( )( 1 n p in n i i i prx （证明略.） 另另: 本文特别定义本文特别定义)( k p表表 k p的忠言函数的忠言函数. 并约定: , 1)2( 当 2 k p时: . 2)( kk pp 且: ).()2()2)(1()()()()()( 212121nnnnn ppppppppp 二二 堆壘筛法简介堆壘筛法简介 堆壘筛法是由爱拉托散筛法爱拉托散筛法原理演变而来的一种灵活的筛法。 譬如我们要求闭区间30, 6内的素数， 则可按爱拉托散筛法爱拉托散筛法， 用下面x0.)3 , 2 , 1,(modipi的堆壘筛法堆壘筛法， 好象用筛
8、子从整数中把素数逐步筛出来: 当筛去所有图内列中含红色格奌（5 , 3 , 2的原节点原节点）的整数和 1 后，则可直接获知闭区间30, 6内的全部素数: .29,23,19,17,13,11, 7),1 ( 堆壘筛法主要用于解关于素数模的联立不同余式。如求联立不同余式堆壘筛法主要用于解关于素数模的联立不同余式。如求联立不同余式 n x.), 2 , 1,0,(mod,niprrprr iiiiii （1） 的模 n ppp 21 的剩余类解集剩余类解集 n X时，依次用素筛筛., iii rrs 筛去自然数列中筛去自然数列中.), 2, 1(nipi的某一或二类的剩 余:, ii rr 从而
9、获取（1）式的剩余类解集剩余类解集 n X，且可用来寻找大于大于 n p小于小于 2 1n p的诸素数分布规律的诸素数分布规律的一种图解法图解法。 三三 用堆壘筛法求和为用堆壘筛法求和为大于大于4的偶数的偶数b2的相差最小的两奇素数的相差最小的两奇素数 分析分析: 设42 b是任一预先指定的大偶数。 因奇素数的个数无穷，所以必存在,2 2 1 2 nn pbp 故无穷的全 体偶数在模 nn ppp 21 中可划归为有限的 nn ppp 32 类最小正偶剩余:, 6 , 4 , 2 n 而指定的偶数b2 即模 n 中的一类剩余,2 n b 而 n b又是模 n 的最小非负完全剩余系:.0| nn
10、nn bbB中的一类。 现可再设: .), 2 , 1, 2) 1(|0,(modniprprb iiiin 若存在两奇素数, dc pp 使,2 dc ppb 则在等差级数 dnc pbp,必至少存在一个公差: )( nn b ,| )(|0 nnn bb 使, 1),(),( 21 nnnnnnnn pppbbbb 即: )( nnn bb0.), 2 , 1,(modnipi )( nn b in rb.), 2 , 1,(modnipi 则可用二次堆壘二次堆壘筛法筛法检验: 当 .0| nnnnn bbBb时，在闭区间2, 0 n b内，是否必至少存在 一个公差),( nn b 若是，
11、则预先指定的大偶数 n b2必至少可表为一对大于 n p的两奇素数之和。 （而本人已用数学归 纳法证明: 对于任一大偶数b2 ),2( 2 1 2 nn pbp 至少存在一个至少存在一个) 1(2)(0 21 nnn pb。 ）。 ） 例 1 设预先任意给定的大偶数,822 b则因奇素数是无限的，故必存在两个相邻的奇素数:7 4 ppn和 ,11 51 ppn 使 ,12182249 2 5 2 1 2 4 2 ppbpp nn 则易知: ).(mod.1,1,1,141 4321 b 则作联立不同余式: )41()( 444 b. )(mod) 1( )(mod1 )(mod) 1( )(m
12、od1 44 33 22 11 pr pr pr pr （2） 作堆壘格点筛图).1( 1)1( 141 43214 ssssS可获（2）式的解集)41( 4 图 41 4 S 可获（2）式关于模210 4 的最小非负解类集解集: )41( 4 .198,182,180,168,150,138,108,102,72,60,42,30,18,12, 0)41( 4 ).210(mod.102,72,60,42,30,18,12, 0 故由分析知.)41()41(,)41(21041)( 4444444 Zttbtb均是和为822 4 b的模 210 4 的两个简化剩余。特别当的两个简化剩余。特别
13、当121)41(41)(1 2 54444 pbb时，由素数判别法知时，由素数判别法知)41(41 4 即即 是和为是和为822 b则的两奇素数。如则的两奇素数。如:,41041.,53,291241.,59,231841.71,113041 又因为关于模210 4 : .,1,1,1 ,11 321 .,1,1,1,129 321 .1,1,1,171 321 故易知: 1 4 S29 4 S41 4 S71 4 S 这四个筛全等， 于是我们把这四种筛划归为模 210 4 的 同类筛，并记作: 1 4 S29 4 S41 4 S.71 4 S 故知: ) 1 ( 4 )29( 4 )41(
14、4 )71( 4 .102,72,60,42,30,18,12, 0 现定义 n b为筛 nn bS 之筛的筛的， 若: 关于模: n , )1( n b, )2( n b, )(q n b两两不同余，且 )1( nn bS )2( nn bS , )(q nn bS 则定义集合集合 .,)( )2()1()1(q nnnnn bbbb为 1 4 S为模为模 n 的的 )1( nn bS 筛类筛类之“的集的集” 。” 。 定义集合中不重复元素的个数的个数为集合的基数，用符号表示。 故由上述定义知故由上述定义知: : .71)1 (,41)1 (,29)1 (, 1)1 () 1 ()( 443
15、424144 nn b是模模 4 的的 1 4 S筛类筛类之“的集的集” ，且” ，且. 82) 1 ( 3 4 现用堆壘筛法， 将模 4 的各类剩余.105|0 4444 bbb及)( 44 b用列表法制成表一 （见下页） ， 来进一步研究)( 44 b的规律。 表一 )(mod 4 观察分析表一，若令: , nnn aa , nnn AA 则不难发现当4n时存在下面一系列可证明的规律规律: 规律一规律一 . )()( 4444 bb 例: .102,96,84,72,66,54,42,24,18,12105)85()85()85()20( 44444 .93,87,81,63,51,39,
16、33,21, 9 , 3 规律二规律二 若:, 1),( nn 则).(mod) 1 ()( nnnnn 例: 已知: , 1),11( 4 .102,72,60,42,30,18,12, 0) 1 ( 4 则: ).(mod.90,78,72,42,30,12, 0.102,72,60,3042,18,12, 011)11( 4n 规律三规律三 若若,),( nn Gb, nnn GL 则: ).()()( nnnn LGb 例 当, 4n70 4 b时: ,105 4 ,35)105,70(),( 444 bG , 3 444 GL 则: .24)23)(17)(15()()35()()(
17、)70()( 44444 n LLGb 由表一知:.99,93,87,81,69,57,51,39,33,27, 9 , 3 4 .207,201,183,177,171,159,153,149,123,107,101.99,93,87,81,69,57,51,39,33,27, 9 , 3).210(mod 规律四规律四 若若,),( nn Gb, 21vnnn ll lGL v lll,( 21 为两两互素的奇素数） ，则模 n 的的 nn bS 筛类筛类之“的集的集”的基数”的基数: :且且.2)( v nn b 例 当, 4n70 4 b时: ,105 4 ,35)105,70(),(
18、 444 bG , 3 444 GL, 1 4 v 则. 22)70()( 4 v nn b 由表一知: ).210(mod)70(.140,70.70,70.70)70( 44 规律五规律五 若: )(| )()()( nnnnnnnn bbbb.), 2 , 1,(modnipb in . )(),(),()()( 21jnnnnnnnnnn bbbbb 则: )()( nnnn bb是差为)(2 nn b的两个模 n 的简化剩余。 例 当, 4n 由表一知: .,71,41,29, 1) 1 ()()( 444 bbn n 102,72,60,42,30,18,12, 0) 1 ()(
19、4 nn b，则: ) 1 () 1 ()()( 44 nnnn bb是差为)(2 nn b的两个 模 4 n 的简化剩余。如当取: .,1, 110) 1 () 1 ( 44 .,13,11112) 1 () 1 ( 44 .,19,17118) 1 () 1 ( 44 .,31,29130) 1 () 1 ( 44 .,103,1011102) 1 () 1 ( 44 .,109,1071108) 1 () 1 ( 44 时，) 1 () 1 ( 44 均是差为2)(2 nn b的两个模 n 的简化剩余。 （特别当（特别当 121) 1 () 1 (0 2 544 p 时，时，) 1 ()
20、 1 ( 44 为一对孪生素数。 ）为一对孪生素数。 ） 当取: .,29,29290) 1 () 1 ( 44 .,41,172912) 1 () 1 ( 44 .,71,132942) 1 () 1 ( 44 .,89,312960) 1 () 1 ( 44 .,131,7329102) 1 () 1 ( 44 .,137,7129108) 1 () 1 ( 44 均是差为58292) 1 (2 4 的两个模 n 的简化剩余。 （特别当（特别当 121) 1 () 1 (0 2 544 p 时，时， ) 1 () 1 ( 44 为一对差为为一对差为58的素数。 ）的素数。 ） 规律六规律六 当, 3n.|0 nnnn bbb时，在)( nn b中至少存在这样一个:| )(| minnn b ).1(2| )(|0 21 min nnn pb 如: 当, 4n.105|0 4444 bbb时，由表一知: 在)( 44 b中至少存在一个 min44 | )(|b : .24) 1(2| )(|0 2 4 1 min44 pb 这就预示着: 大于49 2 4 p小于121 2 5 p的偶数,2b都至少可表为 两不等的奇素数之和。 规律七，规律七，（暂略!） （注（注: : 以上所列以上所列规律的规律的详细证明，请见后续文稿。 ）详细证明，请见后续文稿。 ）
